1.1.3集合的基本运算第一课时


1.1.3

集合的基本运算

第1课时 并集、交集

1.理解两个集合并集和交集的含义.(重点) 2.会求两个简单集合的并集和交集.(重点、易错 点) 3.能用Venn图表达集合的并集与交集,体会数形 结合思想.(难点)

并集 所有 一般地,由________ 属于集合 A或 ______ 自然 属于集合 B 的元素组成的集合, 称为集 语言 合 A 与 B 的并集(注:并集还是集合) {x|x∈A或x∈B} 符号 A ∪B =_________________( 读作“A 语言 并 B ”)

图形 语言

交集 且 属于集合 B 一般地, 由属于集合 A _____ 自然 所有元素 组成的集合,称为 A 与 的____________ 语言 B 的交集(注:交集也是集合) A∩B={x|x∈A且x∈B} (读作“A 交 符号 _______________________ 语言 B ”)

图形 语言

练习:写出下列集合的交集和并集。
1、A={1,2,3,4}, B={1,2} 2、C={1,2,3,4}, D={3,4,5,6} 3、E={1,2,3}, F={4,5,6} 4、G={X/1<X< 2}, H={X/3<X<4} 5、 I={X/1<X<3}, J={X/2<X<4} 6、K={X/1<X<4}, L={X/2<X<3} 7、M={X/X<1}, N={X/X>-1} 8、O={X/X<1}, P={X/X>2}

1.设集合 M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},则 M∩ N = ( ) A.{x|1≤x<2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|2<x≤3} D.{x|2≤x≤3}

解析:

在数轴上表示集合 M 、N 为

∴M ∩N ={x |1≤x <2}. 答案: A

2.设集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N等 于( ) A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 解析: M∪N={-1,0,1,2}. 答案: D

3.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P= M∩N,则P的子集共有________个. 解析: ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N ={1,3}, ∴P的子集共22=4个. 答案: 4

4.已知A={x|x≤-2或x>5},B={x|1<x≤7},求 A∪B,A∩B.

解析: 将x≤-2或x>5及1<x≤7在数轴上表示出 来, 据并集的定义,图中所有阴影部分即为A∪B, ∴A∪B={x|x≤-2或x>1}. 据交集定义,图中公共阴影部分即为A∩B, ∴A∩B={x|5<x≤7.}

集合交、并的简单运算

(1)若集合 P={x |x 2=1},集合 M ={x |x 2-2x -3= 0},则 P∩M =________;P∪M =________. (2)已知集合 M ={x |-3<x ≤5},N ={x |-5<x <-2 或 x >5},则 M ∪N =________,M ∩N =________. (3)课本第九页例 6,例 7.

[思路点拨] 由题目可获取以下主要信息: ①题中两个集合均为数集; ②分别求交集和并集. 解答(2)题可借助数轴直观求解. 解析: (1)P={x|x2=1}={-1,1},M={x|x2-2x -3=0}={-1,3},所以P∩M={-1},P∪M={- 1,1,3}. 答案: {-1},{-1,1,3}

(2)借助数轴可知:

M∪ N={x|x>- 5}, M∩N= {x|-3<x<-2}. 答案: {x|x>-5} {x|-3<x<-2}

1.(1)已知集合 A={x|(x-1)· (x+2)=0},B={x|(x +2)(x-3)=0},则集合 A∪B 是( ) A.{-1,2,3} B.{-1,-2,3} C.{1,-2,3} D.{1,-2,-3} (2)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| x≤4,x ∈Z},则 A∩B=( ) A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2}

解析: (1)因 A= {1,-2},B={-2,3}, ∴A∪ B={1,-2,3}. (2)A= {x||x|≤2,x∈ R}={x|- 2≤x≤2},B= {x| x≤4,x∈ Z}={0,1,2,…,16},∴A∩B= {0,1,2}. 答案: (1)C (2)D

已知集合的交集、并集求参数
(1)集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B= {0,1,2,4,16},则 a 的值为________; (2)已知集合 M={2,3,a2+4a+2},N={0,7,a2 +4a-2,2-a},且 M∩N={3,7},则实数 a 的 值为________.
[思路点拨] (1)根据 A∪B 中的元素确定 a 和 a2 的值,求解即可. (2)根据交集中的元素都必在两集合中, 分别讨论 求解.
2

解析: (1)A ={0,2,a},B ={1,a2},A ∪B = {0,1,2,4,16}, a2=16 显然 ,解得 a=4. a=4 (2)∵M ∩N ={3,7},∴a2+4a+2=7,解得 a=1 或 a=-5. 当 a=-5 时,N 中的元素为 0,7,3,7,这与集合中 元素的互异性矛盾, 舍去. 当 a=1 时, M ={2,3,7}, N ={0,7,3,1},符合题意.∴a=1. 答案: (1)4 (2)1

对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的 问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间 的关系,再列方程(组)求解.另外,在处理有关 含参数的集合问题时,要注意对求得的结果进行 检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其 是互异性.

2.已知集合 A={x|0<x≤2},B={x|x≥a,a>0}, 求 A∪B,A∩B.

解析: (1)当0<a<2时,如图(1)所示.

∴A∪B={x|x>0},A∩B={x|a≤x≤2}.

(2)当 a=2 时,如图(2)所示,

∴A∪B={x|x>0},A∩B={2}.

(3)当 a>2 时,如图(3)所示.

∴A∪B={x|0<x≤2 或 x≥a},A∩B=?.

◎若 A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax-2=0},且 A∩B=B,求由实数 a 组成的集合 C. 2 【错解】 由 A={x|x -2x-3=0}, 得 A={-1,3}. ∵A∩B=B,∴B?A,从而 B= {-1}或 B= {3}. 当 B={-1}时,由 a×(- 1)-2=0,得 a=-2; 2 当 B={3}时,由 a×3-2=0,得 a= . 3 ? ? ? 2 ? ? 故由实数 a 组成的集合 C=?-2, ? . ? 3? ?

【错因】 由交集定义容易知道, 对于任何一个集 合 A,都有 A∩?=?,所以错解忽略了 B=?时的 情况. 【正解】 ①当 B≠?时,同上解法,得 a=-2 或 2 a= ; 3 ②当 B=?时,由 ax-2= 0 无实数根,得 a= 0. ? ? ? 2 ? ? 综上可知,实数 a 组成的集合 C=?-2,0, ? 3? ? ?
.

小结:
1、交集并集的概念(三种语言表述) 2、交集性质:A ? A ? __;A ? ? ? __ A ? A ? __;A ? ? ? __ 并集性质: 3、A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B


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