新人教七年级数学下册 第八章二元一次方程组全章讲与练


第八章 二元一次方程组 第一节,
二元一次方程组

知识梳理

一,学习目标 1.了解并认识二元一次方程的概念. 2.了解与认识二元一次方程的解. 3.了解并掌握二元一次方程组的概念并会求解. 4. 掌握二元一次方程组的解并知道与二元一次方程的解的区别. 5.掌握代入消元法和加减消元法. 二,知识概要 1.二元一次方程:像 x+y=2 这样的方程中含有两个未知数(x 和 y) ,并且未知数的指数 都是 1,这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二 元一次方程的解.

3.二元一次方程组: 把两个方程 x+y=3 和 2x+3y=10 合写在一起为 把两个二元一次方程组合在一起,就组成了一个二元一次方程组.

像这样,

4.二元一次方程组的解: 二元一次方程组的两个方程的公共解, 叫做二元一次方程组的解. 5.代入消元法: 由二元一次方程组中的一个方程, 把一个未知数用含另一个未知数的式子 表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做 代入消元法,简称代入法. 6.加减消元法: 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时, 将两个方程的两 边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元 法,简称加减法. 三,重点难点 代入消元法和加减消元法是本周学习的重点,也是本周学习的难点. 四,知识链接

本周的二元一次方程组由我们学过的一元一次方程演化而来, 为以后解决实际问题提供了 一种有力的工具. 五,中考视点 本周所学的二元一次方程组经常在中考中的填空, 选择中出现, 还有的出现在解答题的计 算当中.

二元一次方程组的实际应用

一,学习目标 将实际问题转化为纯数学问题,建立数学模型(即二元一次方程组) ,解决问题. 二,知识概要 列方程组解应用题的常见类型主要有: 1. 行程问题.包括追及问题和相遇问题,基本等量关系为:路程=速度×时间; 2. 工程问题.一般分为两类, 一类是一般的工程问题, 一类是工作总量为 1 的工程问题. 基本等量关系为:工作量=工作效率× 工作时间; 3. 和差倍分问题.基本等量关系为:较大量=较小量+多余量,总量=倍数× 1 倍量; 4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类,基本关系式为: 顺流(风) :航速=静水(无风)中的速度+水(风)速 逆流(风) :航速=静水(无风)中的速度-水(风)速 5. 几何问题,年龄问题和商品销售问题等. 三,重点难点 建立数学模型(二元一次方程组)是本周的重点,也是本周的难点. 四,知识链接 本周知识是上周学的二元一次方程组的实际应用,为解决一些实际问题提供了一个模型, 一种方法. 五,中考视点 二元一次方程组是中考重点考查的内容之一,主要有以下几个方面: (1) 从实际数学问题中构造一次方程组,解决有关问题; (2) 能从图表中获得有关信息,列方程组解决问题.

第二节,教材解读

1.

二元一次方程:

含有两个未知数, 并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程. 从定义 中可以看出:二元一次方程具备以下四个特征: (1)是方程; (2)有且只有两个未知数; (3)方程是整式方程,即各项都是整式; (4)各项的最高次数为 1. 例如:像 +y=3 中, 不是整式,所以 +y=3 就不是二元一次方程;像 x+1=6, x+y-3z=8,不是含有两个未知数,也就不是二元一次方程;像 xy+6=1 中,虽然含有两 个未知数 x,y 且次数都是 1,但未知项 xy 的次数为 所以二元一次方程必须同时具备以上四点. 2.二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组, 它有两个特 点: 一是方程组中每一个方程都是一次方程; 二是整个方程组中含有两个且只含有两个 2,所以也不是二元一次方程,

未知数,如

一次方程组. 3.二元一次方程的一个解 符合二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解. 一般地二元一次方程的解有无数个,例如 x+y=2 中,由于 x,y 只是受这个方程的约 束,并没有被取某一个特定值而制约,因此,二元一次方程有无数个解. 4.二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解. 定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等, 而 不是使其中一个或部分左右两边的值相等,由于未知数的值必须同时满足每一个方程,

所以, 二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解, 即构成方程组的两个二元一次方 程的公共解.

第三节,错题剖析

【误解】A 或 D. 【思考与分析】 二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的

两个未知数的值,而

中的一个方程的解,并不能

让另一方程左,右两边相等,所以它们都不是这个方程组的解,只有 C 是正确的. 验证方程组的解时,要把未知数的值代入方程组中的每个方程中,只有使每个方程的左, 右两边都相等的未知数的值才是方程组的解. 【正解】C.

把式③代入式②得 8-3y+3y=8,0×y=0. 所以 y 可以为任何值. 所以原方程组有无数组解. 【思考与分析】 代入法是求二元一次方程组的解的一种基本方法.它的一般步骤是: (1) 从方程组中选一个系数比较简单的方程, 将这个方程中的一个未知数, 用含另一个未知数的 代数式表示出来,如本题中方程②中的 x,用含 y 的代数式表示为 x=8-3y;(2)将这个变 形所得的代数式代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;这里要求代 入"另一个"方程, "误解"把它代入到变形的同一个方程中, 得到了一个关于 y 的恒等式, 出现了错误.(3)解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;(4)将求出的未知数的值 代入前面变形所得的式子中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解. 【正解】由式②得 x=8-3y ③

把式③代入式①得 2(8-3y)+5y=-21, 解得 y=37.把 y=37 代入式③得 x=8-3×37,

解得 x=-103. 所以

【例 3】 解方程组 【错解】 方程①- ② 得: -3y=0,所以 y=0,

把 y=0,代入 ②得 x=-2,所以原方程组的解为 【分析】 在①- ②时出错. 【正解】 ①- ②得: (x-2y)-(x-y)=2-(-2) x-2y-x+y=4 -y=4 y=-4 把 y=-4 代入②得 x=-6,

所以原方程组的解为 【小结】 两方程相减时 ,易出现符号错误,所以要特别细心. 【例 4】 某化妆晚会上,男生脸上涂蓝色油彩,女生脸上涂红色油彩.游戏时,每个男生 都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的 2 倍少 1 人; 而每个女生都看见涂蓝色油彩 的人数是涂红色油彩的人数的 ,问晚会上男,女生各有几人? 错解: 设晚会上男生有 x 人,女生有 y 人.

根据题意,得 把①代入②,得 x= (2x-1) ,解得 x=3.把 x=3 代入②,得 y=5.

所以

答:晚会上男生 3 人,女生 5 人.

【分析】 本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝

色油彩的人数的 2 倍少 1 人, 这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数, 而是除自己 之外的男生人数,同理,女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数. 正解: 设晚会上男生有 x 人,女生有 y 人.

根据题意,得 把③代入④,得 , x= [2(x-1)-1-1] 解得 x=12. 把 x=12 代入④,得 y=21.

所以 答:晚会上男生 12 人,女生 21 人. 解二元一次方程组的问题看似简单,但如果你稍不注意,就有可能犯如下错误. 【例 5】 解方程组

【错解】 方程①+ ② 得: 2x=4, 原方程组的解是: x=2 【错因分析】 错解只求出了一个未知数 x,没有求出另一个未知数 y.所以求解是不完整 的.

【正解】 (接上)将 x=2 带入②得: y=0.所以原方程组的解为 【小结】 用消元法来解方程组时,只求出一个未知数的解,就以为求出了方程组的解, 这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解,而 不是一个解. 【例 6】解方程组

【错解】由式①得 y=2x-19 把式③代入式②得 2(2x-19-



【错因分析】"错解"在把变形后的式③代入式②时,符号书写出现了错误.当解比较复 杂的方程组时,应先化简,在求出一个未知数后,可以将它代入化简后的方程组里的任意一 个方程中,求出第二个未知数,这样使得运算方便,避免出现错误.

【正解一】化简原方程组得

【正解二】化简原方程组得 ①×6+②得 17x=114,

【小结】解二元一次方程组可以用代入法,也可以用加减法.一般地说,当方程组中有一 个方程的某一个未知数的系数的绝对值是 1 或有一个方程的常数项是 0 时, 用代入法比较方 便;当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法比较方便.

第四节,思维点拨

【例1】 小红到邮局寄挂号信,需要邮资3元8角. 小红有票额为6角和8角的邮票若干 张,问各需多少张这两种面额的邮票?

【思考与解】要解此题,第一步要找出问题中的数量关系. 寄信需邮资3元8角,由此可 知所需邮票的总票额要等于所需邮资 3.8 元. 再接着往下找数量关系, 所需邮票的总票额等 于所需6角邮票的总票额加上所需8角邮票的总票额. 所需6角邮票的总票额等于单位票 额6角与所需6角邮票数目的乘积. 同样的, 所需8角邮票的总票额等于单位票额8角与所 需8角邮票数目的乘积. 这就是题中蕴含的所有数量关系. 第二步要抓住题中最主要的数量关系,构建等式. 由图可知最主要的数量关系是: 所 需邮资=所需邮票的总票额. 第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量. 已知量 是所需邮资3.8 元,两种邮票的单位票额0.6 元和 0.8 元,未知量是两种邮票的数目. 第四步是设元(即设未知量) ,并用数学符号语言将数量关系转化为方程. 设 0.6 元的邮 票需 x 张,0.8 元的邮票需 y 张,用字母和运算符号将其转化为方程: 0.6x+0.8y=3.8. 第五步是解方程, 求得未知量. 由于两种邮票的数目都必须是自然数, 此二元一次方程可

以用列表尝试的方法求解.方程的解是 第六步是检验结果是否正确合理. 方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数, 将两解代 入方程后均成立,所以结果是正确合理的. 第七步是答,需要 1 张 6 角的邮票和 4 张 8 角的的邮票,或需要 5 张 6 角的邮票和 1 张 8 角的的邮票.

【例 2】小聪全家外出旅游,估计需要胶卷底片120张. 商店里有两种型号的胶卷: A 型每卷36张底片,B型每卷12张底片. 小聪一共买了4卷胶卷,刚好有120张底片. 求两种胶卷的数量.

【思考与解】第一步: 找数量关系. A型胶卷数+B型胶卷数=胶卷总数,A型胶卷的底 片总数+B型胶卷的底片总数=底片总数. A型胶卷的底片总数=每卷A型胶卷所含底片数 ×A型胶卷数,B型胶卷的底片总数=每卷B型胶卷所含底片数×B型胶卷数. 第二步: 找出最主要的数量关系,构建等式. A型胶卷数+B型胶卷数=胶卷总数,A 型胶卷的底片总数+B型胶卷的底片总数=底片总数. 第三步: 找出未知量和已知量. 已知量是: 胶卷总数,度片总数,每卷A型胶卷所含 底片数,每卷B型胶卷所含底片数;未知量是: A型胶卷数,B型胶卷数. 第四步: 设元,列方程组. 设A型胶卷数为 x,B型胶卷数为 y,根据题中数量关系可 列出方程组:

第五步:答:A型胶卷数为 3,B型胶卷数为 1. 【小结】我们在解这类题时,一般就写出设元,列方程组并解出未知量和答这几步,如有必 要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略. 【例3】 用加减法解方程组

【思考与分析】 经观察,我们发现两个方程中 y 的系数互为相反数,故将两方程相加, 消去 y. 解: ①+②,得 4x=8. 解得 x=2.

把 x=2 代入①,得 2+2y=3. 解得 y= . 所以,原方程组的解为:

【思考与分析】 经观察,我们发现 x 的系数成倍数关系,故先将方程①×2 再与方程② 作差消去 x 较好. 解: ①×2,得 4x-6y=16. ②-③,得 11y=-22. 解得 y=-2. ③

把 y=-2 代入①,得 2x-3×(-2)=8. 解得 x=1. 所以原方程组的解为

【思考与分析】 如果用代入法解这个方程组,就要从方程组中选一个系数比较简单的方 程进行变形,用含一个未知数的式子表示另一个未知数,然后代入另一个方程.本题中,方 程②的系数比较简单,应该将方程②进行变形. 如果用加减法解这个方程组,应从计算简便的角度出发,选择应该消去的未知数.通过观 察发现,消去 x 比较简单.只要将方程②两边乘以 2 ,然后将两方程相减即可消去 x. 解法 1: 由②得 x=8-2y.③ 把③代入①得 2(8-2y)+5y=21,解得 y=5. 把 y=5 代入③得 x=-2. 所以原方程组的解为:

解法 2: ②×2 得 2x+4y=16. ③

①-③得 2x+5y-(2x+4y)=21-16,解得 y=5. 把 y=5 代入②得 x=-2.

所以原方程组的解为 【小结】 我们解二元一次方程组时,用到的都是消元的思想,用代入法还是加减法解题, 原则上要以计算简便为依据.

【例 6】 用代入法解方程组

【思考与分析】 经观察,我们发现方程①为用 y 表示 x 的形式,故将①代入②,消去 x. 解: 把①代入②,得 3(y+3)-8y=14. 解得 y=-1. 把 y=-1 代入①,得 x=2.

所以原方程组的解为

【例 7】 用代入法解方程组 【思考与分析】 经观察比较,我们发现方程①更易于变为用含一个未知数的代数式表示 另一个未知数的形式,故选择①变形,消去 y. 解: 由①,得 y=2x-5. ③

把③代入②,得3x+4(2x-5)=2.解得 x=2. 把 x=2 代入③,得 y=-1. 所以原方程组的解为:

【例 8】 甲,乙两厂,上月原计划共生产机床 90 台,结果甲厂完成了计划的 112%,乙厂 完成了计划的 110%,两厂共生产机床 100 台,求上月两厂各超额生产了多少台机床? 【思考与分析】 我们可以采用两种方法设未知数,即直接设法和间接设法.直接设法就是 题目要求什么就设什么为未知数,本题中就是设上月甲厂超额生产 x 台,乙厂超额生产 y

台;而间接设法就是问什么并不设什么,而是采用先设出一个中间未知数,求出这个中间未 知数,再利用它同题中要求未知数的联系,解出所要 原计划生产 x 台,乙厂原计划生产 y 台. 解法一:直接设法. 设上月甲厂超额生产 x 台,乙厂超额生产 y 台,则共超额了 100-90=10(台) ,而甲厂 计划生产的台数是 根据题意,得 台,乙厂计划生产的台数是 台. 求的未知数,题中我们可设上月甲厂

答:上月甲厂超额生产 6 台,乙厂超额生产 4 台. 解法二:间接设法. 设上月甲厂原计划生产 x 台,乙厂原计划生产 y 台. 根据题意,得

所以 x×(112%-1)=50×12%=6, y×(110%-1)=40×10%=4. 答:上月甲厂超额生产 6 台,乙厂超额生产 4 台. 【例 9】 某学校组织学生到 100 千米以外的夏令营去,汽车只能坐一半人,另一半人步行. 先坐车的人在途中某处下车步行,汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走 4 千米,汽车每小时走 20 千米(不计上下车的时间) ,要使大家下午 5 点同时到达,问需何时 出发. 【思考与分析】 我们从行程问题的 3 个基本量去寻找,可以发现,速度已明确给出,只 能从路程和时间两个量中找出等量关系,有题意知,先坐车的一半人,后坐车的一半的人, 车三者所用时间相同,所以根据时间来列方程组.如图所示是路程示意图,正确使用示意图

有助于分析问题,寻找等量关系.

解: 设先坐车的一半人下车点距起点 x 千米, 这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距 y 千米,根据题意得

化简得 从起点到终点所用的时间为 所以出发时间为:17-10=7.即早晨 7 点出发. 答:要使学生下午 5 点到达,必须早晨 7 点出发. 【例 10】 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱, 一种是年利率为 2.25%的教育储蓄, 另一种是年利率为 2.25%的一年定期存款, 一年后可取出 2042.75 元,问这两种储蓄各存了多少钱?(利息所得税=利息金额×20%, 教育储蓄没有利息所得税) 【思考与分析】 设教育储蓄存了 x 元,一年定期存了 y 元,我们可以根据题意可列出表 格:

解:设存一年教育储蓄的钱为 x 元,存一年定期存款的钱为 y 元,则

答:存教育储蓄的钱为 1500 元,存一年定期的钱为 500 元. 【反思】 我们在解一些涉及到行程,收入,支出,增长率等的实际问题时,有时候不容 易找出其等量关系, 这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系, 题目中的 相等关系随之浮现出来.

第五节,竞赛数学

【例 1】 已知方程组

的解 x,y 满足方程 5x-y=3,求 k 的值.

【思考与分析】 本题有三种解法,前两种为一般解法,后一种为巧解法. (1) 由已知方程组消去 k,得 x 与 y 的关系式,再与 5x-y=3 联立组成方程组求出 x, y 的值,最后将 x,y 的值代入方程组中任一方程即可求出 k 的值. (2) 把 k 当做已知数,解方程组,再根据 5x-y=3 建立关于 k 的方程,便可求出 k 的 值. (3) 将方程组中的两个方程相加,得 5x-y=2k+11,又知 5x-y=3,所以整体代入即可 求出 k 的值.



代入①,得

,解得 k=-4.

解法二: ①×3-②×2,得 17y=k-22,

解法三: ①+②,得 5x-y=2k+11. 又由 5x-y=3,得 2k+11=3,解得 k=-4. 【小结】 解题时我们要以一般解法为主,特殊方法虽然巧妙,但是不容易想到,有思考巧

妙解法的时间,可能这道题我们已经用一般解法解了一半了,当然,巧妙解法很容易想到的 话,那就应该用巧妙解法了.

【例 2】 某种商品价格为每件33元,某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币各若 干张,买了一件这种商品. 若无需找零钱,则付款方式有哪几种(指付出2元和5元钱的张 数)?哪种付款方式付出的张数最少? 【思考与分析】 本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解. 我们先找出问 题中的数量关系,再找出最主要的数量关系,构建等式. 然后找出已知量和未知量设元,列 方程组求解. 最后,比较各个解对应的 x+y 的值,即可知道哪种付款方式付出的张数最少. 解: 设付出2元钱的张数为 x,付出5元钱的张数为 y,则 x,y 的取值均为自然数. 依 题意可得方程: 2x+5y=33. 因为 5y 个位上的数只可能是0或5, 所以 2x 个位上数应为3或8.

又因为2x 是偶数,所以2x 个位上的数是8,从而此方程的解为:

由 出的张数最少.

得 x+y=12; 由

得 x+y=15. 所以第一种付款方式付

答: 付款方式有3种,分别是: 付出4张2元钱和5张5元钱;付出9张2元钱和3 张5元钱;付出14张2元钱和1张5元钱. 其中第一种付款方式付出的张数最少.

【例 3】 解方程组 【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系 数的方程一样, 在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时, 也需要弄清字母的取值是否 为零. 解:由①,得 y=4-mx, ③

把③代入②,得 2x+5(4-mx)=8, 解得 (2-5m)x=-12,当 2-5m=0,

即 m=

时,方程无解,则原方程组无解. 时,方程解为

当 2-5m≠0,即 m≠ 将 故当 m≠ 代入③,得 时,

原方程组的解为 【小结】 含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同,但注意求解 时需要讨论字母系数的取值情况.

对于 x,y 的方程组 a2 与 b2 都至少有一个不等于零,则

中,a1,b1,c1,a2,b2,c2 均为已知数,且 a1 与 b1,



时,原方程组有惟一解;



时,原方程组有无穷多组解;



时,原方程组无解.

【例 4】某中学新建了一栋 4 层的教学大楼,每层楼有 8 间教室,这栋大楼共有 4 道门,其 中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同.安全检查中,对 4 道门进行了训练:当同时开 启一道正门和两道侧门时,2 分钟内可以通过 560 名学生;当同时开启一道正门和一道侧门 时,4 分钟可以通过 800 名学生. (1) 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2) 检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低 20%.安全检查规定,在 紧急情况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室 最多有 45 名学生,问:建造的这 4 道门是否符合安全规定?请说明理由. 【思考与解】 (1)设平均每分钟一道正门可通过 x 名学生,一道侧门可以通过 y 名学生.

根据题意,得 所以平均每分钟一道正门可以通过学生 120 人,一道侧门可以通过学生 80 人. (2) 这栋楼最多有学生 4×8×45=1440(人).拥挤时 5 分钟 4 道门能通过 5×2×(120+80)×(1-20%)=1600(人). 因为 1600>1440,所以建造的 4 道门符合安全规定. 答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过 120 名学生,80 名学生;建造的这 4 道门 符合安全规定. 【例 5】某水果批发市场香蕉的价格如下表:

张强两次共购买香蕉 50 千克(第二次多于第一次) ,共付款 264 元,请问张强第一次,第 二次分别购买香蕉多少千克? 【思考与分析】要想知道张强第一次,第二次分别购买香蕉多少千克,我们可以从香蕉的 价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三 段,分别是 6 元,5 元,4 元.相对应的香蕉的千克数也分为三段,我们可以假设张强两次买 的香蕉的千克数分别在某段范围内, 利用分类讨论的方法求得张强第一次, 第二次分别购买 香蕉的千克数. 解:设张强第一次购买香蕉 x 千克,第二次购买香蕉 y 千克.由题意,得 0<x<25.

①当 0<x≤20,y≤40 时,由题意,得

②当 0<x≤20,y>40 时,由题意,得 盾,不合题意,舍去) .

(与 0<x≤20,y≤40 相矛

③当 20<x<25 时,25<y<30.此时张强用去的款项为 5x+5y=5(x+y)=5×50=250<264(不 合题意,舍去). 综合①②③可知,张强第一次购买香蕉 14 千克,第二次购买香蕉 36 千克. 答: 张强第一次,第二次分别购买香蕉 14 千克,36 千克.

【反思】我们在做这道题的时候,一定要考虑周全,不能说想出了一种情况就认为万事大 吉了,要进行分类讨论,考虑所有的可能性,看有几种情况符合题意. 【例 6】 用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面,做成如图2的竖式和横式两种 无盖纸盒. 现在仓库里有1000张正方形纸板和2000 张长方形纸板, 问两种纸盒各做多 少个,恰好将库存的纸板用完?

【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数 1000,长方形纸板的总数 200 0, 未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数. 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定 数量的正方形纸板和长方形纸板做成, 如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板 和长方形纸板,就能建立起如下的等量关系: 每个竖式纸盒要用的正方形纸板数 × 竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的正方形纸板 数 × 横式纸盒个数 = 正方形纸板的总数 每个竖式纸盒要用的长方形纸板数 × 竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的长方形纸板 数 × 横式纸盒个数 = 长方形纸板的总数 通过观察图形, 可知每个竖式纸盒分别要用1张正方形纸板和4张长方形纸板, 每个横式 纸盒分别要用2张正方形纸板和3张长方形纸板. 解:由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.

设竖式纸盒做 x 个,横式纸盒做 y 个. 根据题意,得

①×4-②,得 5y=2000, 解得 y=400.

把 y=400 代入①,得 x+800=1000, 解得 x=200.

所以方程组的解为 因为 200 和 400 均为自然数,所以这个解符合题意. 答: 竖式纸盒做200个,横式纸盒做400个,恰好将库存的纸板用完.

第六节,本章训练

基础训练题

一,填空题(每题 7 分,共 35 分) 1.一个两位数的数字之和是 7, 这个两位数减去 27, 它的十位和个位上的数字就交换了 位置,则这个两位数是 .

2. 已知甲, 乙两人从相距36km 的两地同时相向而行, h 相遇.如果甲比乙先走 h, 1 那么在乙出发后 h 与甲相遇.设甲,乙两人速度分别为 xkm/h,ykm/h,则 x= = . 3. 甲,乙二人练习赛跑,如果甲让乙先跑 10 米,那么甲跑 5 秒钟就能追上乙;如果甲 让乙先跑 2 秒钟,那么甲跑 4 秒钟就能追上乙,两人每秒钟各跑的米数 是 . 4.一队工人制造某种工件,若平均每人一天做 5 件,全队一天就超额 30 件;若平均每 人一天做 4 件,全队一天就比定额少完成 20 件.若设这队工人有 x 人,全队每天的数额为 y 件,则依题意可得方程组 . ,y

5.某次知识竞赛共出了 25 道题,评分标准如下:答对 1 题加 4 分;答错 1 题扣 1 分; 不答记 0 分.已知小明不答的题比答错的题多 2 道, 他的总分为 74 分, 则他答对了 二,选择题(每题 7 分,共 35 分) 1.一个两位数的十位数字比个位数字小 2,且能被 3 整除,若将十位数字与个位数字交 换又能被 5 整除,这个两位数是( A. 53 B. 57 C. 35 ). D. 75 .

2.甲,乙两车相距 150km,两车同时出发,同向而行,甲车 4h 可追上乙车;相向而行,

1.5h 后两车相遇.设甲,乙两车的平均速度分别为 xkm/h,ykm/h.以下方程组正确的是 ( ).

3.甲,乙二人从同一地点出发,同向而行,甲骑车乙步行.若乙先行 12km,那么甲 1 小 时追上乙;如果乙先走 1 小时,甲只用 小时就追上乙,则乙的速度是( A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 )km/h.

4.一艘船在一条河上的顺流速度是逆流速度的 2 倍, 则船在静水中的速度与水流的速度 之比为( A. 4:3 ). B. 3:2 C. 2:1 D. 3:1

5.某校初中毕业生只能报考第一高中和第二高中中的一所.已知报考第一高中的人数是 报考第二高中的 2 倍,第一高中的录取率为 50%,第二高中的录取率为 60%,结果升入第 一高中的人数比升入第二高中的人数多 64 人,则升入第一高中与第二高中的分别有 ( ). A. 320 人,160 人 C. 160 人,96 人 B. 100 人,36 人 D. 120 人,56 人

三,列方程组解应用题(每题 15 分,共 30 分) 1.一批机器零件共 840 个,如果甲先做 4 天,乙加入合做,那么再做 8 天才能完成;如 果乙先做 4 天,甲加入合做,那么再做 9 天才能完成,问两人每天各做多少个机器零件? 2. 师傅对徒弟说"我像你这样大时,你才 4 岁,将来当你像我这样大时,我已经是 52 岁的人了".问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁? 答案 一,填空题 1. 52 2. 9,11 3. 甲跑 6 米,乙跑 4 米

5. 19 道题 二,选择题

1. B

2. B

3. A

4. D

5. C

三,列方程组解应用题 1. 【解题思路】由题意得甲做 12 天,乙做 8 天能够完成任务;而甲做 9 天,乙做 13 天也能完成任务,由此关系我们可列方程组求解. 解:设甲每天做 x 个机器零件,乙每天做 y 个机器零件,根据题意,得

答:甲每天做 50 个机器零件,乙每天做 30 个机器零件 2. 【解题思路】由"我像你这样大时,你才 4 岁"可知师傅现在的年龄等于徒弟现在 的年龄加上徒弟现在的年龄减 4,由"当你像我这样大时,我已经是 52 岁的人了"可知 52 等于师傅现在的年龄加上师傅现在的年龄减去徒弟的年龄.由这两个关系可列方程组求解. 解:设现在师傅 x 岁,徒弟 y 岁,根据题意,得

答:现在师傅 36 岁,徒弟 20 岁.

提高训练题

1. 甲,乙两人分别从相距 30 千米的 A,B 两地同时相向而行,经过 3 小时后相距 3 千米, 再经过 2 小时,甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍,求甲,乙两人的速度.

2. 2. 小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上,结果二元一次方程组

中第

一个方程 y 的系数和第二个方程 x 的系数看不到了,现在已知小丽的结果是 由此求出原来的方程组吗?

你能

3.若

是关于 x,y 的二元一次方程 3x-y+a=0 的一个解,求 a 的值.

4.已知方程组

其中正确的说法是(

)

A.只有(1)(3)是二元一次方程组; , B.只有(1)(4)是二元一次方程组; , C.只有(2)(3)是二元一次方程组; , D.只有(2)不是二元一次方程组. 答案 1.解: 设甲,乙的速度分别为 x 千米/时和 y 千米/时. 第一种情况:甲,乙两人相遇前还相距 3 千米. 根据题意,得

第二种情况:甲,乙两人是相遇后相距 3 千米. 根据题意,得

答:甲,乙的速度分别为 4 千米/时和 5 千米/时;或甲,乙的速度分别为 千米/时.

千米/时和

2.解:设第一个方程中 y 的系数为 a,第二个方程的 x 系数为 b.则原方程组可写成

3.解:既然

是关于 x,y 的二元一次方程 3x-y+a=0 的一个解,那么我们把



入二元一次方程 3x-y+a=0 得到 3-2+a=0,解得 a=-1. 4.解: 二元一次方程组是由两个以上一次方程组成并且只含有两个未知数的方程组, 所以其 中方程可以是一元一次方程,并且方程组中方程的个数可以超过两个.本题中的(1)(3) , , (4)都是二元一次方程组,只有(2)不是.所以选 D.

强化训练题

1.解关于 x,y 的方程组

,并求当解满足方程 4x-3y=21 时的 k 值

2. 有两个长方形, 第一个长方形的长与宽之比为 5:4, 第二个长方形的长与宽之比为 3:2, 第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大 112cm, 第一个长方形的宽比第二个长方形的 长的 2 倍还大 6cm,求这两个长方形的面积.

3.甲乙两人做加法,甲在其中一个数后面多写了一个 0,得和为 2342,乙在同一个加数后面 少写了一个 0,得和为 65,你能求出原来的两个加数吗? 4.某校 2006 年初一年级和高一年级招生总数为 500 人, 计划 2007 年秋季初一年级招生人数 增加 20%,高一年级招生人数增加 25%,这样 2007 年秋季初一年级,高一年级招生总数比 2006 年将增加 21%,求 2007 年秋季初一,高一年级的招生人数各是多少? 答案

从而第一个长方形的面积为: 5x×4x=20x =1620(cm ) ; 第二个长方形的面积为: 3y×2y=6y =150(cm ). 答:这两个长方形的面积分别为 1620cm 和 150cm .
2 2 2 2 2 2

3.解:设两个加数分别为 x,y.根据题意,得 所以原来的两个加数分别为 230 和 42.

解得

4.解:设 2007 年初一年级秋季招生人数为 x,高一年级招生人数为 y. 根据题意得

解得 答:2007 年初一年级秋季招生人数为 480 人,高一年级招生人数为 125 人.

综合训练题

一,精心选一选(每题 7 分,共 35 分)

1. 方程组

的解是(

).

2. 在一次小组竞赛中,遇到了这样的情况:如果每组 7 人,就会余 3 人;如果每组 8 人,就会少 5 人.问竞赛人数和小组的组数各是多少?若设人数为 x,组数为 y,根据题意, 可列方程组( ).

3. 买甲,乙两种纯净水共用 250 元,其中甲种水每桶 8 元,乙种水每桶 6 元,乙种水 的桶数是甲种水的桶数的 75%,设买甲种水 x 桶,乙种水 y 桶,则所列方程组中正确的是 ( ).

4. 一个两位数被 9 除余 2,如果把它的十位与个位交换位置,则所得的两位数被 9 除 余 5,设个位数字为 x,十位数字为 y,则下面正确的是( 整数) ).(以下选项中 k1,k2 都为

5. 用面值 l 元的纸币换成面值为 l 角或 5 角的硬币,则换法共有( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

)种.

二,用心填一填(每题 7 分,共 35 分) 1. 一艘轮船顺流航行,每小时行 20 千米;逆流航行每小时行 16 千米.则轮船在静水

中的速度为 ______,水流速度为______. 2. 一队工人制造某种工件,若平均每人一天做 5 件,那么全队一天就比定额少完成 30 件;若平均每人一天做 7 件,那么全队一天就超额 20 件. 则这队工人有______人,全队每 天制造的工件数额为______件. 3. 已知甲,乙两人从相距 18 千米的两地同时相向而行,1 小时相遇.再同向而行如果 甲比乙先走 小时,那么在乙出发后 y 千米/时,则 x=______,y=______. 4. 甲,乙二人练习赛跑,如果甲让乙先跑 10 米,那么甲跑 5 秒钟就能追上乙;如果乙 让甲先跑 2 秒钟,那么乙跑 6 秒钟落后于甲 28 米,甲每秒钟跑______,乙每秒钟跑______. 5. 小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规.售货员告诉他:这 10 元钱可以买一个圆规和 三支笔或买两个圆规和一支笔, 现在小强只想买一个圆规和一支笔, 那么售货员应该找给他 ______元. 三,耐心做一做(每题 10 分,共 30 分) 1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地, 如果他以每小时 50 千米的速度行驶, 就会 迟到 24 分钟;如果他以每小时 75 千米的高速行驶,则可提前 24 分钟到达乙地,求他以每 小时多少千米的速度行驶可准时到达. 2. 一家商店进行装修,若请甲,乙两个装修组同时施工,8 天可以完成,需付两组费 用共 3520 元;若先请甲组单独做 6 天,再请乙组单独做 12 天可以完成,需付两组费用共 3480 元.若只选一个组单独完成,从节约开支角度考虑,这家商店应选择哪个组? 3. 《参考消息》报道,巴西医生马廷恩经过 10 年研究得出结论:卷入腐败行列的人容 易得癌症,心肌梗塞,脑溢血,心脏病等病,如果将贪污受贿的 580 名官员和 600 名廉洁官 员进行比较,可发现,后者的健康人数比前者的健康人数多 272 人,两者患病或患病致死者 共 444 人,试问贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分之几? 答案 一,精心选一选 1. B 2. C 3. B 4. C 5. B 小时乙追上甲.设甲,乙两人速度分别为 x 千米/时,

二,用心填一填 1.18 千米/时,2 千米/时. 2. 25,155. 3. 4,6.

4. 8 米,6 米. 三,耐心做一做

5. 4.

1. 【解题思路】由于甲地到乙地的距离不知道是多少,从甲地到乙地规定的时间也不 知道,所以不能直接求速度.我们可以设甲地到乙地的路程和规定的时间为未知数,列方程 求解,最后用速度=路程÷时间得到标准速度. 解:设甲,乙两地的之间距离为 s 千米,从甲地到乙地的规定时间为 t 小时.

根据题意,得

解得 经检验,符合题意.则 =60(千米/小时).

答:他以每小时 60 千米/小时的速度行驶可准时到达. 2. 【解题思路】由甲乙混做的时间和钱数我们可求出甲乙各自单独做需要的时间和费 用,然后再进行比较. 解:设甲组单独完成需 x 天,乙组单独完成需 y 天,则根据题意,得

经检验,符合题意.即甲组单独完成需 12 天,乙组单独完成需 24 天. 再设甲组工作一天应得 m 元,乙组工作一天应得 n 元.

经检验,符合题意. 所以甲组单独完成需 300×12=3600(元) ,乙组单独完成需 140×24=3360(元).故

从节约开支角度考虑,应选择乙组单独完成. 答: 这家店应选择乙组单独完成. 3. 【解题思路】由题意我们只要求出贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数再分别 与各自的总数作比即可得到贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百 分比. 解:设贪污受贿的官员中健康人数有 x 人,廉洁官员中健康人数有 y 人,根据题意,得

答:贪污受贿的官员中健康人数占统计人数的 40%,廉洁官员中健康人数占统计人数 的 84%.

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