近年高考数列大题及解析(文数)


1. (2013 大纲,17,10 分) (本小题满分 10 分) 数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (Ⅰ)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (Ⅱ)求{an}的通项公式. [解析] 1.17. 解析 (Ⅰ)证明:由 an+2=2an+1-an+2 得, an+2-an+1=aa+1-an+2, 即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn=1+2(n-1), 即 an+1-an=2n-1.(8 分)

于是 所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n+2.(10 分) 2. (2014 安徽,18,12 分) 数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.

(Ⅰ)证明:数列

是等差数列;

(Ⅱ)设 bn=3n·

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

[解析] 2.18. 解析 (Ⅰ)由已知可得

=

+1,即

-

=1.

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所以

是以

=1 为首项,1 为公差的等差数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 从而 bn=n· 3n.

=1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2.

Sn=1· 31+2· 32+3· 33+…+n·3n,① 3Sn=1· 32+2· 33+…+(n-1)· 3n+n· 3n+1.② ①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n· 3n+1

=

-n· 3n+1=

.

所以 Sn=

.

3.(2013 山东,20,12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2, a2n=2an+1. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ) 若数列{bn}满足 + +…+ =1- , n∈N*, 求{bn}的前 n 项和 Tn. 3.

答案和解析
文数 [答案] 1.查看解析 [解析] 1.17. 解析 (Ⅰ)证明:由 an+2=2an+1-an+2 得, an+2-an+1=aa+1-an+2, 即 bn+1=bn+2.

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又 b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn=1+2(n-1), 即 an+1-an=2n-1.(8 分)

于是 所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n+2.(10 分) [答案] 2.查看解析

[解析] 2.18. 解析 (Ⅰ)由已知可得

=

+1,即

-

=1.

所以

是以

=1 为首项,1 为公差的等差数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 从而 bn=n· 3n.

=1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2.

Sn=1· 31+2· 32+3· 33+…+n·3n,① 3Sn=1· 32+2· 33+…+(n-1)· 3n+n· 3n+1.② ①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n· 3n+1

=

-n· 3n+1=

.

所以 Sn=

.

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[答案] 3.(Ⅰ) 设等差数列{an}的首项为 a1, 公差为 d. 由 S4=4S2, a2n=2an+1 得

解得 a1=1, d=2. 因此 an=2n-1, n∈N*.

(Ⅱ) 由已知 + +…+ =1- , n∈N*,

当 n=1 时,

=;

当 n≥2 时,

=1- -

= .

所以 = , n∈N*. 由(Ⅰ) 知, an=2n-1, n∈N*,

所以 bn=

, n∈N*,

又 Tn= + + +…+

,

Tn= + +…+ 两式相减得

+

,

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Tn= +

-

=-

-

,

所以 Tn=33.

.

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