高中数学必修5测试题附答案


高一数学必修 5 试题
一.选择题本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1. 由 a1 ? 1 , d ? 3 确 定 的 等 差 数 列 ?an ? , 当 an ? 298 时 , 序 号 n 等 于 ( ) A.99 B.100 C.96 D.101 ( )

2. ?ABC 中,若 a ? 1, c ? 2, B ? 60? ,则 ?ABC 的面积为 A.
1 2

B.

3 2

C.1

D. 3 ( D. 101 ( ) )

3.在数列 {an } 中, a1 =1, an?1 ? an ? 2 ,则 a51 的值为 B.49 C.102 4 4.已知 x ? 0 ,函数 y ? ? x 的最小值是 x A.5 B.4 C.8 D.6
x2-4x+5 5 10.已知 x≥ ,则 f(x)= 有( 2 2x-4 5 A.最小值 4 C.最小值 1 ) 5 B.最大值 4 D.最大值 1

A.99

?x-2?2+1 ?x-2? 1 解析: f(x)= = + . 2 2?x-2? 2?x-2? 5 ∵x≥ ,∴x-2>0, 2 ∴f(x)≥2 1 =1. 4

x-2 1 当且仅当 = , 2 2?x-2? 即 x=3 时,取等号. 答案: C

5.在等比数列中, a1 ? A. 3

1 1 1 , q ? , an ? ,则项数 n 为 2 2 32 B. 4 C. 5



) D. 6 ( )

6.不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 R ,那么 A. a ? 0, ? ? 0 B. a ? 0, ? ? 0 C. a ? 0, ? ? 0

D. a ? 0, ? ? 0

?x ? y ? 1 ? 7.设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ? y ? ?2 ?

( D. -8



A. 5

B. 3

C. 7

8.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45? ,则此三角形解的情况是 ( A.一解
2 3



B.两解
2 3

C.一解或两解
1 3 1 4

D.无解 ( )

9.在△ABC 中, 如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 , 那么 cosC 等于
A. B. C. D. -

10.一个等比数列 {an } 的前 n 项和为 48, 前 2n 项和为 60, 则前 3n 项和为 ( A、63 B、108 C、75 D、83



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 11. .在 ?ABC 中, A ? 600,b ? 1, 面积为 3 , 则
a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

.

12. 已知等差数列 ?an ? 的前三项为 a ? 1, a ? 1,2a ? 3 ,则此数列的通项公式为 ________ . 13.不等式
2x ?1 ? 1 的解集是 3x ? 1



14. .已知数列 ?an ? 满足 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ? ?2n an ? 4n ?1 则 ?an ? 的通项公式 。

15.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存 货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 km 处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站________ 处. 20 解析: 由已知得 y1= ,y2=0.8x(x 为仓库与车站的距离). x 20 费用之和 y=y1+y2=0.8x+ ≥2 x 答案: 5 km 20 20 0.8x· =8, 当且仅当 0.8x= 即 x=5 时等号成立. x x

三、解答题 15. (10 分)已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a 6 ? 项和.
5 ,求其第 4 项及前 5 4

15.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 48n (1)求数列的通项公式 (2)求 Sn 的最大或最小值

15. (1) an ? 2n ? 49 (2)当 n=24 时, S n 有最小值:-576

16. (10 分)(1) 求不等式的解集: ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 (2)求函数的定义域: y ?

x ?1 ?5 x?2

2 17 (12 分).在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个

根, 且 2coc( A ? B) ? 1 。 求:(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。

18、 (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC-ccos (A+C)=3acosB. (I)求 cosB 的值; (II)若 BA ? BC ? 2 ,且 a ? 6 ,求 b 的值. 16.如图,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁,一船正在向南航行,在 B 处测得小 岛 A 在船的南偏东 30°, 航行 30 海里后, 在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45°, 如果此 船不 改变航 向 ,继续 向南 航行, 有 无触礁 的危 险?( sin15° =0.26, cos15° =0.97,

2 ? 1.414 )
B

16.此船不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险。

C

A

? 1 ? 2 19. (12 分)若不等式 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ?x ? x ? 2? , ? 2 ?
(1) 求 a 的值;
2 2 (2) 求不等式 ax ? 5 x ? a ? 1 ? 0 的解集.

18.(本题 12 分) 围建一个面积为 360 平方米的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙
(利用旧墙需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 米的 进出口;如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/米,新墙的造价为 180 元/米,设利用的旧 墙的长度为 x 米,总费用为 y(单位:元). (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小, 并求出最小总费用.

x

解(1)设矩形的另一边长为 a m
则 y ? 45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=

360 , x
……………6 分…..

所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) x

(II) Q x f 0,? 225x ?

3602 ? 2 225? 3602 ? 10800……….8 分 x 3602 ? 360 ? 10440 x

? y ? 225x ?

当且仅当 225x=

3602 ,即 x=24m 时等号成立…………..11 分 x

∴当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元…….12 分

20.某工厂生产 A、B 两类型桌子,每张桌子需木工和油漆两道工序完成。已知木 工做 A、B 型桌子各一张分别需要 1 小时和 2 小时;漆工油漆 A、B 型桌子各 一张分别需要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作时间分别不得得超 过 8 小时和 9 小时,而生产一张 A、B 型桌子的利润分别为 15 元和 20 元,试 问工厂每天应生产 A、 B 型桌子各多少张,才能获得利润最大?最大利润是多 少?

工厂每天生产 A 型桌子 2 张,每天生产 B 型桌子 3 张时, 才能获得利润最大。最大利润是 90 元。

20(12 分)已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2n ?1(n ? N * , n ? 2) ,且 a4 ? 81 (1)求数列的前三项 a1、a2、a3 的值; (2)是否存在一个实数 ? ,使得数列 {
an ? ? } 为等差数列?若存在,求出 ? 2n

的值;若不存在,说明理由;求数列 {an } 通项公式。

21、 (12 分)某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收 益为 21 万元。该公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如 下图。 (1)求 an ;
an
费用(万元)

(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;
4 2 1 2 n


(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?

22.(本小题满分 14 分)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an -1 解析: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2. n?a1+an? 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= , 2 所以 an=2n+1,Sn=n(n+2). (2)因为 an=2n+1, 所以 an2-1=4n(n+1), 1 ? 1 1 1 因此 bn= = ? - . 4n?n+1? 4?n n+1? 故 Tn=b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 = ?1-2+2-3+…+n-n+1? 4? ? 1 1 = ?1-n+1? 4? ? = n 4?n+1? n . 4?n+1?

所以数列{bn}的前 n 项和 Tn=

答案 一.选择题:BCDBC ACBDA 二.填空题。 11. 15o 或 75o 12. an =2n-3
1 13. {x ? ? x ? 2} 3

14. an =2n 三.解答题。 15.解:设公比为 q ,

?a1 ? a1 q 2 ? 10 ? 由已知得 ? 3 5 5 ?a1 q ? a1 q ? 4 ?

?a1 (1 ? q 2 ) ? 10???① ? 即? 3 5 2 ?a1 q (1 ? q ) ? ??② 4 ?
1 1 ②÷①得 q 3 ? , 即q ? , 8 2 1 将 q ? 代入①得 a1 ? 8 , 2 1 ? a 4 ? a1 q 3 ? 8 ? ( ) 3 ? 1 , 2

1 ? ? 8 ? ?1 ? ( ) 5 ? a (1 ? q ) 2 ? 31 ? s5 ? 1 ? ? 1 1? q 2 1? 2
5

16. (1) {x x ? ?1或x ? 5} (2) {x x ? ?2或x ? 1} 17. 解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?
1 2

? C=120°

?a ? b ? 2 3 ? (2)由题设: ? ? ? ab ? 2

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10
18. (1)依题意,可知方程 ax 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个实数根为 由韦达定理得: 解得: a =-2
1 (2) {x ? 3 ? x ? } 2 o o o o o o o 19.在△ABC 中,∠B=152 -122 =30 ,∠C=180 -152 +32 =60 , ∠A=180o-30o-60o=90o,
35 , 2 35 35 ∴AC= sin30o= . 2 4

1 和 2, 2

1 5 +2= ? 2 a

BC=

答:船与灯塔间的距离为

35 n mile. 4

20.解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:
f ( n) ? 21n ? [2n ? n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 2

由 f(n)>0 得 n2-20n+25<0

解得 10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3

又因为 n ? N ,所以 n=2,3,4,……18.即从第 2 年该公司开始获利 25 f (n) (3)年平均收入为 =20- (n ? ) ? 20 ? 2 ? 5 ? 10 n n 当且仅当 n=5 时,年平均收益最大.所以这种设备使用 5 年,该公司的年平均获 利最大。


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