2013年新课标人教A版高一数学必修二第二单元测试试题


2013 年新课标人教 A 版高一数学必修二第二单元测试试题
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.若直线 a 和 b 没有公共点,则 a 与 b 的位置关系是( A.相交 C.异面 B.平行 D.平行或异面 ) )

2.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为( A.3 B.4 C.5 D.6 )

3.已知平面α 和直线 l,则α 内至少有一条直线与 l( A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面

4.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 AB,A1D1 所成的角等于( A.30° B.45° C.60° D.90° )

)

5.对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面α ,使得( A.a? α ,b? α C.a⊥α ,b⊥α 6.下面四个命题: ①若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面; ②若直线 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交; ③若 a∥b,则 a,b 与 c 所成的角相等; ④若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c. 其中真命题的个数为( A.4 B.3 ) C.2 D.1 B.a? α ,b∥α D.a? α ,b⊥α

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 A1B1,B1C1 上的不与端点重合的动点, 如果 A1E=B1F,有下面四个结论: ①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF 与 AC 异面;④EF∥平面 ABCD. 其中一定正确的有( A.①② B.②③ ) C.②④ D.①④

8.设 a,b 为两条不重合的直线,α ,β 为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的 是( ) A.若 a,b 与α 所成的角相等,则 a∥b B.若 a∥α ,b∥β ,α ∥β ,则 a∥b C.若 a? α ,b? β ,a∥b,则α ∥β

D.若 a⊥α ,b⊥β ,α ⊥β ,则 a⊥b 9.已知平面α ⊥平面β ,α ∩β =l,点 A∈α ,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线

m∥α ,n∥β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(
A.AB∥m C.AB∥β B.AC⊥m D.AC⊥β

)

10.(2012·大纲版数学(文科))已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的 中点,那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( )

A.- C.
3 4

4 5

B. .

3 5 3 5

D.-

11. 已知三棱锥 D-ABC 的三个侧面与底面全等, 且 AB=AC= 3, BC=2, 则以 BC 为棱, 以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余弦值为( A. 3 3 1 B. 3 C.0 1 D.- 2 )

12.如图所示,点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PA⊥平面 ABCD,PA=AB,则 PB 与 AC 所成的角是( )

A.90° C.45°

B.60° D.30°

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 13.下列图形可用符号表示为________.

14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 C1-AB-C 的平面角等于________. 15.设平面α ∥平面β ,A,C∈α ,B,D∈β ,直线 AB 与 CD 交于点 S,且点 S 位于平 面α ,β 之间,AS=8,BS=6,CS=12,则 SD=________. 16.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面 BCD 成 60°的角; ④AB 与 CD 所成的角是 60°. 其中正确结论的序号是________. 三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)如下图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 与△A1B1C1 都为正三角形且 AA1⊥ 面 ABC,F、F1 分别是 AC,A1C1 的中点.

求证:(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF; (2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. [分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理, 寻找使结论成立的 充分条件.

18.(本小题满分 12 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC =3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点.

(1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积. 19. (12 分)如图所示, 边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,

BC=2 2,M 为 BC 的中点.

(1)证明:AM⊥PM; (2)求二面角 P-AM-D 的大小. 20.(本小题满分 12 分)(2010·辽宁文,19)如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱 形,B1C⊥A1B.

(1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D

DC1 的值.

21.(12 分)如图,△ABC 中,AC=BC= 底面 ABC,若 G,F 分别是 EC,BD 的中点.

2 AB,ABED 是边长为 1 的正方形,平面 ABED⊥ 2

(1)求证:GF∥底面 ABC; (2)求证:AC⊥平面 EBC; (3)求几何体 ADEBC 的体积 V. [分析] (1)转化为证明 GF 平行于平面 ABC 内的直线 AC;(2)转化为证明 AC 垂直于平 面 EBC 内的两条相交直线 BC 和 BE;(3)几何体 ADEBC 是四棱锥 C-ABED.

22.(12 分)如下图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点.

(1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

详解答案 1[答案] 2[答案] D C

[解析] AB 与 CC1 为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行的直线,因此只有两类:

第一类与 AB 平行与 CC1 相交的有:CD、C1D1 与 CC1 平行且与 AB 相交的有:BB1、AA1, 第二类与两者都相交的只有 BC,故共有 5 条. 3[答案] C

[解析] 1°直线 l 与平面α 斜交时,在平面α 内不存在与 l 平行的直线,∴A 错; 2°l? α 时,在α 内不存在直线与 l 异面,∴D 错;

3°l∥α 时,在α 内不存在直线与 l 相交. 无论哪种情形在平面α 内都有无数条直线与 l 垂直. 4[答案] D

[解析] 由于 AD∥A1D1,则∠BAD 是异面直线 AB,A1D1 所成的角,很明显∠BAD=90°. 5[答案] B

[解析] 对于选项 A,当 a 与 b 是异面直线时,A 错误;对于选项 B,若 a,b 不相交, 则 a 与 b 平行或异面,都存在α ,使 a? α ,b∥α ,B 正确;对于选项 C,a⊥α ,b⊥α , 一定有 a∥b,C 错误;对于选项 D,a? α ,b⊥α ,一定有 a⊥b,D 错误. 6[答案] D

[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确; 对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a 与 c 可以平行,可以相交,也可以异面,故④错 误. 7[答案] D

[解析] 如图所示.由于 AA1⊥平面 A1B1C1D1,EF? 平面 A1B1C1D1,则 EF⊥AA1,所以①正 确;当 E,F 分别是线段 A1B1,B1C1 的中点时,EF∥A1C1,又 AC∥A1C1,则 EF∥AC,所以③不 正确;当 E,F 分别不是线段 A1B1,B1C1 的中点时,EF 与 AC 异面,所以②不正确;由于平面

A1B1C1D1∥平面 ABCD,EF? 平面 A1B1C1D1,所以 EF∥平面 ABCD,所以④正确.

8[答案]

D

[解析] 选项 A 中,a,b 还可能相交或异面,所以 A 是假命题;选项 B 中,a,b 还可 能相交或异面,所以 B 是假命题;选项 C 中,α ,β 还可能相交,所以 C 是假命题;选项 D 中,由于 a⊥α ,α ⊥β ,则 a∥β 或 a? β ,则β 内存在直线 l∥a,又 b⊥β ,则 b⊥l, 所以 a⊥b. 9[答案] C

[解析] 如图所示:

AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l? AC⊥m;AB∥l? AB∥β .
10[答案] 3 命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用. 5

[解析] 首先根据已知条件,连接 DF,然后则角 DFD1 即为 异面直线所成的角,设边长为 2,则可以求解得到 5=DF=D1F,DD1=2,结合余弦定理得到结论. 11[答案] C [解析] 取 BC 中点 E,连 AE、DE,可证 BC⊥AE,BC⊥DE,∴∠AED 为二面角 A-BC-D 的平面角 又 AE=ED= 2,AD=2,∴∠AED=90°,故选 C. 12[答案] B [解析] 将其还原成正方体 ABCD-PQRS,显见 PB∥SC,△ACS 为正三角形,∴∠ACS= 60°.

13[答案] α ∩β =AB

14[答案] 45° [解析] 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,由于 BC⊥AB,BC1⊥AB,则∠C1BC 是二面 角 C1-AB-C 的平面角.又△BCC1 是等腰直角三角形,则∠C1BC=45°.

15[答案] 9 [解析] 如下图所示,连接 AC,BD,

则直线 AB,CD 确定一个平面 ACBD. ∵α ∥β ,∴AC∥BD, 则

AS CS 8 12 = ,∴ = ,解得 SD=9. SB SD 6 SD

16[答案] ①②④ [解析] 如图所示,①取 BD 中点,E 连接 AE,CE,则 BD⊥AE,BD⊥CE,而 AE∩CE=E, ∴BD⊥平面 AEC,AC? 平面 AEC,故 AC⊥BD,故①正确.

②设正方形的边长为 a,则 AE=CE=

2 a. 2

由①知∠AEC=90°是直二面角 A-BD-C 的平面角,且∠AEC=90°,∴AC=a, ∴△ACD 是等边三角形,故②正确. ③由题意及①知,AE⊥平面 BCD,故∠ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的角,而∠ABE=45°, 所以③不正确. ④分别取 BC,AC 的中点为 M,N, 连接 ME,NE,MN. 1 1 则 MN∥AB,且 MN= AB= a, 2 2

ME∥CD,且 ME= CD= a,
∴∠EMN 是异面直线 AB,CD 所成的角. 在 Rt△AEC 中,AE=CE= 2 a,AC=a, 2

1 2

1 2

1 1 ∴NE= AC= a.∴△MEN 是正三角形,∴∠EMN=60°,故④正确. 2 2 17[证明] (1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点, ∴B1F1∥BF,AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F, ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,∴B1F1⊥AA1. 又 B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面 ACC1A1,而 B1F1? 平面 AB1F1, ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 18[解析]

(1)如图所示,连接 AC,由 AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得 AC=5. 又 AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE. ∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD,所以 PA⊥CD. 而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE,AD 相交于 F,G,连接 PF. 由(1)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角,且

BG⊥AE.
由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.

AB=4,AG=2,BG⊥AF,由题意,知∠PBA=∠BPF,
因为 sin∠PBA= ,sin∠BPF= ,所以 PA=BF. 由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又 BG∥CD,所以四边形 BCDG 是平行四边形,故 GD =BC=3.于是 AG=2. 在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以

PA PB

BF PB

AB2 16 8 5 8 5 BG= AB2+AG2=2 5,BF= = = .于是 PA=BF= . BG 2 5 5 5
1 又梯形 ABCD 的面积为 S= ×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 2

V= ×S×PA= ×16×

1 3

1 3

8 5 128 5 = . 5 15

19[解析] (1)证明:如图所示,取 CD 的中点 E,连接 PE,EM,EA,

∵△PCD 为正三角形, ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= 3. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD, ∴PE⊥平面 ABCD,而 AM? 平面 ABCD,∴PE⊥AM. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴△ADE,△ECM,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得 EM= 3,AM= 6,AE= 3, ∴EM +AM =AE .∴AM⊥EM. 又 PE∩EM=E,∴AM⊥平面 PEM,∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知 EM⊥AM,PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 P-AM-D 的平面角. ∴tan∠PME= =
2 2 2

PE EM

3 3

=1,∴∠PME=45°.

∴二面角 P-AM-D 的大小为 45°. 20[解析]

(1)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1, 又已知 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B, 所以 B1C⊥平面 A1BC1,又 B1C? 平面 AB1C 所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1 . (2)设 BC1 交 B1C 于点 E,连接 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面

B1CD 的交线.
因为 A1B∥平面 B1CD,A1B? 平面 A1BC1,平面 A1BC1∩平面 B1CD=DE,所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D

DC1=1.

21[解] (1)证明:连接 AE,如下图所示.

∵ADEB 为正方形, ∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 的中点, 又 G 是 EC 的中点, ∴GF∥AC,又 AC? 平面 ABC,GF?平面 ABC, ∴GF∥平面 ABC. (2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB, 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,平面 ABED∩平面 ABC=AB,EB? 平面 ABED, ∴BE⊥平面 ABC,∴BE⊥AC. 又∵AC=BC=
2 2

2 AB, 2
2

∴CA +CB =AB , ∴AC⊥BC. 又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面 BCE. (3)取 AB 的中点 H,连 GH,∵BC=AC= 2 2 AB= , 2 2

1 ∴CH⊥AB,且 CH= ,又平面 ABED⊥平面 ABC 2 1 1 1 ∴GH⊥平面 ABCD,∴V= ×1× = . 3 2 6 22[解析] (1)证明:在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC⊥BC. 又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面 BCC1B1. ∵BC1? 平面 BCC1B,∴AC⊥BC1. (2)证明:设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,又四边形 BCC1B1 为正方形. ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE∥AC1. ∵DE? 平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (3)解:∵DE∥AC1, ∴∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角. 1 5 在△CED 中,ED= AC1= , 2 2

CD= AB= ,CE= CB1=2 2,
∴cos∠CED= 2 2 2 = . 5 5 2

1 2

5 2

1 2

2 2 ∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 . 5


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