高中数学常用思想方法


高中数学常用的思想方法 在高中数学里, 思想方法是数学学科的灵魂, 应用在教学内容里, 体现在解决问题中,是知识和能力连接的桥梁。学生若能掌握一些 常用的思想方法,在问题处理上将变被动为主动,积极探索,引领 着步入数学的王国。下面总结一些常见的数学方法,以例题来进一 步领会探究。 一、函数的思想 函数的思想,是用运动和变化的观点分析和研究数学的数量关系, 是对函数概念的本质认识,建立函数关系和构造函数,运用函数的 图像和性质去分析问题,转化问题,从而使问题获得解决,经常利 用的函数性质有单调性、奇偶性、周期性、对称性、最大值和最小 值以及图像的变换等。 例 1:已知函数 f(x)=kx,g(x)= ,若不等式 f(x)≥g(x) 在区间(0,+∞)上恒成立,求 k 的取值范围。 分析:由 f(x)≥g(x)可知 k≥ 恒成立,转化为求 k 大于等于 函数 f(x)= 的最大值。 解:由题意可得 k≥ 在区间(0,+∞)上恒成立,令 f(x)= 又 f’(x)= 令 f’(x)=0 得 x= ∴函数 f(x)在区间(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调 递减,当 x= 时,函数 f(x)有最大值,且最大值为 。 ∴k 的取值范围为 k≥ 二、方程的思想 方程的思想,是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或 方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性 质去分析转化问题,使问题得以解决,方程的教学是对方程概念的 本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处 理问题。 例 2:已知成等差数列的四个数之和为 26,而第二个数与第三个 数之积为 40,求这个等差数列。 分析:常规方法利用已知求出 a1 与 d ,再求这四个数,此方法 计算复杂, 由于四个数的和已知, 不如设这四个数依次为 a-3d, a-d, a+d,a+3d.这样列方程求 a 和 d 会更简单,但应注意公差为 2d。 解:设成等差数列的这四个数依次是:a-3d,a-d,a+d,a+3d。 由题设可知 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26(a-d) (a+d)=40 解得 a= d= 或 a= d=∴这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2 函数思想和方程思想是密切相关的。函数问题可以转化方程问题 来解决,而方程问题也有时可以转化为函数问题加以解决。如函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的交点问题可转化为方程 f(x)=g(x) 的解的问题,而方程 f(x)=0 是否有实根,有几个实根可转化为 求函数 y=f(x)是否有零点,有几个零点的问题。 例 3:已知函数 f(x)=x1nx,g(x)=-x2+ax-2,若函数 y=f(x) 与 y=g(x)的图像恰有一个公共点,求 a 实数的值。 解:由题意,函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像恰有一个公共点等 价于 f(x)- g(x)=x1nx+x2-ax+2=0 在(0,+∞)上有且仅有一 个根, 即 a=lnx+x+ 在 (0, +∞) 上有且仅有一个根, 令h (x) =lnx+x+ , 则 h’(x)= +1- = = (x+2) (x-1) 易知 h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)单调递增 ∴a= h(x)min=h(1)=3 三、数形结合思想 数形结合就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转 化来解决数学问题的一种重要的思想方法。通过“以形助数,以数 助形” ,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为 形象思维,有助于把握数

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