2013高考理科数学解题方法攻略—导数求根


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第一讲 函数与导数—曲线的交点和函数的零点
第三课时
用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数 曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关,解题时,还需要用 图象帮助思考,而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数. 【例 1】 (2008 江西卷, 文)已知函数 f ? x ? ? (Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 1 恰有两个交点,求 a 的取值范围.
3 2 2 【分析及解】 (Ⅰ)令 f ? ? x ? ? x ? x ? 2a x ? x ? x ? 2a ?? x ? a ? ? 0 ,

1 4 1 3 x ? ax ? a 2 x 2 ? a 4 ? a ? 0 ? 4 3

得 x1 ? ?2a,x2 ? 0,x3 ? a . 在 a ? 0 的已知条件下, f ? ? x ? 及 f ? x ? 随 x 的变化情况列表如下:

x

? ??,? 2a ?
?


?2a 0
极小值

0 ? ?2a, ?
?


0 0
极大值

? 0,a ?
?


a

? a,? ? ?
?


f ?? x?

0
极小值

f ? x?

所 以 f ? x ? 的 递 增 区间 为 ? ?2a, 0 ? 与 ? a,?? ? , f ? x ? 的 递 减 区间 为 ? ?? , ?2a ? 与

? 0,a ? .
(Ⅱ) 要研究函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 1 的交点的情况,就要考虑函数 y ? f ? x ? 的极大值和极小值相对于 y ? 1 的位置. 由 ( Ⅰ ) 得 到 f ? x ?极小值 ? f ? ?2 a ? ? ?

5 4 7 a , f ? x ?极小值 ? f ? a ? ? a 4 , 3 12

f ? x ?极大值 ? f ? 0 ? ? a 4 ,

y
-2a

y a O y=1 x

y=1 -2a O a x

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由图可知,要使 f ? x ? 的图象与直线 y ? 1 恰有两个交点,只需

5 7 (1) 两个极小值一个大于 1 且另一个小于 1 ,即 ? a 4 ? 1 ? a 4 ; 3 12
4

(2) 极大值小于 1 ,即 a 4 ? 1 ,即 a ?

12 或0 ? a ?1. 7
2

【例 2】 (2008 四川 卷,理)已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x ? 10 x 的一个极值 点. (Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围. 【分析及解】 (Ⅰ)因为 f ?( x) ? 所以 f ?(3) ?

a ? 2 x ? 10 , 1? x

a ? 6 ? 10 ? 0 .因此 a ? 16 . 4

2 ? x 2 ? 4 x ? 3? 2 ? x ? 3?? x ? 1? 16 当 a ? 16 时, f ?( x) ? , ? 2 x ? 10 ? ? 1? x x ?1 x ?1
由此可知,当 x ? ?1,3? 时, f ( x) 单调递减,当 x ? ? 3, ?? ? 时, f ( x) 单调递增,所以, 当

a ? 16 时, x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x 2 ? 10 x 的一个极值点.
于是, a ? 16 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

f ( x) ? 16 ln(1 ? x) ? x 2 ? 10 x , x ? (?1, ?) , ?
f ?( x) ? 2 ? x ? 3?? x ? 1? x ?1


当 x ? (?11) ? (3, ?) 时, f ?( x) ? 0 , , ? 当 x ? (1, 时, f ?( x) ? 0 , 3) 所以 f ( x) 的单调增区间是 (?11) (3 ? ?) , f ( x) 的单调减区间是 (1, . ,,, 3) (Ⅲ) y ? b 与 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点;等价于 f ? x ? ? b 有 3 个实数根;即

f ? x ? ? b ? 0 有 3 个实数根;此时,函数 f ? x ? ? b 的图象与 x 轴有 3 个不同交点,
令 ? ? x ? ? f ? x ? ? b ? 16ln ?1 ? x ? ? x ? 10 x ? b ,
2

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则??? x? ?

2 ? x ? 1?? x ? 3? 16 ? 2 x ? 10 ? ? x ? ?1? , 1? x 1? x

令 ? ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 3 , ? ? ? x ? , ? ? x ? 随 x 的变化情况列表如下:

x

1 ? ?1, ?
?


1
0 极大值

3 ?1, ?

3
0 极小值

? 3,? ? ?
?


??? x?

?


? ? x?

? ?1? 为极大值, ? ? 3? 为极小值.
由表可得 y ? ? ? x ? 的示意图: 为使 y ? ? ? x ? 图象与 x 轴有 3 个不同交点,必须 y ? ? ? x ?
O 1 y (1, 16ln2-9-b) 3 (3, 32ln2-21-b) x y=?(x)

的极大值大于零,极小值小于零.即 ?

?? ?1? ? 0 , ? 可化为 ?? ? 3? ? 0 , ?

?16 ln 2 ? 9 ? b ? 0 , ?b ? 16 ln 2 ? 9 , 解得 ? ? ?32 ln 2 ? 21 ? b ? 0 , ?b ? 32 ln 2 ? 21 ,
∴ 32 ln 2 ? 21 ? b ? 16 ln 2 ? 9 . 【例 3】 (2008 陕西卷文)设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 1, g ( x ) ? ax ? 2 x ? 1, 其中实
3 2 2 2

数a ? 0. (Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x ) 的图象只有一个公共点且 g ( x) 存在最小值时,记

g ( x) 的最小值为 h(a ) ,求 h(a ) 的值域;
(Ⅲ)若 f ( x) 与 g ( x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数,求 a 的取值范围. 【分析及解】 (Ⅰ)? f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3( x ? )( x ? a ) ,又 a ? 0 ,

a 3

a a 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? a ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , 3 3 a a ? f ( x) 在 (??, ?a) 和 ( , ??) 内是增函数,在 (? a, ) 内是减函数. 3 3
? 当 x ? ?a或x ?
(Ⅱ)由题意知 x 3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 ? ax 2 ? 2 x ? 1 ,

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即 x[ x ? (a ? 2)] ? 0 恰有一根(含重根) .
2 2

因为,一定有一根 x ? 0 ,所以, x ? (a ? 2) ? 0 没有实数根或有两个相等的实数根,因此
2 2

有 a 2 ? 2 ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 .又 a ? 0 ,? a ? [? 2, 0) ? (0, 2] .
1 a 1 , a

当 a ? 0 时, g ( x) 才存在最小值,? a ? (0, 2] .? g ( x) ? a ( x ? ) 2 ? a ? 所以, h(a ) ? a ?

1 , a ? (0, 2] . a

于是 h(a ) 的值域为 ( ??,1 ?

2 ]. 2

(Ⅲ)当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, ? a ) 和 ?

?a ? ?1 ? , ?? ? 内是增函数, g ( x) 在 ? , ?? ? 内是 ?3 ? ?a ?

? ?a ? 0 ? a ? 增函数.由题意得 ? a ? ,解得 a ? 1 ; 3 ? 1 ? ?a ? a ?
当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,

? ?

a? 1? ? ? 和 (?a, ??) 内是增函数, g ( x) 在 ? ??, ? 内是增函 3? a? ?

? ?a ? 0 ? ? 数.由题意得 ? a ? 2 ? ? ? ?a ? 2 ? ?

a ,解得 a ? ?3 ; 3 1 a

综上可知,实数 a 的取值范围为 (??, ?3] ? [1, ??) . 【例 4】(2006 四川卷,文)已知函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 1, g ? x ? ? f ? x ? ? ax ? 5 ,其中
3

f ' ? x ? 是的导函数.
(Ⅰ)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ) a ? ? m 2 , 设 当实数 m 在什么范围内变化时, 函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只 有一个公共点 【分析及解】 (Ⅰ)由题意 g ? x ? ? 3 x ? ax ? 3a ? 5 .
2

令 h ? x ? ? ? 3 ? x ? a ? 3 x ? 5 , ?1 ? a ? 1 ,
2

对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 h ? a ? ? 0 .

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∴?

? h ?1? ? 0, ? ?h ? ?1? ? 0. ?

即?

?3 x 2 ? x ? 2 ? 0, ? 3 x ? x ? 8 ? 0.
2

解得 ?

2 ? x ? 1. 3

? 2 ? ,1? 时,对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ? 3 ? ' 2 2 (Ⅱ) f ? x ? ? 3 x ? 3m
故 x ?? ? ①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x ? 1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点
3

②当 m ? 0 时,令 ? ? x ? ? f ? x ? ? 3 ? x ? 3m x ? 4,
3 2



? ? ? x ? ? 3x 2 ? 3m 2 .
x

列表:

? ??, m ?
?


?m

?? m , m ?
?


m

? m , ?? ?
?


??? x?
? ? x?

0
极大

0
极小

所以, ? ? x ? min ? ? m ? ?2m 2 m ? 4 ? ?4 . 又因为 f ? x ? 的值域是 R , 且在 m , ?? 上单调递 增. 所以,当 x ? m 时函数 y ? ? ? x ? 的图象与 x 轴只 当 x ? m 时 , 恒 有 ? ? x ?max ? ? ? m

? ?

?

?

有一个公共点.

?

?

,

此时, y ? ? ? x ? 的图象与 x 轴不能再有公共点,必须

y ? ? ? x ? 得极大值小于零,即 ? ? ? m ? ? 0 , ? ? ? m ? ? 2m 2 m ? 4 ? 2 m ? 4 ? 0 ,
3

解得 m ? ? 3 2, 0 ? 0, 3 2 . 综上, m 的取值范围是 ? 3 2, 3 2

?

? ?

?

?

?

【例 5】 (2006 福建卷,文)已知 f ( x) 是二次函数,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 且

f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 12。
(I)求 f ( x) 的解析式; (II)是否存在自然数 m, 使得方程 f ( x) ?

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两个不 x

等的实数根?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 【分析及解】 (I)因为 f ( x) 是二次函数,且 f ( x) ? 0 的解集是 (0,5), 所以可设 f ( x) ? ax( x ? 5)(a ? 0). 由 f ? x ? ? a x2 ? 5x ? a ? x ?

?

?

? ?

5 ? 25 ? ? a, x ? ? ?1, 4? , 2? 4

2

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因为在区间 ? ?1, ? 上,函数 f ( x) 是减函数,在区间 ? , 4 ? 上, 函数 f ( x) 是增函数. 2 2

? ?

5? ?

?5 ?

? ?

所以, f ( x) 在区间 ? ?1, 4? 上的最大值是 f (?1) ? 6a. 由已知,得 6a ? 12, a ? 2. 所以, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2 x( x ? 5) ? 2 x ? 10 x( x ? R ).
2

(II)方程 f ( x) ?
3

37 ? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x 2 ? 37 ? 0. x
2 2

设 h( x) ? 2 x ? 10 x ? 37, 则 h '( x) ? 6 x ? 20 x ? 2 x(3 x ? 10). 当 x ? ? 0,

? 10 ? ? 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; ? 3?

当 x ??

? 10 ? , ?? ? 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。 ? 3 ?

因为 h(3) ? 1 ? 0, h ?

1 ? 10 ? ? 0, h(4) ? 5 ? 0, ??? 27 ? 3? ? 10 ? ? 10 ? ? ,? , 4? 内 分 别 有 唯 一 的 实 数 根 , 而 在 区 间 ? 3? ? 3 ?

所 以 方 程 h( x ) ? 0 在 区 间 ? 3,

(0,3), (4, ??) 内没有实数根,
所以存在唯一的自然数 m ? 3, 使得方程 f ( x) ? 个不同的实数根。 【例 6】(2006 福建卷,理)已知函数 f ( x) ? ? x ? 8 x, g ( x) ? 6 ln x ? m.
2

37 ? 0 在区间 (m, m ? 1) 内有且只有两 x

(I)求 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上的最大值 h(t ); (II)是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x ) 的图象有且只有三个不同的交 点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 【分析及解】 (I) f ( x) ? ? x ? 8 x ? ?( x ? 4) ? 16.
2 2

当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x) 在 ?t , t ? 1? 上单调递增,

h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1) 2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7; 当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时, h(t ) ? f (4) ? 16;
当 t ? 4 时, f ( x) 在 ?t , t ? 1? 上单调递减, h(t ) ? f (t ) ? ?t ? 8t.
2

??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 综上, h(t ) ? ?16,      t ? 4, 3? ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?
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(II)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x ) 的图象有且只有三个不同的交点,即函数 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. 因为 ? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6 ln x ? m,

6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x 当 x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? (1,3) 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? ?( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? ?( x) ? 0. 于是, ? ( x) max ? ? (1) ? m ? 7, ? ( x) min ? ? (3) ? m ? 6 ln 3 ? 15. ? 当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0. 因此,要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须
所以, ? ?( x) ? 2 x ? 8 ? 且只须

?? ( x)极大 ? m ? 7 ? 0, ? 即 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3. ? ?? ( x)极小 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0, ? 所以存在实数 m , 使得函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x ) 的图象有且只有三个不同的交点,m 的取值范围为 (7,15 ? 6 ln 3).
【练习题】 1.(2005 全国Ⅱ,文)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a .
3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点. 2.研究三次方程 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? 0 有且只有一个实数根的条件.
3 2

3、(2007 年全国Ⅱ卷,理) 已知函数 f ( x) ? x ? x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程;
3

(Ⅱ) a ? 0 , 设 如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线, 证明: a ? b ? f (a ) . ? 【分析及解】 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的导数; f ?( x) ? 3 x ? 1 . 曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为: y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,
2

即 y ? (3t ? 1) x ? 2t . (Ⅱ)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使
2 3

b ? (3t 2 ? 1)a ? 2t 3 . 于是,若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0
有三个相异的实数根.

g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b , 2 则 g ?(t ) ? 6t ? 6at ? 6t (t ? a ) . 当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

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a (??, 0) (0,a) (a, ?) ? t 0 ? g ?(t ) 0 0 ? ? g (t ) 增 极大值 减 极小值 增 由 g (t ) 的单调性,当极大值 a ? b ? 0 或极小值 b ? f (a ) ? 0 时,方程 g (t ) ? 0 最多有
一个实数根; 当 a ? b ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ? 数根; 当 b ? f (a ) ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? ? ,t ? a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异 的实数根. 综上,如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根, 则?

3a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实 2

a 2

?a ? b ? 0, ?b ? f (a ) ? 0. 即 ?a ? b ? f (a ) .
【练习题参考答案】 1.(I) f ?( x) ? 3 x ? 2 x ? 1 ,若 f '( x) ? 0 ,则 x ? ? , x ? 1 .
2

1 3

当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

1? ? ? ??, ? ? 3? ?
+

?

1 3

? 1 ? ? ? ,1? ? 3 ?


1 0 极小值

?1, ?? ?
+

0 极大值

?

?

?

1 5 ∴ f ( x) 的极大值是 f (? ) ? ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 3 27
(II)函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ? a ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) ? a ? 1 由此可知,取足够大的正数时,有 f ( x) >0,取足够小的负数时有 f ( x) <0,所以曲线 y = f ( x) 与 x 轴至少有一个交点 结合 f ( x) 的单调性可知:

? ? 1? 5 ? a ? 0. ? f max ? x ? ? f ? ? ? ? . 解得 a ? 1 . ? 3 ? 27 ? ? f ? f (1) ? a ? 1 ? 0. ? min ? ? 1? 5 ? a ? 0. 5 ? f max ? x ? ? f ? ? ? ? . 解得 a ? ? . 或? ? 3 ? 27 27 ? f ? f (1) ? a ? 1 ? 0. ? min
∴当 a ? ? ??, ?

2. 三次方程 f ? x ? ? 0 有且只有一个实数根,有下列两种情况:
2

? ?

5 ? ? ? ?1, ?? ? 时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 27 ?

(1) 函数 f ? x ? 在 x ? R 上是单调的,这相当于 f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? c 恒大于零,或恒 小于零,即 ? ? 4b 2 ? 12ac ? 0 ,即 b 2 ? 3ac . (2) 函 数 f ? x ? 在 x ? R 上 不 是 单调 的, 设 f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? c ? 0 有 两 个 根为
2

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x1 , x2 (此时 ? ? 4b 2 ? 12ac ? 0 ),这时,它们对应的函数值是极大或极小值,需满足
? f ? x1 ? ? 0, ? f ? x1 ? ? 0, ? ? 或? 即 f ? x1 ? f ? x2 ? ? 0 . ? ? f ? x2 ? ? 0. ? f ? x2 ? ? 0. ? ? ? b 2 ? 3ac, ? 因此,三次方程有且只有一个实数根的条件是: b ? 3ac 或 ? . ? f ? x1 ? f ? x2 ? ? 0 ?
2

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