江苏省无锡市2016届高三上学期期末考试 数学



2015 年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷 高三数学
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在答题卡相应的位置上) 1、已知集合 A ? {?1,0,1}, B ? {0, a, 2} ,若 A ? B ? {?1,0} ,则 a ? 2、若复数 z ?

1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则 z 的模为 3?i

3、按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是 4、随机抽取 100 名年龄在 ?10,20? , ?20,30? ,??, ?50,60? 年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样 本的频率分布直方图如图所示,从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的分分随机抽取 8 人,则在

?50,60? 年龄段抽取的人数为

5、将函数 f ? x ? ? 2sin 2x 的图象上没一点向右平移 则 g ? x? ?

? 个单位,得到函数 y ? g ? x ? 的图象, 6

6、从 1, 2,3, 4 这四个数中随机取两个数,则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为 7、已知 sin(? ? 45 ) ? ?
?

2 ? ? 且 0 ? ? ? 90 ,则 cos 2? 的值为 10

8、在圆锥 VO 中, O 为底面圆心,半径 OA ? OB 且 OA ? VO ? 1 , 则 O 到平面 VAB 的距离为

·1·

9、设 ?ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A、B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为
?

10 、 对 于 数 列

?an ?

, 定 义 数 列

?bn ?

满 足 : bn ? an?1 ? an (n ? N ? ) , 且

bn?1 ? bn ? 1 n (? N ? a) ? ?, 3 , a ?1 4
则 a1 ?

1

11、已知平面向量 ? , ? 满足 ? ? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角为 120 ,则 ? 的模的取值范围是
?

? ? ??

??

??

? ? ? ?

??

12、过曲线 y ? x ? 点,

1 ( x ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线分别与 x 轴,y 轴交于点 A、B, O 是坐标原 x

若 ?OAB 的面积为

1 ,则 x0 ? 3

13、已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,线段 EF 在直线 l : y ? x ? 1 上运动,点 P 为线段 EF 上任意一点, 若圆 C 上存在两点 A、B,使得 PA ? PB ? 0 ,则线段 EF 长度的最大值是
3 2 ? ?? x ? 2 x ? x , x ? 1 14、已知函数 f ? x ? ? ? ,若对于 ?t ? R, f ?t ? ? kt 恒成立, x ?1 ? ?ln x,

??? ? ??? ?

则实数 k 的取值范围是

二、解答题:本题大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤, 七个将答案填写在答题卡上。 15、 (本小题 14 分) 在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? (sin B ? sin C,sin C ? sin A) ,

?

? ? ? b ? (sin B ? sin C,sin a) ,且 a ? b 。
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? c cos A, ?ABC 的外接圆的半径为 1,求 ?ABC 的面积。

16、 (本小题 14 分) 如图,平面 PAC ? 平面 ABC, AC ? BC, PE // CB, M 是 AE 的中点。
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(1)若 N 是 PA 的中点,求证:平面 CMN ? 平面 PAC ; (2)若 MN // 平面 ABC ,求证:N 是 PA 的中点。

17、 (本小题 14 分) 在一个直角边长为 10m 的等腰直角三角形 ABC 的草地上, 铺设一个也是等腰直角三角形 PQR 的花地, 要去 P、Q、R 三点分别在 ? ABC 的三边上,且要使 ? PQR 的面积最小,现有两种设计方案: 方案一:直角顶点 Q 在斜边 AB 上,R、P 分别在直角边 AC、BC 上; 方案二:直角顶点 Q 在直角边 BC 上,R、P 分别在直角边 AC,斜边 AB 上, 请问应选用哪一种方法?并说明理由。

18、 (本题满分 16 分) 已知椭圆 M :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,一个交点到相应的准线的距离为 3,圆 N 的 2 2 a b

2 2 2 2 方程为 ( x ? c) ? y ? a ? c (c 为半焦距)直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 M 和圆 N 均只有一个公

共点,分别设为 A、B。 (1)求椭圆方程和直线方程; (2)试在圆 N 上求一点 P,使

PB ?2 2。 PA

19、 (本题满分 16 分)
·3·

已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a?e?2 (a ? 0) x

(1)当 a ? 2 时,求出函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若不等式 f ? x ? ? a 对于 x ? 0 的一切值恒成立,求实数 a 的取值范围。

20、 (本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 an?1 ? an ? q(bb?1 ? bn ), n ? N ? 。 (1)若 bn ? 2n ? 3, a1 ? 1, q ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a1 ? 1, b1 ? 2 且数列 ?bn ? 为公比不为 1 的等比数列,求 q 的值,使数列 ?an ? 也是等比数列; (3)若 a1 ? q ,b n ? q n ( n ?N ?) 且 q ? (?1, 0) ,数列 ?an ? 有最大值 M 与最小值 m ,求 围。

M 的取值范 m

21、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21(B)选修 4-2:矩阵与变换(本题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

?1 0 ? ?1 2 ? ?1 ,若矩阵 AB 对应的变化把直线 l 变为直线 l ? : x ? y ? 2 ? 0 , ,B ? ? ? ? ?0 2 ? ?0 1 ?

求直线 l 的方程。

21、 (C)选修 4-4:坐标系与参数方程(本题满分 10 分) 已知极坐标的几点与还洗脚坐标系的原点重合,极轴与 x 轴个正半轴重合,若直线 l 的极坐标方程 为 ? sin(? ?

?
4

)?3 2。

(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知 P 为曲线 C : ?

? x ? 4cos ? (? 为参数)上一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值。 ? y ? 3sin ?

·4·

22、 (本题满分 10 分) 甲乙丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 数为 ? (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)在概率 P(? ? i)(i ? 0,1, 2,3) 中,若 P(? ? 1) 的值最大,求实数 a 的取值范围。

1 , a, a(0 ? a ? 1) ,三人各射击一次,击中目标的次 2

23、 (本题满分 10 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AD ? 1, D 1 D ? 2 ,点 P 为棱 CC1 的中点。 (1)设二面角 A ? A 1 B ? P 的大小为 ? ,求 sin ? 的值; (2)设 M 为线段 A 1B 上的一点,求

AM 的取值范围。 MP

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