两角和与差的余弦学案2 高中数学 必修四 苏教版 Word版


互动课堂 疏导引导 1.两角差的余弦公式 把 cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦,可以考虑利用两个向量的数量积来研究,如 下图,设 α,β 的终边分别与单位圆交于点 P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ),由于余弦函数是周期 为 2π 的偶函数,所以我们只考虑 0≤α-β<π 的情况. 设向量 a= OP 1 =(cosα,sinα), b= OP 2 =(cosβ,sinβ), 则 a· b=|a||b|·cos(α-β)=cos(α-β). 另一方面,由向量数量积的坐标表示, 有 a· b=cosαcosβ+sinαsinβ, ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 于是,对于任意的 α、β,都有上述式子成立. 2.两角和的余弦公式 比较 cos(α-β)与 cos(α+β),并且注意到 α+β 与 α-β 之间的关系:α+β=α-(-β),则由两 角差的公式得: cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosα·cosβ-sinαsinβ, 即 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 3.对两角和与差的公式的理解和记忆 (1)上述公式中的 α、β 都是任意角. (2)公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反. (3)要注意和(差)角的相对性,掌握角的变化技巧.如 2α=(α+β)+(α-β), α=(α+β)-β,α=(α-β)+β. 活学巧用 【例 1】 利用公式 Cα-β,Cα+β 证明下列等式. (1)cos(π-α)=-cosx; (2)cos( 3? -α)=-sinα. 2 3 3 3 ? -α)=cos ? cosα+sin· ? sinα 2 2 2 12 3 ,cosβ= ? ,α、β 均为第二象限角,求 cos(α-β),cos(α+β). 13 5 解析:(1)cos(π-α)=cosπcosα+sinπsinα=-cosα+0·sinα=-cosα. (2)cos( =0·cosα-sinα=-sinα. 【例 2】 已知 sinα= 解析:由 sinα= 12 ,α 为第二象限角, 13 ∴cosα= ? 1 ? sin 又由 cosβ=- 2 ? ? ? 1? ( 12 2 5 ) ?? . 13 13 3 ,β 为第二象限角, 5 2 ∴sinβ= 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) 2 ? . 3 5 4 5 ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 5 3 12 4 63 )× ( ? )+ × = . 13 5 13 5 65 ? 3? 12 3 【例 3】已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)= ? ,求 cos2α 与 cos2β. 4 13 5 2 ? 3? 解析:∵ <β<α< , 4 2 ? 3 ∴0<α-β< ,π<α+β< ? , 4 2 (∴sin(α-β)= 1 ? cos (? ? ? ) ? 1 ? ( 2 12 2 5 ) ? , 13 13 3 5 2 cos(α+β)= ? 1 ? sin (? ? ? ) ? ? 1 ? (? ) ? ? 2 4 , 5 ∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =- 4 12 3 5 63 × +( ? )× =. 5 13 5 13 65 cos2β=

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