【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理):《同角三角函数的基本关系与诱导公式》


第2讲
考查利用同角三角函数的基本关系式与 诱导公式化简三角函数式及求三角函数值.

同角三角函数的基本关 系与诱导公式

【2014年高考会这样考】

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同角三角函数的基本关系式

抓住2个考点

助学微博 考点自测

三角函数的诱导公式 考向一
同角三角函数的 基本关系的应用

【例1】 【训练1】 【例2】 【训练2】 【例3】 【训练3】

突破3个考向

考向二 利用诱导公式求值 考向三
利用诱导公式 化简三角函数式

揭秘3年高考 活页限时训练

灵活运用同角三角函数的基本关系式求值

A级

B级

、 、 ?1 选择题 ?1 选择题 ? 填空题 2、 填空题 ? 2、 ? ? ?3 、 解答题 解答题 ?3、 ? ?

考点梳理
1.同角三角函数的基本关系 2 2 (1)平方关系:sin α+cos α=1 ________________; sin α =tan α (2)商数关系:________________. cos α 2.三角函数的诱导公式

cosα 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=_______, tan(α+2kπ)=tan α,其中 k∈Z. -cosα 公式二:sin(π+α)=________,cos(π+α)=________, -sinα tan(π+α)=tan α. -sinα cosα 公式三:sin(-α)=________,cos(-α)=_______ tan(-α)=-tan α. -cosα 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=__________ tan(π-α)=-tan α.. ?π ? ?π ? ? ? ? cosα 公式五:sin?2-α?=_______,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ? ? ?π ? ?π ? ? ? ? cosα -sinα 公式六:sin?2+α?=________,cos?2+α?=_______. ? ? ? ? ?

助学微博
一个口诀
三种方法
诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.
在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= 化成正、 cos α 余弦. (2)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ π =cos2θ(1+tan2θ)=tan =…. 4

三条提醒

(1) 利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的 三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别 注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

考点自测
? 4 ? 4 5 1. sin π·cos π·tan?-3π?的值是( 3 6 ? ?

3 3 3 3 3 3 ). - A. B. C. - D. 4 4 4 4 3 2.(2012· 全国)已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= ,则 cos 2α=( ). 3 5 5 5 5 A.- B.- C. D. 3 9 9 3 2sin α-cos α 3 5 3.若 tan α=2,则 的值为( ).A.0 B. C.1 D. 4 4 sin α+2cos α ?π π? 3 7 4.(2012· 山东)若 θ∈?4,2 ?,sin 2θ= ,则 sin θ=( ). 8 ? ? 3 4 7 3 A. B. C. D. 5 5 4 4 ?π ? ?3π ? 3 ? +α?= ? -α?的值为________. 5. (人教 A 版教材改编题)已知 sin 4 , sin 4 3 则 2 ? ? ? ?
单击题号显示结果 答案显示 单击图标显示详解
2

1

2

3

4

5

A

A

B

D

考向一 同角三角函数的基本关系的应用 1

【例 1】 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 1 (1)求 tan α 的值;(2)把 2 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin α
方法一 方法二

解(1)

1 ? ?sin α+cos α= ① 5 法一: 联立方程? ?sin2α+cos2α=1 ② ? 1 由①得 cos α= -sin α,将其代入②, 5 2 整理得 25sin α-5sin α-12=0. ∵α是三角形内角,∴sin α>0, 4 ? sin α= , ? 5 4 ∴? ∴tan α=- . ?cos α=-3, 3 5 ?
法一完

【审题视点 】
1 (1) 由 sin α+cos α= 5 及 sin2α+cos2α=1, 可求 sin α, α 的值; cos

考向一 同角三角函数的基本关系的应用 1

【例 1】 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 1 (1)求 tan α 的值;(2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α
方法一 方法二

解(1)

1 1 【审题视点 】 法二 ∵sin α+cos α= , 1+2sin αcos α= , 即 5 25 ?1? 24 1 ? ?2 2 ∴2sin αcos α=- , (1) 由 sin α+cos α= ∴(sin α+cos α) =?5? , 25 ? ? 5 24 49 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+ = . 25 25 及 sin2α+cos2α=1, 12 ∵sin αcos α=- <0 且 0<α<π, 25
∴sin α-cos α>0, ∴sin α>0,cos α<0, 7 ∴sin α-cos α= , 5
法二完

可求 sin α, α 的值; cos

考向一 同角三角函数的基本关系的应用 1

【例 1】 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 1 (1)求 tan α 的值;(2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α

sin2α+cos2α tan2α+1 cos2α = = 2 1-tan2α cos α-sin2α cos2α 4 1 ∵tan α=- ,∴ 2 3 cos α-sin2α ? 4?2 ?- ? +1 2 25 tan α+1 ? 3? = == ? 4 ?2 7 1-tan2α 1-?- ? ? 3?

解(2) 1 sin2α+cos2α = cos2α-sin2α cos2α-sin2α

【审题视点 】 【方法锦囊 】 (1)对于 sin α+cos α, αcos α, sin sin α-cos α 这三个式子, 已知其 中一个式子的值,其余二式的值 可求.转化的公式为(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α;
(2)关于 sin α,cos α 的齐次式, 往往化为关于 tan α 的式子.
1=sin2α+cos2α,分子、分母同 除以 cos2α 即可.

考向一 同角三角函数的基本关系的应用
π 1 【训练 1】?已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 sin 2x+2sin2x (1)求 sin x-cos x 的值;(2)求 的值. ? 1? 应求 1-tan x
解(1)

(sinx-cosx )2;

1 ∴sin 2x=-24. 1+sin 2x= , 25 25 49 2 ∴(sin x-cos x) =1-sin 2x= , 25 π 又∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2

1 sin x+cos x= ,两边平方得, 5

7 ∴sin x-cos x=- . 5

判断(sin x +cos x )符 号,容易忽 视而且是难 点,应十分 注意

π 1 【训练 1】?已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 (2)切化弦 sin 2x+2sin2x (1)求 sin x-cos x 的值;(2)求 的值. 或弦化切 1-tan x 解(2) 方法一 方法二 方法三
方法一:
sin 2x+2sin2x 2sin x?cos x+sin x? = sin x 1-tan x 1- cos x 2sin x· x·?cos x+sin x? cos = cos x-sin x

考向一 同角三角函数的基本关系的应用

24 1 - × 25 5 24 = =- 7 175 5

方法一完

π 1 【训练 1】?已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 (2)切化弦 sin 2x+2sin2x (1)求 sin x-cos x 的值;(2)求 的值. 或弦化切 1-tan x 解(2) 方法一 方法二 方法三
?sin x=-3, ?sin x+cos x=1, ? 5 ? 5 ?? 方法二:由(1),得? ?cos x=4. ?sin x-cos x=-7 5 ? 5 ? 3 ∴tan x=- . 4 2 sin 2x+2sin x 2sin xcos x+2sin2x = 1-tan x 1-tan x?sin2x+cos2x? ? ?
24 2tan x+2tan2x =- . 175 1-tan x?tan2x+1? ? ?

考向一 同角三角函数的基本关系的应用

方法二完

【训练 1】?已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 (1) 对于 2 sin 2x+2sin x (1)求 sin x-cos x 的值;(2)求 的值. sin α+cos α, 1-tan x sin αcos α, 解(2) 方法一 方法二 方法三

考向一 同角三角函数的基本关系的应用 π 1

【方法锦囊】

方法三: 由﹙1﹚,得sin x+cos x=-1 7 sin x-cos x

tan x+1 3 1 得 =- ∴tan x=-4, 7 tan x-1
其余同法二.

sin α-cos α 这三个式子, 已知其中一个 式子的值,其余 二式的值可求. 转化的公式为 (sin α± α)2 cos =1± 2sin αcos α; (2)关于sin α, cos α的齐次式, 往往化为关于 tan α的式子

考向二 利用诱导公式求值

?π ? 1 ?π ? 已知条件或待求式比 ? ? ? 【例 2】?(1)已知 sin?3-α?= ,则 cos?6 +α?=__; ? ? ? 2 ? ? 较复杂,需对比诱导 ?π ? ?5 ? 3 公式寻找已知角和待 ? ? ? (2)已知 tan?6-α?= ,则 tan?6π+α?=____. ? 3 求角之间的关系. ? ? ? ? ?π ? ?π ? π 解析 (1)∵? -α?+? +α?= , 【方法锦囊】 ?3 ? ?6 ? ? ? ? ? 2

【审题视点 】

?π ?π ?? ?π ? ?π ? 1 ? ?? ? ? ? ? ∴cos?6+α?=cos? -?3-α?? =sin? -α?= . ? ?? ? ? ?2 ? ?3 ? 2 ?π ? ?5π ? ? ? ? (2)∵?6-α?+? 6 +α?=π, ? ? ? ? ? ? ?5 ? ?5 ?? ? ? ? ? ∴tan?6π+α?=-tan?π-?6π+α?? ?? ? ? ? ?? ? ?π ? 3 ? ? =-tan?6-α?=- . 3 ? ?

答案

1 (1) 2

3 (2)- 3

巧用相关角的关系 会简化解题过程. 常见的互余关系有 π π π -α 与 +α; +α 3 6 3 π π π 与 -α; +α 与 - 6 4 4 α 等,常见的互补关 π 2π 系有 +θ 与 -θ; 3 3 π 3π +θ 与 -θ 等. 4 4

【审题视点 】 已知条件或待求 ?7π ? 2 ? 11π? ? ? ? ? 式比较复杂,需 【训练 2】 (1)已知 sin? +α?= ,则 cos?α- ?=___; 12 ? ?12 ? 3 ? 对比诱导公式寻 1 找已知角和待求 (2)若 tan(π+α)=- ,则 tan(3π-α)=________. 2 角之间的关系. 解析 ? ?11π ? ? ?π ?? 【方法锦囊】 11π? ? ? ? ? ? ?? ?

考向二 利用诱导公式求值

(1) cos?α-

1 (2)因为 tan(π+α)=tan α=- , 2 所以 tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α 1 = . 2

=cos? -α?=cos?π-? +α?? 12 ? ? ? ? 12 ? ?12 ?? ? ?π ? π ?? ?7π ? ?π ? ? ?? ? ? ? ? ? 而 =-cos?12+α?, sin?12+α?=sin?2 +?12+α?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?π ? 2 11π? 2 ? ? ? ? =cos? +α?= ,所以 cos?α- =- . ?12 ? 3 12 ? 3 ? ?

巧用相关角的关系 会简化解题过程. 常见的互余关系有 π π π -α, +α; +α, 3 6 3 π π π -α; +α, -α 6 4 4 等,常见的互补关 π 2π 系有 +θ, -θ; 3 3 π 3π +θ, -θ 等. 4 4

2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? 【例 3】 f(α)= ?设 ?3π ? ? ? ? ? 2 2?π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ? ? ? 23π? ? (1+2sin α≠0),则 f?- 6 ?=________. ? ? ? ?-2sin α??-cos α?+cos α 解析∵f(α)= 1+sin2α+sin α-cos2α
2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = , = = 2 tan α sin α?1+2sin α? 2sin α+sin α
? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ? ? ?

考向三 利用诱导公式化简三角函数式 【审题视点 】
利用诱导公式将函 数化简,然后问题 即可转化为利用诱 导公式求值.

【方法锦囊】
解答此类问题,首 先要有化简的意 识,将原式先化简 为一个简单的形 式,再代入具体的 值.利用诱导公式 化简,特别要注意 每一个角所在的象 限,防止符号及三 角函数名称搞错.

=

= 3. π tan 6

1

? 23π?= tan?- 6 ? ? ? ? ?

1

1
? π? ? tan?-4π+6 ? ? ? ?

答案

3

【审题视点 】 tan(? ? ? )cos(2? ? ? )sin (? ) 利用诱导公式将 2 =____ (1)化简: 【训练3】 函数化简,然后 cos(-? -3? )sin(-3? -? ) 问题即可转化为 sin(? ? x )cos(2? ? x ) tan( ? x ? ? ) 31? (2)已知f ( x ) ? , 则f ( ? ) ? __ 利用诱导公式求 ? 3 cos( ? ? x ) 值. 2 解析 ? ? ?π ? 【方法锦囊】 π ?? ?-2π+?α+ ?? tan αcos αsin? +α? tan αcos αsin 2 ?? ? ? ?2 ? 解答此类问题,首 (1)原式= = cos?3π+α?[-sin?3π+α?] ?-cos α?sin α 先要有化简的意 sin α cos α tan αcos α tan αcos αcos α 识,将原式先化简 =-1. =- · =- = cos α sin α sin α 为一个简单的形 ?-cos α?sin α
sin x· x· cos ?-tan x? =-cos x· x =-sinx, tan (2)∵f(x)= sin x
? 31π? ? 31π? ?- ?= -sin?- ? =sin ∴f 3 ? 3 ? ? ? ? π? 31π =sin?10π+3 ? ? ? 3

考向三 利用诱导公式化简三角函数式 3?

π 3 =sin = . 3 2

式,再代入具体的 值.利用诱导公式 化简,特别要注意 每一个角所在的 象限,防止符号及 三角函数名称搞 错.

揭秘3年高考 方法优化4-灵活运用同角三角函数的基本关系式求值
【真题探究】(2012· 辽宁)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 通过近三年的高考试题分析,主要考查用同角三角函数关系及 2 2 tan α=( ). A.-1 B.- C. D.1 [反思] 诱导公式进行化简、求值,多数以选择题和填空题形式命题,难度 2 2
不大,属容易题.

函数关系式及诱 思路 1:结合 导公式,特别是 法一 ?sin α-cos α= 2, 法二 ? 平方关系求 要注意公式中的 ? 2 由 sin α、cos ?sin α+cos2α=1, 因为 sin α-cos α=2, 符号问题; α. ? 因为 sin α-cos α= 2, 2.注意公式的 ? 得:2cos2α+2 2cos α+1=0, 所以(sin α-cos α)?2=2, 思路 2:平方 变形应用,如 π C A ? B 所以 2sin?α- 4 ?= 2, sin2求 sin 2α. 2α ?2 因为 α∈(0, 2α∈(0,2π), 2α=1-cos2 π), ? ? 即?? 2cos α+1?? =0, cos α=1-sin α, ? π? 2 1=sin2α+cos2α α- 所以 sin?3π, ?=1. 思路 3: 所以 2α=? ∴cos α=- . 2 4? Sinα=tanα· 2 化成形如 cosα 3π 因为 α∈(0,π), 3π 所以 α= , 等.这是解题中 又 α∈(0,π), y=Asin(ωx+φ) ∴α= , 43π 常用到的变形, 4 所以 α= , 的形式. 4 也是解决问题时 3π 法二完 ∴tan α=tan 所以 tan α=-1. 法一完 简化解题过程的 4 =-1. 本法完 关键所在.

解析

[教你审题] 1.熟记同角三角

一般解法

优美解法

法一

法二

sin α+cos α 1 【试一试】 (2012· 江西)若 = ,则 tan 2α=( ). sin α-cos α 2 通过近三年的高考试题分析,主要考查用同角三角函数关系及 [反思] 3 3 4 4 诱导公式进行化简、求值,多数以选择题和填空题形式命题,难度 A.- B. C.- D. 4 3 3 1.熟记同角三角函数 [教你审题] 不大,属容易题. 4 解析 关系式及诱导公式, 思路 1:结合 特别是要注意公式中 平方关系求 sin α +cos α 1 tan α +1 1 的符号问题; 由 = , sin α、cos α. sin α -cos α 2 得tan α -1=2, 2.注意公式的

揭秘3年高考

所以 tan α=-3,

2tan α 3 所以 tan 2α= = . 1-tan2α 4
答案 B

变形应用,如 思路 2:平方 sin2α=1-cos2α 2α. 求 sin 2 cos α=1-sin2α, 1=sin2思路 3: , α+cos2α Sinα=tanα· cosα 化成形如 等.这是解题中常用 y=Asin(ωx+φ) 到的变形,也是解决 的形式. 问题时简化解题过程 的关键所在.

A级 基础演练
一、选择题

题号
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1 B

2 D

3 B

4 D
). ).

? π π? sin 2α 2.已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=( 3 ? ? , 1.(2013· 济南质检)α∈?- 23 2 ?,sin α=- , 4.(2011· 5 tan α=3,则 24 的值等于( 福建)若 4 5 ? ? cos α A.- B. C.- D. 则 cos(-α)的值为( ). 4 5 A.2 3 B.3 4 C.4 D.6

2tan α 3 α=-3,所以 tan 2α= 2 = .答案 1-tan α 4

4 4 32 3 2 解析 由于 tan B. θ=2,则 C. θ+sin θcos θ-2cos θ sin A.- D.- 5 5 5 5 2 2 sin θ+sin θcos θ-2cos θ ? π π? 3 ? ? = 解析 因为 2α∈?- 2, ?,sin α=- , sin θ+cos θ 2? 5 ? 2 sin α+cos2 α 1 tan α+1 1 2 解析θ+tan ,即 cos(-α)=, 4 由 = 4,故答案选 = 答案:B , 所以 tan tancos α=4 θ-2 2 +2-2得 所以 2 5 =tan答案 B. 2 = = 2 . α-1 D 2 sin α-cos α 5 5 tan θ+1 2 +1

B

A级 基础演练
二、填空题

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5

3 2

6
3

5

3 解析 1-2sin αcos α=(sin α-cos α) = , 1 4 解析 ∵sin(π-α)=log8 , 4 π π 又∵ α= log 2 2?2,sin2α>cos α.∴cos α-sin α ∴sin 4<α<2 =- . 3 3 3 5 =- .答案 -α= 1-sin2α= 5.答案 ∴cos(2π-α)=cos 2 2 3 3
2
3

π π 11 5. (2012· 揭阳模拟)已知 sin αcos α=, 且 <α< , 6.(2013· 郑州模拟)若 sin(π-α)=log8 , 48 4 2 ? 则 cos ?-π,0?α 的值是________. α-sin ?,则 cos(2π-α)的值是______. 且 α∈? 2 ? ? ?

A级 基础演练

三、解答题

7

8

sin(? ? ? )cos(2? ? ? )tan( ?? ? ? ) 7 (12 分)已知 f (? ) ? ? tan( ?? ? ? )sin( ?? ? ? )

(1)化简 f(α); (2)若 α 是第三象限角,且
? 3π? 1 cos?α- 2 ?= ? ? 5

求 f(α)的值.



sin ? cos ? ( ? tan ? ) (1) f (? ) ? =-cos α. tan ? sin ?

? 3π? 1 (2)∵cos?α- 2 ?= ,α ? ? 5
2

1 是第三象限角∴sinα=- 5

2 6 2 6 ∴cos α=- 1-sin α=- ∴f(α)=-cos α= . 5 5

A级 基础演练
8.(13 分)已知

三、解答题

7

8

法1

法2

?3π ? ? sin(3π+α)=2sin? +α?求下列各式的值 ? ?2 ?

sin α-4cos α (1) ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α ?3π 法二 由已知得 sin α=2cos α. ?,得 tan α=2. 解 法一 由 sin(3π+α)=2sin? 2 +α? ? 2cos α-4cos α ? 1 tan α-4 2-4 (1)原式= =- 1. . (1)原式= 2cos α+2cos α =- = 66 5× 5tan α+2 5× 2+2 2 2 2 2 α+sin α sin α+2sin αcos α sin α+2sin αcos α 8 sin 2 (2)原式= = 2 2 (2)原式=sin α+2sin αcos α= 2 2 = . 1 α 5 sin α+cos α sin α+cos 2 2 sin α+ sin α 2 4 tan α+2tan α 8 = = . 2 5 tan α+1

B级 能力突破
一、选择题

题号
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1 B

2 C

1.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则 π 2π nπ 2.(2012· ? ? Sn=sin +sin 上海)若 +…+sin (n∈N*),则在 ? ? 7 7 7 3π? ?3π ? ? 2 sin?-α- ?sin -α?tan ?(2π-α?) S1,S2,…,S100? 中,正数的个数是( ). 2? ?2 ? ? =( ?π ?π A.16 ? B.72 ? C.86 D.100 ). cos?2 -α?cos?2 +α?sin?(π+α)? ? ? ? ? ? ? ? ? π 8π 2π 9π 解析:由 sin =-sin 4,sin 5=-sin 3 75 7 7 7 A. B. C. D. 5 6π 3 13π5 7π4 14π ,…,sin =-sin ,sin =sin =0 7 2 7 7 3 7 3 解析 S由 5x -7x-6=0 =Sx=- =Sx=2.∴sin α=- . = 得 =S 或 =S =S =S =S 所以 13=S14=0.同理 S27 5 42 55 56 69 5 70 28 41 S83=S84=Scos α?(-cos α)?·tan2α 97=S98=0,共 14 个,所以在 S1,S2,…,S100 中, 1 5 ∴原式= 其余各项均大于-sin α)?·(-sin α)?=-sin α=3. 答案 B ,故选 C. sin α·?( 0,个数是 100-14=86(个) ?

B级 能力突破
二、填空题

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3

14 - 2

4
2

? π? 1 4.(2013· 青岛模拟)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4 3.(2011· 重庆)已知 sin α= +cos α,且 α∈?0, 2?, 2 ? ? (a,b,α,β 均为非零实数),若 f(2 012)=6, cos 2α 则 ?则 f(2 013)=________. 的值为________. π? sin?α-4 ? ? ? 1 解析 依题意得 sin α-cos α= ,又(sin α+cos α)2+(sin α-cos 解析 f(2012)=asin(2012π+α)+bcos(2 012π+β)+4 2 =asin α+bcos β+4=6, ?1? 7 2 2 ? ?2=2,故(sin α+cos α)2= ;又 α∈ α) =2,即(sin α+cos α) + 2 4 ? ? ∴asin α+bcos β=2, ? cos2α-sin2α π? 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)+4 7 cos 2α ∴f(2 因此有 sin α+cos α= , ?0, ?, 所以 ? = 2? 2 π? ? =-asin α-bcos β+4=2.α-4? 2?sin α-cos α? sin? 2 ? ? 答案 2 14 14 =- 2(sin α+cos α)=- . 答案 - 2 2

B级 能力突破

三、解答题

5

6

? π π? 5.(12 分)是否存在 α∈?-2,2 ?,β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2 ? ? ?π ? cos?2-β?, 3cos(-α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β ? ?

的值;若不存在,请说明理由. 解 假设存在角 α,β 满足条件,
?sin α= 2sin β, ? 则由已知条件可得? ? 3cos α= 2cos β. ?
2 2 2

① ②

由①2+②2,得

? π π? 1 2 π sin α+3cos α=2.∴sin α= , ∴sin α=± .∵α∈?-2,2 ?, ∴α=± . 2 2 4 ? ? π 3 π 当 α= 时,由②式知 cos β= ,又 β∈(0,π),∴β= ,此时①式 4 2 6 π 3 π 成立;当 α=- 时,由②式知 cos β= ,又 β∈(0,π),∴β= , 4 2 6 π π 此时①式不成立,故舍去.∴存在 α= ,β= 满足条件. 4 6

B级 能力突破

三、解答题
? π? f(x)=tan?2x+4 ?. ? ?

5

6

6.(13 分)(2011· 天津)已知函数

(1)求 f(x)的定义域与最小正周期; ? ?α? π? (2)设 α∈?0,4 ?,若 f?2 ?=2cos 2α,求 α 的大小. ? ? ? ?

π π π kπ 解 (1)由 2x+ ≠ +kπ, k∈Z, x≠ + , 得 k∈Z.所以 f(x) 4 2 8 2 ? ? ? ? π kπ π ?x∈R|x≠ + ,k∈Z?,f(x)的最小正周期为 . 的定义域为 8 2 2 ? ? ? ?

B级 能力突破

三、解答题
? π? f(x)=tan?2x+4 ?. ? ?

5

6

6.(13 分)(2011· 天津)已知函数

(1)求 f(x)的定义域与最小正周期; ? ?α? π? (2)设 α∈?0,4 ?,若 f?2 ?=2cos 2α,求 α 的大小. ? ? ? ? ? π?
(2)由
?α? f?2?=2cos ? ?

2α,得

? π? tan?α+4 ?=2cos ? ?

sin?α+ 4 ? ? ? 2α, ? =2(cos2α- π? ?α+ ? cos 4? ?

sin α+cos α sin α),整理得 =2(cos α+sin α)(cos α-sin α). cos α-sin α ? π? ?0, ?,所以 sin α+cos α≠0. 因为 α∈ 4? ? ? ? π? π? 1 1 2 因此(cos α-sin α) = , sin 2α= .由 α∈?0,4 ?, 2α∈?0,2 ?. 即 得 2 2 ? ? ? ? π π 所以 2α= ,即 α= . 6 12
2

考点自测详解
? ? ? π? π? π? ? ? ? ? ? 1. 解析 原式=sin?π+3 ?· ?π-6 ?· ?-π-3 ? cos tan ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? π? ? π? ? ?? ?? ? =?-sin 3 ?· ?-cos 6 ?· ?-tan 3 ? ? ?? ?? ? ? 3 3 3? ? 3? ? ? ? ? =?- ?×?- ?×(- 3)=- . 答案 4 2? ? 2? ?

A

3 1 2 2.解析 将 sin α+cos α= 两边平方,可得 1+sin 2α= ,sin 2α=- , 3 3 3 5 2 所以(-sin α+cos α) =1-sin 2α= ,因为 α 是第二象限角, 3 15 所以 sin α>0,cos α<0,所以-sin α+cos α=- , 3 5 所以 cos 2α=(-sin α+cos α)(cos α+sin α)=- ,选 A. 答案 A 3
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2sin α-cos α 2tan α-1 2×2-1 3 3.解析 = = = . 答案 B 4 sin α+2cos α tan α+2 2+2 ?π π? ?π ? 4. 解析 因为 θ∈?4,2 ?, 所以 2θ∈?2,π?, 所以 cos 2θ<0, ? ? ? ? 1 1 2 2 所以 cos 2θ=- 1-sin 2θ=- .又 cos 2θ=1-2sin θ=- , 8 8 9 3 2 所以 sin θ= ,所以 sin θ= . 答案 D 16 4 ?3π ? ? ?π ?? ?π ? 3 ? ? ? ? ?? ? ? 5.解析 sin ? -α? =sin ?π-? 4 +α?? =sin ? 4 +α? = . 2 ? ? ?? ? ? ?4 ? 3 答案 2
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