高考一轮复习:对数与对数函数


第5讲

对数与对数函数

1.考查对数函数的定义域与值域. 2.考查对数函数的图象与性质的应用. 3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质. 4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系. 【复习指导】 复习本讲首先要注意对数函数的定义域,这是研究对数函数性质.判断与对数函 数相关的复合函数图象的重要依据,同时熟练把握对数函数的有关性质,特别注 意底数对函数单调性的影响.

基础梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其 中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaN=N;②logaaN=N(a>0 且 a≠1). (2)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= log b (a,b 均大于零且不等于 1);
a

特点 底数为 a(a>0 且 a≠1) 底数为 10 底数为 e

记法 logaN lg N ln_N

1 ②logab=log a,推广 logab· logbc· logcd=logad. b

1

(3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga N =logaM-logaN; n ③logaMn=nlogaM(n∈R);④log amMn=mlogaM. 3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0) 性质 当 x>1 时,y>0 当 0< x<1,y<0 是(0,+∞)上的增函数 当 x>1 时,y<0 当 0<x <1 时,y>0 是(0,+∞)上的减函数

4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数, 它们的图象关于直线 y=x 对称. 总结: 一种思想 对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和运算法则都可以通过 对数式与指数式的互化进行证明. 两个防范 解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取 值范围.

三个关键点

2

?1 ? 画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),?a,-1?. ? ? 四种方法 对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中间量(0 或 1). (4)化同真数后利用图象比较. 双基自测 1.2 log510+log50.25=( ).

A.0

B.1

C.2

D.4

2.(人教 A 版教材习题改编)已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则 a,b, c 的大小关系是( A.a<b<c ). B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b

3.函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞)

). B.[0,+∞) D.[1,+∞)

4.(2012· 汕尾模拟)下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是 ( A.(-∞,1] 4? ? B.?-1,3? ? ? 3? ? C.?0,2? ? ? D.[1,2) ).

3

2 5.若 loga3>1,则 a 的取值范围是________.

考向一
2

对数式的化简与求值

log89 【例 1】?求值:(1)log 3;(2)(lg 5)2+lg 50· lg 2; 1 32 4 (3)2lg 49-3lg 8+lg 245.

对数源于指数,对数与指数互为逆运算,对数的运算可根据对数的定 义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行.在解决对数的运算和 与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化. 1 1 【训练 1】 (1)若 2a=5b=10,求a+b的值. (2)若 xlog34=1,求 4x+4-x 的值.

考向二

对数值的大小比较

【例 2】?已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,
4

1 - 设 a=f(log47),b=f(log23),c=f(0.2 0.6),则 a,b,c 的大小关系是( A.c<a<b C.b<c<a B.c<b<a D.a<b<c

).

一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处理,一般是利用中 间值来比较大小,同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来 解决.

1 【训练 2】 (2010· 全国)设 a=log32,b=ln 2,c=5-2,则( A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a

).

考向三

对数函数性质的应用

【例 3】?已知函数 f(x)=loga(2-ax),是否存在实数 a,使函数 f(x)在[0,1]上是关 于 x 的减函数,若存在,求 a 的取值范围.
5

?a>1 [审题视点] a>0 且 a≠1,问题等价于在[0,1]上恒有? . ?2-ax>0

研究函数问题,首先考虑定义域,即定义域优先的原则.研究复合函 数的单调性, 一定要注意内层与外层的单调性问题.复合函数的单调性的法则是 “同增异减”.本题的易错点为:易忽略 2-ax>0 在[0,1]上恒成立,即 2-a> 0.实质上是忽略了真数大于 0 的条件. 【训练 3】 已知 f(x)=log4(4x-1) (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; ?1 ? (3)求 f(x)在区间?2,2?上的值域. ? ?

难点突破 4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法 指数与对数函数问题, 高考中除与导数有关的综合问题外,一般还出一道选择或

6

填空题,考查其图象与性质,其中与求值或取值范围有关的问题是热点,难度虽 然不大,但要注意分类讨论. 二、与对数函数有关的解不等式问题
1-x ?2 ,x≤1, 【示例】? 设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 ?1-log2x,x>1,

________.

课后作业
【基础】 1. 把下列各题的对数式写成指数式: (1) x = log5 27 :___ (3) x = log4 3 : ___ (5) log2 _____ _____ _____ (2) x = log8 7 : ____ (4) x ? log7 (6) log3
1 :___ 3

_____ _____ _____

1 =-2: ___ 4

1 =-4:___ 81

2.计算下列各式的值 (1) log8 9 ? log3 32 ; (2) log

2

2 ? log27 9 .

3. 函数 y ? 1 ? a

x

(0< a <1)的反函数的图象大致是( )

7

(A)

(B)

(C)

(D

4. 已知 lg 2 = 0.3010 , lg 3 = 0.4771 ,求下列对数的值(精确到小数点后第四位)

(1) lg 6 ; (2) lg

3 ; 2

(3) lg 32 .

5.比较下列各题中两个值的大小: (1) log6 9, log7 5 ; (3) log2 0.7, log3 0.7 ; . 【巩固】 1. 求下列函数的定义域: (2) log3 ? , log2 0.6 ;

(1)y ? loga

x ?1 (a ? 0, a ? 1) ; (2)y ?

1 2 ; (3)y ? log(2 x?1) (?x ? 2x ? 3) . log 2 x

2.将函数 f ?x? ? 2 的图象向左平移一个单位得到图象 C1 ,再将 C1 向上平移一个单位得图
x

象 C 2 ,作出 C 2 关于直线 y ? x 对称的图象 C3 ,则 C3 对应的函数的解析式为( A. y ? log2 ?x ? 1? ? 1 C. y ? log2 ?x ? 1? ? 1 B. y ? log2 ?x ? 1? ? 1 D. y ? log2 ?x ? 1? ? 1



lg 5 ? lg 8000? (lg 2 3 ) 2 3.计算 . 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2
8

4. (1)已知 log18 9 ? a,18b ? 5, 求 log30 36 值. (2)已知 log7 (2 2 ? 1) ? log2 ( 2 ? 1) ? a ,求 log7 (2 2 ? 1) ? log2 ( 2 ? 1) . .

【拔高】 1.若 log a

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3 3 A. 1 ? a ? 2 2 C. ? a ? 1 3

) B. 0 ? a ? 1或1 ? a ? D. 0 ? a ?

3 2

2 或a ? 1 3

x 2.函数 y ? f (2 ) 的定义域为[1,2],则函数 y ? f (log2 x) 的定义域为(



A.[0,1] ·

B.[1,2]

C.[2,4]

D.[4,16]

3.求函数 y ? log1 ( x ? 2 x ? 3) 的单调递增区间.
2 2

9


相关文档

更多相关文档

2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第9讲 对数与对数函数
2013年《高考风向标》高考数学(理科)一轮复习课件第三章第2讲对数式与对数函数
新课标数学2010届高考第一轮复习学案:指数与对数函数
高考第一轮复习数学:2.8 对数与对数函数
2006年高考第一轮复习数学:2.8 对数与对数函数
2013年高三一轮复习——指数函数与对数函数
高考一轮复习:对数与对数函数
2003年高考第一轮复习第十三讲指数函数与对数函数
高三一轮复习--10对数函数
2013高考第一轮复习 专题2.6 对数与对数函数
电脑版