创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第7篇 第3讲 平行关系


第3讲

平行关系

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.已知直线 a,b,c 及平面 α, β,下列条件中,能使 a∥b 成立的是( A.a∥α,b α C.a∥c,b∥c 解析 B.a∥α,b∥α D .a∥α,α∩β=b ).

由平行公理知 C 正确,A 中 a 与 b 可能异面.B 中 a,b 可能相交或异

面,D 中 a,b 可能异面. 答案 C

2.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB 平面 α,CD?平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系只能是 A.平行 C.平行和相交 解析 B.平行和异面 D.异面和相交 ( ).

∵AB∥CD,AB α, CD?α?CD∥α,

∴CD 和平面 α 内的直线没有公共点. 答案 B

3.平面 α∥平面 β,点 A,C∈α,B,D∈β,则直线 AC∥直线 BD 的充要条件 是 A.AB∥CD C.AB 与 CD 相交 解析 B.AD∥CB D.A,B,C,D 四点共面 ( ).

充分性:A,B,C,D 四点共面,由平面与平面平行的性质知 AC∥BD.

必要性显然成立. 答案 D

4.(2014· 渭南质检)若 m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面, 则下列命题中正确的是 A.若 m,n 都平行于平面 α,则 m,n 一定不是相交直线 ( ).

B.若 m,n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线 C.已知 α,β 互相平行,m,n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β D.若 m,n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m,n 互相平行 解析 A 中,m,n 可为相交直线;B 正确;C 中,n 可以平行 β,也可以在 β

内;D 中,m,n 也可能异面. 答案 B

5.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶ FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则 A.BD∥平面 EFG,且四边形 EFGH 是平行四边形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是平行四边形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是梯形 ( ).

解析

如图,由题意知 EF∥BD,

1 且 EF=5BD. 1 HG∥BD,且 HG=2BD. ∴EF∥HG,且 EF≠HG.
[来源 :Zxxk.Com]

∴四边形 EFGH 是梯形. 又 EF∥平面 BCD, 而 EH 与平面 ADC 不平行.故选 B. 答案 B

二、填空题 6.过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平 行的直线共有________条. 解析 过三棱柱 ABC -A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线, 记 AC, BC, A1C1,

B1C1 的中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1

均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条. 答案 6

7.(2014· 宝鸡质检)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与 平面 ACE 的位置关系为______. 解析 如图.

连接 AC,BD 交于 O 点,连接 OE,因为 OE∥BD1,而 OE 平面 ACE,BD1 平面 ACE,所以 BD1∥平面 ACE. 答案 平行

8.(2014· 临川二中模拟)设 α,β,γ 是三个平面,a,b 是两条不同直线,有下列 三个条件:①a∥γ,b β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a γ.如果命题“α∩β=a, b γ ,且 ________ ,则 a ∥ b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是 ________(把所有正确的题号填上). 解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 b∥β,a γ 时,a 和 b 在同

一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.故应填入的条件为①或③. 答案 ①或③

三、解答题 9.(2014· 青岛一模)四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,N 是 PB 中 点,过 A,N,D 三点的平面交 PC 于 M.

(1)求证:PD∥ 平面 ANC; (2)求证:M 是 PC 中点.

证明

(1)连接 BD,AC,设 BD∩AC=O,连接 NO,

[来源:Zxxk.Com]

∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 BD 中点,在△PBD 中, 又 N 是 PB 中点,∴PD∥NO, 又 NO 平面 ANC,PD ∴PD∥平面 ANC. (2)∵底面 ABCD 为平行四边形,∴AD∥BC, 又∵BC?平面 ADMN,AD 平面 ADMN, ∴BC∥平面 ADMN,因平面 PBC∩平面 ADMN=MN, ∴BC∥MN,又 N 是 PB 中点, ∴M 是 PC 中点. 10.如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,G 在 BB1 上,且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点. 平面 ANC,

(1)求证:E,B,F,D1 四点共面; (2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F. 证明 (1)∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2,

∴BG 綊 A1E,∴A1G 綊 BE. 又同理,C1F 綊 B1G, ∴四边形 C1FGB1 是平行四边形, ∴FG 綊 C1B1 綊 D1A1,

∴四边形 A1GFD1 是平行四边形. ∴A1G 綊 D1F,∴D1F 綊 EB, 故 E、B、F、D1 四点共面. 3 (2)∵H 是 B1C1 的中点,∴B1H=2. B1G 2 FC 2 又 B1G=1,∴B H=3.又BC=3,
1

且∠FCB=∠GB1H=90° , ∴△B1HG∽△CBF,∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG, ∴HG∥FB. 又由(1)知 A1G∥BE,且 HG∩A1G=G, FB∩BE=B,∴平面 A1GH∥平面 BED1F. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2014· 安康中学模拟)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内 的两条相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β 解析 B.m∥l1 且 n∥l2
[来源:Zxxk.Com]

(

).

D.m∥β 且 n∥l2

对于选项 A,不合题意;对于选项 B,由于 l1 与 l2 是相交直线,而且

由 l1∥m 可得 l1∥α,同理可得 l2∥α,又 l1 与 l2 相交,故可得 α∥β,充分性 成立,而由 α∥β 不一定能得到 l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立, 故选 B;对于选项 C,由于 m,n 不一定相交,故是必要非充分条件;对于选 项 D,由 n∥l2 可转化为 n∥β,同选项 C,故不符合题意. 答案 B

2.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所 在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是 ( ).

A.①③ C.①④ 解析

B.②③ D.②④

对于图形①:平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB∥平

面 MNP,对于图形④:AB∥PN,即可得到 AB∥平面 MNP,图形②,③都 不可以,故选 C. 答案 C

二、填空题 3 .(2014· 陕西师大附中模拟)

如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、 D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

解析

如图,连接 FH,HN,FN,

由题意知 HN∥面 B1BDD 1, FH∥面 B1BDD1. 且 HN∩FH=H, ∴面 NHF∥面 B1BDD1.∴当 M 在线段 HF 上运动时, 有 MN ∥面 B1BDD1. 答案 M∈线段 HF

三、解答题 4.(2014· 江西师大附中模拟)

一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 M,N 分别是 AF,BC 的中点).

(1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A-CDEF 的体积.

解 (1)

π 由三视图可知:AB=BC=BF=2, DE=CF=2 2,∠CBF=2.

证明:取 BF 的中点 G,连接 MG,NG, 由 M,N 分别为 AF,BC 的中点可 得,NG∥CF,MG∥EF,且 NG∩MG=G,CF∩EF=F, ∴平面 MNG∥平面 CDEF,又 MN 平面 MNG,∴MN∥平面 CDEF. (2)取 DE 的中点 H.∵AD=AE,∴AH⊥DE, 在直三棱柱 ADE-BCF 中,平面 ADE⊥平面 CDEF, 平面 ADE∩平面 CDEF=DE.∴AH⊥平面 CDEF. ∴多面体 A-CDEF 是以 AH 为高,以矩形 CD EF 为底面的棱锥,在△ADE 中,AH= 2. S 矩形 CDEF=DE· EF=4 2,
[来源:学#科#网][来源:学科网 ZXXK]

1 1 8 ∴棱锥 A-CDEF 的体积为 V=3· S 矩形 CDEF· AH=3×4 2× 2=3.


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