第二章 函数3-函数的性质:单调性 奇偶性 周期性 对称性


数学 第二章 函数 3

(3)函数的性质:单调性 奇偶性 周期性 对称性 1.单调性 (1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用: a.定义法(取值――作差――变形――定号) 、 b.导数法 (在区间 内为增函数,则 如已知函数 )); 内, 若总有 , 则 为增函数; 反之, 若 在区间

,请注意两者的区别所在。 在区间 上是增函数,则 的 取 值 范 围 是 ____( 答 :

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意

型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为

,减区间为

。 如(1)若函数 在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数 的取

值范围是______(答:

) ); (2) 已知函数

在区间

上为增函数,

则 实 数

的 取 值 范 围 _____ ( 答 :

);( 3 ) 若 函 数

的值域为 R,则实数 的取值范围是______(答: 且 ));

③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减。

如函数

的单调递增区间是________(答: (1,2))。

(2)特别提醒:求单调区间时, 一是勿忘定义域,

如若函数

在区间

上为减函数,求

的取值范围(答:

-1-

数学 第二章 函数 3

) ; 二是在多个单调区间之间不能添加符号“ ”和“或”; 三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示。 (3) 你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗? (①比较大小; ②解不等式; ③求参数范围) 。 如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 , 求实数 的

取值范围。 (答: 2.奇偶性 ⑴偶函数: f (? x) ? f ( x)



设( a , b )为偶函数上一点,则( ? a, b )也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时, ⑵奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 设( a , b )为奇函数上一点,则( ? a ,?b )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时,
f ( x) ? ?1 . f (? x)

f ( x) ? 1. f (? x)

D ,D (3)设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 1 2 ,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇. 3.函数的周期性。 (1)类比“三角函数图像”得: ①若 期为 ②若 周期为 ③如果函数 图像有两条对称轴 ; 图像有两个对称中心 ; 的图像有一个对称中心 ;
-2-

,则

必是周期函数,且一周

,则

是周期函数,且一

和一条对称轴

,则函数

必是周期函数,且一周期为

数学 第二章 函数 3

如已知定义在

上的函数

是以 2 为周期的奇函数,则方程



上至少

有__________个实数根(答:5) (2)由周期函数的定义“函数 周期函数”得: ①函数 满足 ,则 是周期为 2 的周期函数; 满足 ,则 是周期为 的

②若

恒成立,则



③若 如(1)设 则 (2)定义在 是

恒成立,则 上的奇函数, ); 满足

。 ,当 时, ,

等于_____(答: 上的偶函数

,且在

上是减函数,若



锐角三角形的两个内角,则 ); (3)已知 993); (4) 设 是定义域为 R 的函数, 且 是偶函数,且 =993, =

的 大 小 关 系 为 _________( 答 :

是奇函数,求

的值(答:

, 又





=(答:

)

4.函数的对称性。

①满足条件 如已知二次函数

的函数的图象关于直线 满足条件

对称。 且方程 有

等根,则 ②点

=_____(答: 关于 轴的对称点为

); ;函数 关于 轴的对称曲线方程为

-3-

; ③点 关于 ; ④点 关于原点的对称点为 ; ⑤点 关于直线 的对称点为 ;曲线 。 特别地, 点 关于直线 ;曲线 关于直线 关于直线 ;函数 关于原点的对称曲线方程为 轴的对称点为 ;函数 关于 轴的对称曲线方程为

的对称曲线的方程为 的对称点为 关于直线 线的方程为 ;曲线 的对称点为 。

的对称曲线的方程为 f ( y, x)0 ;点 关于直线 的对称曲

如己知函数 像是

,若 关 于 原点 对 称的 图像 为

的图像是

,它关于直线

对称图

对 应 的函 数 解析 式是 ___________ (答 :

) ; ⑥曲线 如若函数 ) ⑦形如 (由分母为零确定)和直线 如已知函数图象 与 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 (由分子、分母中 的系数确定),对称中心是点 关于直线 对称,且图象 。 关于点 关于点 与 的对称曲线的方程为 的图象关于点( -2 , 3 )对称,则 。 = ______ (答:

(2,-3)对称,则 a 的值为______(答:2) ⑧ 的图象先保留 原来在 轴上方的图象,作出 轴下方的图象关于 轴的对称 的图象先保留 在 轴右方的图象,擦去
-4-

图形,然后擦去 轴下方的图象得到;

轴左方的图象,然后作出 如(1)作出函数 上的奇函数,则函数

轴右方的图象关于 及

轴的对称图形得到。 的图象; (2)若函数 是定义在 R

的图象关于____对称(答:

轴)

提醒: (1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化 为求点的对称问题; (2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称 轴)的对称点仍在图像上; (3)证明图像 意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 轴)的对称点仍在 上。 与 的对称性,需证两方面:①证明 上任

上;②证明

上任意点关于对称中心(对称

如(1)已知函数 心对称图形; (2)设曲线 C 的方程是 单位长度后得曲线 。①写出曲线

。求证:函数 ,将 C 沿 轴, 的方程(答:

的图像关于点

成中

轴正方向分别平行移动 ) ;②证明曲线

C与

关于点

对称。

-5-


相关文档

更多相关文档

三 函数的性质-单调性、奇偶性、对称性、周期性
函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
考点3:函数的性质练习(对称性,周期性,奇偶性,单调性)
1教案:函数的性质 单调性 奇偶性 周期性
函数的性质:奇偶性、单调性、周期性
函数的性质:奇偶性、单调性、周期性综合训练
19.三角函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)
函数性质的探求单调性、奇偶性、周期性、对称性
函数的性质-单调性、奇偶性、对称性、周期性
函数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用复习1
函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析
抽象函数奇偶性对称性周期性
函数性质的探求单调性、奇偶性、周期性、对称性
函数的定义域值域,单调性,奇偶性,周期性,对称性,综合练习题
电脑版