无锡一中高二文科期中数学试卷


无锡市第一中学 2015-2016 学年度第一学期期中试卷

高二数学(文科)
命题人:冯一成审核人:蒋敏利 参考公式:球的表面积公式: S 球面 ? 4? R 2 ,圆(棱)锥的体积公式: V椎体 ?

1 Sh 3

一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置 上) 1.直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是▲. 2. 如 右 图 , 上 底 为 1, 下 底 为 2, 一 内 角 为 45? 的 直 角 梯 形 A' B' C ' D' 是一个水平放置的平面图形 ABCD 的斜二侧直观图, 则这个平面图形 ABCD 的面积等于▲.
A' 0 y' D' C' B' x'

1 第2题

3.如果两条直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 3 ? 0 平行,那么 a =▲.
2 4.已知质点运动的位移方程为 S ? t ? t ( S 的单位是 m , t 的单位是 s ) ,则该质点在 1 s 到

3 s 内的平均速度为▲ ?m / s ? . 5.函数 y ? x ? 2cos x 在 ? 0, ? ? 上单调减区间为▲. 6. 过点 A(3,5), B( ?3,7) ,且圆心在 x 轴上的圆的方程为▲. 7.点 A, B, C , D 均在同一球面上,且 AB, AC, AD 两两垂直,若 AB ? AC ? AD ? 1 ,则该 球的表面积为▲. 8.函数 y ? x3 ? ax2 ? x ? 1 在 x ? 1 处取得极值,则 a ? ▲. 9. 如 右 图 , Rt ?ABC 中 , ?C ?
A

?
2

, ?BAC ?

?
6

, AB ? 2 , 将 ?ABC 绕

C B 第9题

AB 边旋转一周得到一几何体,则该几何体的体积为▲.

10.如果对一切实数 x ,不等式 x ? 1 ? ax ? 2x 恒成立,则实数 a 的取值范围是▲.

11. 若圆 C 与圆 C1 : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,且圆 C 与圆 M :

x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? m ? 0 相外切,则实数 m 的值为▲.
B1 D1 C1 F1 B C 第12题 A A1

12. 如图 , 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 , ?BCA ? 90 , 点 D1 , F1 分
0

别是 A1 B1 , A1C1 的中点 , 若 BC ? CA ? 2CC1 , 则异面直线 BD1 与

AF1 所成的角是▲.

13. 若动点 P 在直线 x ? y ? 6 ? 0 上 , 动点 Q 到 O(0,0), A(3,0) 的距离之比为

1 , 则动点 2

P 与动点 Q 之间的最小距离为▲.
14 . 设 函 数 f ( x) ? ax3 ? (1 ? a) x2 ? (4 ? a2 ) x ? a, x ? R , 其 中

a 是常数,若在区间

[1 ? t ,1 ? t ](t ? 0) 上恒有 f ( x) ? f (1) ,则实数 a 的值是▲.
二.解答题(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (14 分) 已知 ?ABC 的顶点坐标分别为 A ? ?1,5? , B ? ?2, ?1? , C ? 4,3? ,点 M 是 BC 边 上的中点.求:(1)中线 AM 的长;(2) AB 边上的高所在的直线方程.

16.(14 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,四个侧面都是等边三角 形, AC 与 BD 的交点为 O , E, F , G 分别为 SC, BC, AD 的中点. (1)求证: BD ⊥平面 SAC ; (2)求证:平面 DEF ∥平面 SBG .
G A D O B F S E C

17. ( 15 分)三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 , 侧面 ABB1 A 1 为正方形 , 且侧面 BCC1 B1 ? 平面

ABC , ?ABC 为等腰直角三角形, ?BAC ? 90? , D , E , F 分别是 B1 A , CC1 , BC 的中
点. (1)求证: DE ∥平面 ABC ; (2)求证:二面角 B1 ? AF ? E 是直二面角; (3)当侧棱长为 2 时,求三棱锥 A ? B1EF 的体积.

C1 A1 E C F D

B1

B

A

18. (15 分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销 售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6, a 为常数. x ?3

已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得 的利润最大.

19.(16 分)已知圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ,点 M (1,3) . (1)自点 M 作圆 C 的切线 l ,求切线 l 的方程; (2)若以 M 为圆心的圆 M 截直线 y ? x ? 1 所得的弦长为 2 ,求圆 M 的方程; (3)设 P 是圆 C 上任意一点,问:在 x 轴上是否存在点 A(m,0), B(n,0), ( m, n 为实数), 使得

PA 1 ? ?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,说明理由. PB 2

20.(16 分)已知函数 f ( x) ? ax ln x, g ( x) ? ? x 2 ? bx ? 3 ,且 f ( x) 在 (1, 0) 处的切线方程 为 y ? x ?1. ⑴求 f ( x ) 的解析式; ⑵求 f ( x ) 在 (0, t ] (t ? 0) 上的最小值; ⑶若存在 x ? [ , e] ( e 自然对数的底数),使不等式 2 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 b 的取值 范围.

1 e

无锡市第一中学 2015-2016 学年度第一学期期中试卷文科参考答案:

(1)

? ? ? 5? ? (2) 3 2 (3) ? 1 (4) 5 (5) ? , ? 4 ?6 6 ?
? (10) ? 0,1? 2

(6) ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 50 (7) 3? (8)2(9)

(11) ? 9 (12)

? 7 2 (13) ? 2 (14) -1 2 2

15.(1) M (1,1), AM ? 2 5 ……………………………6分 (2)AB边上高为: y ? ?

1 11 x ? …………………14分 6 3

16.(1)

?SBD中,SD ? SB, O为BD中点 ? BD ? SO ? ? 正方形ABCD中 ? BD ? AC ? ? BD ? 平面SAC ? ……………6 分 AC ? SO ? O ?
(2)

? ?SBC中,EF 为中位线 ? EF ? SB ? ? ? ? EF ? 平面SBG ? ? EF ? 平面SBG ? ? ? SB ? 平面SBG ? ? ? G,F分别为AD, BC中点 ? DG ? BF ? 四边形DGBF 为? ? DF ? BG ? ? ? ? DF ? 平面SBG ? ? DF ? 平面SBG ? ? ? BG ? 平面SBG ? ? ? DF ? EF =F ? ? ? ? ? 平面DEF ? 平面SBG ?????????????????????14分
17.(1)取 AB 中点 G,连接 DG,CG,

1 ? ? ABB1中,DG为中位线 ? DG ? BB1 ? ? 2 ? ? DG ? ? ? EC ? 1 ? E为侧棱CC1中点 ? EC ? BB1 ? 2 ? ? 四边形ECGD为? ? ?????? 5分 ? ? DE ? 平面ABC ? ? DE ? 平面ABC CG ? 平面ABC ? ? DE ? CG

(2)

? ? ?ABC为等腰直角三角形 ? ? ? ? AF ? BC ? F为BC中点 ? ? ? ? AF ? EF 平面BCC1 B1 ? 平面ABC ? ? AF ? 平面BCC1 B1 ? ? ? AF ? B1 F 平面BCC1 B1 ? 平面ABC ? BC ? ? ? ? ? AF ? 平面ABC ? ? EF、FB1 ? 平面BCC1 B1 ?

? ?EFB 1 为二面角 B1 ? AF ? E 的平面角
设 AB ? 2a(a ? 0) ,则 BC ? 2 2a , BB1 ? 2a 在矩形 BCC1 B1 中,计算可得 EF ? 3a, FB ?
2 ? EF 2 ? FB2 ? EB1 ,? EF ? FB1

6a, EB1 ? 3a

? 二面角 B1 ? AF ? E 的平面角为 90 ? ,即二面角 B1 ? AF ? E 是直二面角………12分
(3)由(2)知, h ? AF ? 2 , V ?

1 1 ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1 ……………………15分 3 2

18.(1)将 x ? 5, y ? 11代入关系式可得 11 ?

a ? 10 , ? a ? 2 …………………3分 2

(2)设商场每日销售该商品所获得的利润为 W 元,则

W ? y ( x ? 3) ? [

2 ? 10( x ? 6) 2 ]( x ? 3) ? 10 x 3 ? 150 x 2 ? 720 x ? 1078 , 3 ? x ? 6 x?3

W ' ? 30x 2 ? 300x ? 720 ? 30( x ? 4)(x ? 6) 令 W ' ? 0 ,则 x ? 4
x W’ W (3,4) + 单调增 4 0 极大值 (4,6) 单调减

由上表可得当 x ? 4 时, W 取得最大值为 [

2 ? 10 ? (4 ? 6) 2 ] ? (4 ? 3) ? 42 元 4?3

答:销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大为 42 元……15 分

19.(1)切线方程为: y ?

5 31 x ? 和 x ? 1 ………………………………………4分 12 12

(2)

( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 …………………………………………10分
2 2

(3)解:设 P( x, y ) ,则 4 PA ? PB ,即 4( x ? m) 2 ? 4 y 2 ? ( x ? n) 2 ? y 2 又因为点 P 为圆上一点,有 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 化简得 (8m ? 2n ? 6) x ? n 2 ? 4m 2 ? 9 ? 0 令?

? 8m ? 2n ? 6 ? 0 ?m ? 0 ?m ? ?2 , 得 或? ? 2 2 ?n ? 4m ? 9 ? 0 ? n ? 3 ? n ? ?5
PA 1 ? ……………………16 分 PB 2

即存在点 A(0,0), B(3,0)或A(?2,0), B(?5,0) ,使得

20.解(1)

? f ?( x) ? a(ln x ? 1) ? f ?(1) ? a =1 …………………………………………………4分 ? f ( x) ? x ln x
(2)当 x ? ? 0, ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;当 x ? ? , ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单 调递增, 所以当 0 ? t ? 当t ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 时, f ( x) 在 (0, t ] 上单调减, f ( x) 的最小值为 f (t ) ? t ln t e

1 1 1 1 1 时, f ( x) 在 ( 0, ] 上单调减,在 [ , t ] 上单调增, f ( x) 的最小值为 f ( ) ? ? e e e e e

即 f ( x) min

1 ? ?t ln t , 0 ? t ? e ?? ………………………………………………10分 1 1 ? ? , t? e e ?

(3)由题意知

2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3则a ? 2 ln x ? x ?
设 h( x) ? 2ln x ? x ?

3 , x

3 2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ( x ? 0), 则h?( x) ? ? 1 ? 2 ? , x x x x2

当 x ? ? ,1? 时,h?( x) ? 0, h( x) 单调递减;当 x ??1, e?时,h?( x) ? 0, h( x) 单调递增;

?1 ? ?e ?

所以 h( x) max ? max ?h( ), h(e) ? ,

? 1 ? e

? ?

1 1 3 1 2 h( ) ? ?2 ? ? 3e, h(e) ? 2 ? e ? , h( ) ? h(e) ? 2e ? ? 4 ? 0 e e e e e
所以 a ?

1 ? 3e ? 2 …………………………………………………16分 e


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