2013年卓越联盟自主招生数学试题及答案


2013 年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分.每小题给出的 4 个结论中,只有一项是符合题目要求 (1)已知 f ( x ) 是定义在实数集上的偶函数,且在 (0, ??) 上递增,则 (A) f (20.7 ) ? f (? log2 5) ? f (?3) (C) f (?3) ? f (? log2 5) ? f (20.7 ) (B) f (?3) ? f (20.7 ) ? f (? log2 5) (D) f (20.7 ) ? f (?3) ? f (? log2 5)

(2)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 零点的距离为

?

(A)先向右平移

? ,为得到 y ? f ( x) 的图象,可将 y ? sin x 图象上所有点 2 1 ?
3
个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的

2

) 的图象经过点 B (?

?

6

, 0) ,且 f ( x) 的相邻两个

2 1 ? (B) 先向左平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2 3
(C) 先向左平移 (D) 先向右平移

倍,纵坐标不变

个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 3 (3)如图,在 A, B, C , D, E 五个区域中栽种 3 种植物,要求同一区域 中只种 1 种植物,相邻两区域所种植物不同,则不同的栽种方法的总数 为( ) (A)21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f ?( x ) ,对任意的 x ? R , 有 f (? x) ? f ( x) ? x2 ,且在 (0, ??) 上 f ?( x) ? x . 若 f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围为 (A) [1, ??) (B) (??,1] (C) ( ??, 2] (D) [2, ??)

? 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ?

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) (5)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点是双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,则双曲线的渐 8 p

近线方程为



(6)设点 O 在 ?ABC 的内部,点 D , E 分别为边 AC , BC 的中点,且 OD ? 2 DE ? 1 , 则 OA ? 2OB ? 3OC ? .

(7)设曲线 y ?

2 x ? x 2 与 x 轴所围成的区域为 D ,向区域 D 内随机投一点,则该点落


2 2 入区域 {( x, y ) ? D x ? y ? 2} 内的概率为

(8)如图, AE 是圆 O 的切线, A 是切点, AD 与 OE 垂直,垂足是 D ,割线 EC 交圆 O 于 B, C , 且 ?ODC ? ? , ?DBC ? ? ,则 ?OEC ? (用 ? , ? 表示) .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (9) (本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 所对边分别为 a 、 b 、 c . 已知 (a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b)sin B . (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的最大值.

(10) (本题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 2) 的离心率为 ,斜率为 k 的直线 l 过点 E (0,1) 且与椭圆交于 C , D 两点. 2 a 4 3

(1)求椭圆方程; (2)若直线 l 与 x 轴相交于点 G ,且 GC ? DE ,求 k 的值; (3)设 A 为椭圆的下顶点, k AC 、 k AD 分别为直线 AC 、 AD 的斜率,证明对任意的 k 恒 有 k AC ? k AD ? ?2 . (11) (本题满分 15 分)设 x ? 0 , (1)证明: e ? 1 ? x ?
x

1 2 x ; 2

(2)若 e ? 1 ? x ?
x

1 2 y x e ,证明: 0 ? y ? x . 2
2 *

(12) (本题满分 15 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? nan ? ? , n ? N ,? ? R . (1)若 an ? 2n 对 ?n ? N 都成立,求 ? 的取值范围;
*

(2)当 ? ? ?2 时,证明

1 1 ? ? a1 ? 2 a2 ? 2

?

1 ? 2(n ? N * ) . an ? 2

答案:(1)A;

(2)B;

(3)C; (7) 1 ?

(4)B.

(5) y ? ? x ; (6)2;

1

?

; (8) ? ? ? .


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