【优化方案】2014届高考数学 6.1 不等式的性质课时闯关(含解析)


6.1 不等式的性质 课时闯关(含答案解析)
一、选择题 1.设 a=log32,b=ln 2,c=5 2,则( A.a<b<c C.c<a<b
1 -

)

B.b<c<a D.c<b<a ln 2 ln 2 解析:选 C.a=log32= ,b= ,∵ln 3>1,∴a<b. ln 3 1 1 1 1 1 又 log32>log3 3= ,而 c=5- = < ,∴a>c. 2 2 5 2 2.(2011·高考天津卷)设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 2 2 解析:选 A.∵x≥2 且 y≥2,∴x +y ≥4,∴x≥2 且 y≥2 是 x +y ≥4 的充分条件;而 x2+y2≥4 不一定得出 x≥2 且 y≥2, 例如当 x≤-2 且 y≤-2 时, +y ≥4 亦成立, x≥2 x2 2 故 2 2 且 y≥2 不是 x +y ≥4 的必要条件. x y 3.若 x>y>1,且 0<a<1,则①a <a ;②logax>logay; -a -a ③x >y ;④logxa>logya.其中不成立的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.由函数单调性可知②③不成立,①④成立. 4.(2012·高考辽宁卷)若 x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是( ) 1 1 1 2 x 2 A.e ≤1+x+x B. ≤1- x+ x 2 4 1+x 1 2 1 2 C.cos x≥1- x D.ln(1+x)≥x- x 2 8 3 2 解析:选 C.正确命题要证明,错误命题只需举一个反例即可.如 A,因为 e >1+3+3 , 故 A 不恒成立;同理, 1 1 1 1 2 当 x= 时, >1- x+ x ,故 B 不恒成立; 3 2 4 1+x 1 2 ? 1 2 ? 因为?cos x+ x -1?′=-sin x+x≥0(0∈[0,+∞)),且 x=0 时,y=cos x+ x 2 2 ? ? -1=0, 1 2 所以 y=cos x+ x -1≥0 恒成立,所以 C 对; 2 1 2 当 x=4 时,ln(1+x)<x- x ,故 D 不恒成立. 8 3 2 5.“x>0”是“ x >0”成立的( A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 ) B.必要非充分条件 D.充要条件
2 2

3 2 3 2 3 2 解析: A.因为当 x>0 时一定有 x >0, 选 但当 x >0 时, <0 也成立, x 因此, >0 是 x >0 x 成立的充分非必要条件. 二、填空题 6.(2013·青岛模拟)若 2-m 与|m|-3 异号,则 m 的取值范围是________. 解析:由已知得(2-m)(|m|-3)<0, 当 m=0 时,上述不等式恒成立; 当 m>0 时,上述不等式等价于:(m-2)(m-3)>0, 解得:0<m<2 或 m>3;
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当 m<0 时,上述不等式等价于:(m-2)(m+3)<0, 解得:-3<m<0. 综上所述 m 的取值范围为(-3,2)∪(3,+∞). 答案:(-3,2)∪(3,+∞) 1 1 7.下列四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a,其中能使 < 成立的充分

a b

条件有________. 1 1 b-a 解析: < ? <0?b-a 与 ab 异号,而①②④能使 b-a 与 ab 异号.

a b

ab

答案:①②④ 8.(2012·高考四川卷)设 a,b 为正实数,现有下列命题: 2 2 ①若 a -b =1,则 a-b<1; 1 1 ②若 - =1,则 a-b<1;

b a ③若| a- b|=1,则|a-b|<1; 3 3 ④若|a -b |=1,则|a-b|<1.

其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 2 2 解析:①中,a -b =(a+b)(a-b)=1,a,b 为正实数,或 a-b≥1, 则必有 a+b>1,不合题意,故①正确. 1 1 a-b 2 4 ②中, - = =1,只需 a-b=ab 即可.如取 a=2,b= 满足上式,但 a-b= > b a ab 3 3 1,故②错. ③中, , 为正实数, a b 所以 a+ b>| a- b|=1, a-b|=|( a+ b)( a- b)| 且| =| a+ b|>1,故③错. 3 3 2 2 2 2 ④中,|a -b |=|(a-b)(a +ab+b )|=|a-b|(a +ab+b )=1. 2 2 若|a-b|≥1,不妨取 a>b>1,则必有 a +ab+b >1,不合题意,故④正确. 答案:①④ 三、解答题 6 4 2 9.(1)已知 x∈R,比较 x +2 013 与 x +x +2 012 的大小. a+b a b (2)已知 a>0,b>0,且 a≠b,比较 a b 与(ab) 2 的大小. 6 4 2 6 4 2 解:(1) x +2 013-(x +x +2 012)=x -x -x +1 4 2 2 2 4 2 2 2 =x (x -1)-(x -1)=(x -1)(x -1)=(x -1) (x +1), 6 4 2 当 x=±1 时,x +2 013=x +x +2 012; 6 4 2 当 x≠±1 时,x +2 013>x +x +2 012. a-b b-a a a-b aabb (2) =a 2 ·b 2 =( ) 2 , a+b b ? ab? 2 a a a-b ①若 a>b>0,则 >1,a-b>0,所以( ) 2 >1.

b

b

a a a-b ②若 b>a>0,则 0< <1,a-b<0,所以( ) 2 >1; b b a a-b 综上,( ) 2 >1. b a+b 又 a>0,b>0,则(ab) 2 >0, a+b a b 所以 a b >(ab) . 2
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10.设 f(x)=ax +bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围. 解:设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n 为待定系数且 m∈R,n∈R),则 f(-2)=4a-2b =m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b, ?m+n=4, ?m=3, ? ? 于是得? 解得? ? ? ?n-m=-2, ?n=1. ∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10. 11.(探究选做)已知奇函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上是严格单调递减函数,α ,β , γ ∈R 且 α +β >0,β +γ >0,γ +α >0.试说明 f(α )+f(β )+f(γ )的值与 0 的关系. 解:f(α )+f(β )+f(γ )<0.证明如下: 由 α +β >0 得 α >-β . ∵f(x)在 R 上是严格单调递减函数,∴f(α )<f(-β ). 又∵f(x)为奇函数,∴f(α )<-f(β ).∴f(α )+f(β )<0, 同理 f(β )+f(γ )<0,f(γ )+f(α )<0, ∴f(α )+f(β )+f(γ )<0.

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