2013版高考数学专题辅导与训练配套课件:4.2数列的通项与求和(湖北专供-数学文)


第二讲

数列的通项与求和

点击进入相应模块

【考情快报】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题: (1)以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式,考 查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属

中档题.
(2)通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和

问题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,
属中档题.

【核心自查】
一、主干构建

二、重要公式

1.“基本数列”的通项公式
n (1)数列-1,1,-1,1,?的通项公式是an= (-1) _____.

n (2)数列1,2,3,4,?的通项公式是an=__.
2n+1 (3)数列3,5,7,9,?的通项公式是an=_____. 2n (4)数列2,4,6,8,?的通项公式是an=___.

2n-1 (5)数列1,2,4,8,?的通项公式是an=____. n2 (6)数列1,4,9,16,?的通项公式是an=__. (7)数列1,3,6,10,?的通项公式是an=________. 2
1 1 1 1 1 (8)数列 , , , , ?的通项公式是an=___. n 1 2 3 4

n ? n ? 1?

2.常用的拆项公式
1 n(n ? 1) 1 ? (2) n(n ? k)

(1)

1 1 ? ; ? ____________ n n ?1

1 1 1 ( ? ) ; k n n?k 1 1 1 1 ( ? ) ? ________________ (3) 2 2n ? 1 2n ? 1 ; (2n ? 1)(2n ? 1)

(4) 若等差数列{an}的公差为d,则
1 1 1 1 ? ( ? ); a n a n ?2 2d a n a n ?2

1 1 1 1 ? ( ? ); a n a n ?1 d a n a n ?1

(5)
(6) (7)

1 1 1 1 ? [ ? ]; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
1 n ? n ?1 1 ? n ? 1 ? n;

1 ? ( n ? k ? n ); n ? n?k k

提醒:实际应用中,注意验证所拆项是否正确 .

热点考向 一

求数列的通项公式

【典例】1.(2012·长春模拟)已知数列{an}满足a1=36,an+1an=2n,则
an 的最小值为____________. n

2na n ?1 a n ?1 ? 2n ? 2 (n≥2),则数列{an}的通项公式为an=________________.

2.(2012·临沂模拟)已知数列{an}满足a1=2, a n ?

3.(2012·合肥模拟)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为 Sn,Tn,a1=1,b1=2,且对任意n∈N*,都有 Sn ? n 2 ,Tn ? 2bn ? 2 成 an 立,求数列{an},{bn}的通项公式.

【解题指导】1.利用累加法先求an再求解. 2.由递推关系,构造新等差数列{
n }求解. an

3.先由和与项的递推关系,利用an= S1,(n=1) Sn-Sn-1,(n≥2)

转化为项与项的递推关系再求通项公式.

【解析】1.由an+1-an=2n,得 a2-a1=2, a3-a2=4,

a4-a3=6,
?

an-an-1=2(n-1).
将以上n-1个式子累加得
a n ? a1 ? (n ? 1) ? 2(n ? 1) ? 2? 2 ? n 2 ? n.

又∵a1=36,∴an=n2-n+36,
a n n 2 ? n ? 36 36 ∴ ? ? n ? ? 1, n n n a 当n=6时, n 有最小值11. n

答案:11

2.∵ a n ?

2na n ?1 , a n ?1 ? 2n ? 2

a ? 2 n ? 1? ∴ 1 ? n ?1 ? , an 2na n ?1

∴ n ? a n ?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ,

an 2a n ?1 2 a n ?1 即 n ? n ?1 ? 1 ? n ? 2? , a n a n ?1 2 n 1 1 1 ∴数列{ }构成以 ? 为首项, 为公差的等差数列, 2 an a1 2

∴ n ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n , ∴an=2.
an 2 2 2

答案:2

3.(1)由 Sn ? n 2 , 知Sn=n2an, an Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2), 两式相减得an=n2an-(n-1)2an-1, 即(n2-1)an=(n-1)2an-1,
an n ?1 ? ? n ? 2? , a n ?1 n ? 1 a 2 a3 an 1 2 3 n ? 3 n ? 2 n ?1 a ? a ? ? 1 ? ? ? ??? ? ? ? ∴ n 1 a1 a 2 a n ?1 3 4 5 n ?1 n n ?1



2 ? n ? 2? , n ? n ? 1?

又a1=1也适合上式,因此 a n ?

2 . n ? n ? 1?

(2)由Tn=2bn-2,∴Tn-1=2bn-1-2(n≥2), 两式相减得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1, ∴数列{bn}构成以b1=2为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2n.

【拓展提升】 求数列通项公式的常见类型及方法 (1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采

用归纳猜想法.

?S1 (n ? 1), (2)已知Sn与an的关系,利用 a n ? ? 求a n. ?Sn ? Sn ?1 (n ? 2), (3)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}
前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠 加法).

(4)累乘法:数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}前n

项可求积,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).
(5)构造法:递推关系形如: ①an+1=pan+q(p,q为常数),可化为 a n ?1 ? 的形式,利用{ a n ?
q p ?1

q q ? p(a n ? )(p ? 1) p ?1 p ?1 }是以p为公比的等比数列求解;

②递推关系形如 a n ?1 ?
1 a n ?1 ? 1 1 ? 的形式. an p

pa n (p为非零常数) 可化为 an ? p

提醒:注意对n分类讨论.

热点考向 二

数列求和

【典例】(12分)(2012·惠州模拟)已知数列{an}满足:

a1=1,a2= 1 ,且 [3+(-1)n ]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*. 2 (1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式; (2)设bn=a2n-1·a2n-(-1)nlna2n,求S2n.

【解题指导】(1)令n=1,2,3,4代入递推关系式求得a3,a4,a5,a6 的值,并据此分n为奇数、偶数探究数列{an}的递推关系,从 而求得an. (2)在(1)的基础上求得bn的通项公式,根据其结构特征选择求 和方法求和.

【规范解答】(1)经计算a3=3,a4= 1 ,a5=5,a6= 1 .
4 8

当n为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列, ∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1;?????????????2分

当n为偶数,an+2= 1 an,即数列{an}的偶数项成等比数列,

1 n ?1 1 n ? a 2n ? a 2( ) ? ( ). ?n 2 2 因此,数列{an}的通项公式为 a n ? ? ? 1

2

? n为奇数 ?
n 2

?( ) ? 2

? n为偶数 ?

. ???4分

(2)∵ bn ? a 2n ?1 a 2n ? ? ?1? lna 2n
n

1 n 1 n n ? ? 2n ? 1 ( ? ? ?1? ln( ) ? ) 2 2 1 n n ??????????6分 ? ? 2n ? 1 ( ) ? ? 1 ? ? ? nln2. 2 1 n n 令c n ? ? 2n ? 1 ( ,d n ? ? ?1? nln2, ? ) 2

并设数列{cn},{dn}的前n项和分别为Tn,Tn′.

则Tn ? 1

1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ?3 ( ) ?5 ( ) ??? ? 2n ? 3? ( ) ? ? 2n ? 1? ( ) ① 2 2 2 2 2 ②

1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 Tn ? 1 ( ) ?3 ( ) ?5 ( ) ??? ? 2n ? 3? ( ) ? (2n ? 1) ( ) 2 2 2 2 2 2

①,②两式相减,得
1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 Tn ? 1 ? 2[ ( )( ? )??? ( ) ] ? ? 2n ? 1? ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] 1 2 1 n ?1 2 ? ? ? ? 2n ? 1? ( ) 1 2 2 1? 2
? 3 1 n ?1 1 n ? ? 2n ? 3? ( ) .? Tn ? 3 ? (2n ? 3) ( ) .……………………9分 2 2 2

T2n′=[-1+2-3+4-?+2n]ln2=nln2,
???????????????????????11分
1 2n ∴S2n=T2n+T2n′=3-(4n+3)( ) +nln2. 2

???????????????????????12分

【拓展提升】数列求和的常见类型及方法

(1)通项公式形如an=kn+b或an=p·qkn+b(其中k,b,p,q为常
数),用公式法求和.

(2)通项公式形如 a n ? (k1n ? b1 )qk n?b (其中k1,b1,k2,b2,q为常
2 2

数),用错位相减法. (3)通项公式形如 a n ? 裂项相消法.
c (其中a,b1,b2,c为常数)用 ? an ? b1 ? (an ? b2 )

(4)通项公式形如an=(-1)n·n或an=a·(-1)n(其中a为常数, n∈N*)等正负交叉项的求和一般用并项法.并项时应注意分n为

奇数、偶数两种情况讨论.
(5)若数列的通项公式为以上四种中的某几个构成的,则可用分

组法(拆项法)求和.
提醒:(1)运用公式法求和时注意公式成立的条件 . (2)运用错位相减法求和时,相减后,要注意右边的 n+1项中的 前n项,哪些项构成等比数列,以及两边需除以代数式时注意要 讨论代数式是否为零.

【思想诠释】数列求和中的转化与化归思想

(1)本题中的转化与化归主要是:
①将通项公式an的求解转化为等差、等比数列通项公式的求解 . ②求Sn转化为求{cn}与{dn}的前n项和,再转化为求
1 2 1 3 1 4 1 n n ( )( ? )( ? )??? ( ) 与 ? ?1 ? 2 ? ? ? ?3 ? 4 ? ??? ? ?1? n的和. 2 2 2 2

(2)数列求和中应用转化与化归思想的常见类型:

①错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解.
②并项求和时,将问题转化为等差数列求和. ③分组求和时,将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项 相消法或并项法求和的几个数列的和求解.

1.(角度新)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225,

(1)求数列{an}的通项an;
(2)设 bn ? 2a ? ? ?1?n a n, 求数列{bn}的前n项和Tn.
n

【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意,
?a1 ? 2d ? 5, a1 ? 1, 得 ? 解得 ? ? ? 15 ? 14 ?d ? 2, 15a1 ? d ? 225, ? 2 ?

∴an=2n-1.

(2) b n ? 2a ? ? ?1?n a n ?
n

1 n n 4 ? ? ?1? ? 2n ? 1? , 2 1 n 2 n ? 4 ? 4 ??? 4 ? ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ??? ? 1 2n ? 1? ? . ? ? ? ? ? ? ? 2

? Tn ? b1 ? b 2 ??? b n ?

n ?1 4 ?4 当n为偶数时,Tn ? ? n; 6

当n为奇数时,T ? 4 n

n ?1

?4 4n ?1 ? 4 ? [? n ? 1? ? ? 2n ? 1?] ? ? n, 6 6

4n ?1 ? 4 n ? Tn ? ? ? ?1? n. 6

2.(角度新)已知数列{2n-1·an}的前n项和 Sn ? 1 ? n .
2

(1)求数列{an}的通项公式;
(2) 设b n ?
an 1 ,求数列{ }的前n项和. n bn

【解析】 ?1? n ? 1时, 20 a1 ? S1 ? , ? a1 ? ;
1 1 当n ? 2时, 2 a n ? Sn ? Sn ?1 ? ? , ?an ? ? n . 2 2 1 1 又n ? 1时,a1 ? ? ? , 2 2 1 ? n ? 1?, 2 ?an ? 1 ? n ? n ? 2?. 2
n ?1

1 2

1 2

(2)设 { } 的前n项和为Tn,
当n ? 1时,b1 ? n ? 2时,b n ? ? Tn ? a1 1 1 ? , ? T1 ? ? 2; 1 2 b1

1 bn

1 1 n , ? ? n 2 , n n2 bn ①

1 1 1 ? ??? ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ??? n 2 n b1 b 2 bn

2Tn ? 22 ? 2 ? 23 ??? ? n ? 1? 2n ? n 2n ?1 ① ? ②得 ? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ??? 2n ? n 2n ?1 ? 2 ? ?1 ? 2n ? 1? 2 ? n 2n ?1,



所以Tn ? 2 ?1 ? 2n ? ? n 2n ?1, ? ?2 ? n ? 1?, 则Tn ? ? n n ?1 2 1 ? 2 ? n 2 ? n ? 2 ?. ? ? ? ?

3.(交汇新)已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点 Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,记an与an+1的等差中项 为k n.

(1)求数列{an}的通项公式;
(2) 若b n ? 2k a n,求数列?b n ?的前n项和Tn;
n

(3)设集合A={x|x=kn,n∈N*},B={x|x=2an,n∈N*},等差数列
{cn}的任意一项cn∈A∩B,其中c1是A∩B中的最小数,且110< c10<115,求{cn}的通项公式.

【解析】(1)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上, ∴Sn=n2+2n(n∈N*), 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1. 当n=1时,an=S1=3满足上式, 所以数列{an}的通项公式为an=2n+1. (2)∵kn为an与an+1的等差中项,
a n ? a n ?1 2n ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? 1 ?kn ? ? ? 2n ? 2, 2 2 ? b n ? 2k n a n ? 4 ? 2n ? 1? 4n.

∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43+?+4×(2n+1)×4n



由①×4,得
4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+?+4×(2n+1)×4n+1 ②

①-②得:
-3Tn=4[3×4+2×(42+43+?+4n)-(2n+1)×4n+1]
? 4[3 ? 4 ? 2 ? 42 ?1 ? 4n ?1 ? ? ? 2n ? 1? ? 4n ?1 ]

1? 4 6n ? 1 n ? 2 16 ? Tn ? 4 ? . 9 9

(3)∵A={x|x=kn,n∈N*},B={x|x=2an,n∈N*}, ∴A∩B=B, ∵cn∈A∩B,c1是A∩B中的最小数, ∴c1=6.

∵{cn}是公差为4的倍数的等差数列,
∴c10=36m+6(m∈N*).

又∵110<c10<115,
115, ?110<36m ? 6< ?? ?m ? N*,

解得m=3.所以c10=114, 设等差数列的公差为d,则 d ? c10 ? c1 ? 114 ? 6 ? 12,
10 ? 1 9

? cn ? 6 ? ? n ? 1? ?12 ? 12n ? 6, ? cn ? 12n ? 6.


相关文档

更多相关文档

2013版高考数学专题辅导与训练配套课件:4.3与数列交汇的综合问题(湖北专供-数学文)
2013年高考数学总复习课件6.4__数列的通项及数列求和
2013高考数学一轮复习 5-4数列求和课件 文
2013届高考数学一轮复习 6.4 数列的通项及数列求和精品课件 新人教A版
2013届高考数学一轮复习 5-4数列的通项与求和课件 理 新人教A版
2013高考数学(理)二轮复习课件(解析版):专题3 数列及数列的简单应用(湖北省专用)
2013高考数学(文)二轮复习课件(解析版):专题3 数列及数列的简单应用(江西省专用)
2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件:5.2 等差数列及其前n项和(共57张PPT)
2013高考数学(文)二轮复习课件(解析版):专题3 数列及数列的简单应用(湖南省专用)
2013年高考数学一轮复习 7.9 数列求和(二)课件 理
2013年高考数学总复习课件6.4__数列的通项及数列求和
北师大版五年级《品德与社会》下册教学计划
高2014级高一下期末总复习数列中档题
2013高三数学二轮专题三第2讲 数列求和及数列的综合应用
2013年高三数学二轮复习课件 第二讲 数列的通项公式与数列求和
电脑版