高三数学第一轮复习 第2编 7对数与对数函数课件 新人教B版1


学案7

对数与对数函数

考纲解读 考向预测

? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点1
考点2 考点3 考点4

填填知学情
课内考点突破 规律探究

考纲解读 数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.


(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对

(2)理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画

数 底数为2,10, 的对数函数的图象. 函 (3)体会对数函数是一类重要的函数模型. 数 (4)了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反 函数.

1 2

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考向预测
1.对数及对数函数是中学阶段最基本的知识点之一,也 是高考的必考内容之一,高考中重点考查定义、图象和性质, 同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能

力.
2.高考中以选择、填空的形式考查对数、对数函数的

图象与性质,同时也以知识综合性较强的解答题形式出现,
与导数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问 题. 返回目录

1.如果ab=N(a>0,且a≠1),那么b叫 以a为底N的对数 , 记作 logaN ;以10为底N的对数叫做 常用对数 ,记 作 lgN . 以无理数e=2.718 28…为底的对数叫 自然对数 , 记作 lnN . 2.对数的性质有:

① 零与负数 没有对数;②loga1= 0 ;③logaa= 1 . 返回目录

3.对数的运算性质有: ①loga(MN)= logaM+logaN
loga N logab

;② log a

= logaM-logaN ;③ logaMn = nlogaM .(其中a>0,a≠1, M>0,N>0,n∈R);④logbN= (换底公式). 对数函数 .

M N

4.函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做 5.对数函数的图象与性质.

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解析式

y=logax(a>1)

y=logax(0<a<1)

图 象

定义域: 值域: 过定点: 性 质

(0,+∞) R (1,0) (0,+∞)
. .

.

当x>1时,y∈

当x>1时,y∈

(-∞,0)

当0<x<1时,
y∈

当0<x<1时,

(-∞,0) 增

(0,+∞)
y∈

在(0,+∞)上单调递

在(0,+∞)上单调递



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考点1 对数式的运算
3

(1)[2010年高考四川卷]2log510+log50.25= A.0 B.1 C.2 D.4

(

)

(2)计算下列各式的值:

①log2+
1 ②2

(2- 3 );
4 3

lg

49 32

lg 8+lg 245 . 返回目录

【分析】 (1)利用对数定义求值;(2)利用对数的运算性质.
【解析】 (1)2log510+log50.25=log5102+log50.25 =log5(100×0.25)=log525=2.

故应选C.
(2)①解法一:利用对数定义求值. 设log2+ (2- 3 )=x,则 1 (2+ 3 )x=2- 3 = =(2+ 3 )-1, 2? 3
3

∴x=-1.

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解法二:利用对数的运算性质求解.

log2+

(2- 3 )=log2+ 3 3 =log2+ 3 (2+ 3 )-1=-1.
②原式=
1 2

1 2? 3

(lg32-lg49)-

1 4 3 = (5lg2-2lg7)- × lg2+ 2(2lg7+lg5) 2 3 2 1 5 = lg2-lg7-2lg2+lg7+ 2 lg5= 1 lg2+ 1 lg5 2 2 2 1 1 = 1 lg(2×5)= 2 lg10= 2 . 2

1 1 4 lg8 2 + 2 lg245 3 1

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(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进

行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再
运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指 数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质,并配以代数式 的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.

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计算下列各式的值: l g2+ l g5+ l g8 (1) l g50+ l g40
4

( 2) log3

2 1 log 2 10 27 log7 2 3 2 ? log5 [4 (3 3 ) 7 ] 3

( 3)2(lg 2 )2 + lg 2 ? lg 5 + (lg 2 )2 lg 2 + 1

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【解析】
2? 5 5 lg lg (1)原式= 8 ? 4 ? 1. 50 5 lg lg 40 4
3 2 3 log 2 10 l og3 ·l og52 - (3 2 ) 3 - 7 log7 2 3 (2)原式= 3 = ( l og3 3 - l og3 3)·l og (10 - 3 - 2) 5 4 3 1 =( 1)·l og5 5 = - . 4 4 3 4

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(3)原式

= lg 2 (2lg 2 + lg5)+ (lg 2 ) - 2lg 2 + 1 = lg 2 (lg2+ lg5)+ | lg 2 - 1 | = lg 2 ·lg(2× 5) + 1 - lg 2 = 1.

2

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考点2
2

对数函数的图象

[2010年高考大纲全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=|lgx|,若

0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
A.(2 ,+∞) B.[2 2 ,+∞) D.[3,+∞) C.(3,+∞)

(

)

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【分析】可利用数形结合画出函数f(x)的图象,解出a与b

的关系变为一元函数求取值范围.
【解析】如图,图作出f(x)=|lgx|的大致图象,由f(a)=f(b)知
1 a

|lga|=|lgb|,
∴lga+lgb=0,∴ab=1. ∴b= .

∴a+2b=a+

2 由题意知0<a<1,又函数t=a+ 在(0,1)上是减函数, a 2 2 ∴a + >1+ =3,即a+2b>3. 1 a
故应选C. 返回目录

2 . a

本题考查函数图象及函数最值,属中档难度题.

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已知不等式logax>logbx>0>logcx,则 A.0<c<1<b<a B.0<b<a<1<c





C.0<c<1<a<b或0<a<b<1<c
D.0<c<1<a<b或0<b<a<1<c

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【答案】 D 【解析】(设三个函数y=logax,y=logbx,y=logcx,由

已知条件,若x>1时,三个函数的图象关系如图(1)所
示,此时有0<c<1<a<b.

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若0<x<1时,则三个函数的图象关系如图(2)所示,

此时有0<b<a<1<c.
故应选D.)

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考点3

对数函数的性质

已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈
[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围. 【分析】当x∈[3,+∞)时,必有|f(x)|≥1成立,可 以理解为函数|f(x)|在区间[3,+∞)上的最小值不小 于1.

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【解析】当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0. ∴|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3. 因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立.

只要loga3≥1=logaa即可,∴1<a≤3.
当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0,∴|f(x)|=-f(x).

∵f(x)=logax在[3,+∞)上为减函数,
∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数.

∴对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
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因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立, 只要-loga3≥1成立即可, ∴loga3≤-1=loga 是(1,3]∪ ,即
1 ≤3,∴ a 1 ≤a<1. 3

1 a

综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3,+∞)都成立的a的取值范围
?1 .? ,1 ? ?3 ? ?

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本题属于函数恒成立问题,即为x∈[3,+∞)时,函数f(x) 的绝对值恒大于等于1.恒成立问题一般有两种思路:一是利 用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题. 这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.

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已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1单调递减函数.求实数a的取值范围.

]上是 3

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a 2 a2 令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=(x- ) -a, 2 4 a 由以上知g(x)的图象关于直线x= 对称且此抛物 2 线开口向上.

∵函数f(x)=log2g(x)的底数2>1,在区间(-∞,1-

] 3

上是减函数,
∴g(x)=x2-ax-a在区间(-∞,1数,且g(x)>0. ]上也是单调减函 3

a 1- 3≤ 2 ∴ g(1- 3 )>0,

?



?

a≥2-2

3
≤a<2}. 3 返回目录

(1- 3 )2-a(1- 3 )-a>0,

解得2-2 3≤a<2.故a的取值范围是{a|2-2

考点4 对数函数的综合应用

1 函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有 2

f(x+1)=f(x-1)成立.已知当x∈[1,2]时,f(x)=logax. (1)求x∈[-1,1]时,函数f(x)的表达式; (2)求x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时,函数f(x)的解析式;

(3)若函数f(x)的最大值为 1 x的不等式f(x)> . 4

,在区间[-1,3]上,解关于

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【分析】由条件f(x+1)=f(x-1)得出函数f(x)是以2为周期

的周期函数,这个条件是求各问的关键. ?
【解析】(1)∵f(x+1)=f(x-1),且f(x)是R上的偶函数, ∴f(x+2)=f(x)= loga(2+x),x∈[-1,0]

loga(2-x),x∈[0,1].
(2)∵当x∈[2k-1,2k]时, f(x)=f(x-2k)=loga(2+x-2k), 同理,当x∈[2k,2k+1]时,f(x)=loga(2-x+2k). ∴f(x)=

?

loga(2+x-2k),x∈[2k-1,2k]

loga(2-x+2k),x∈[2k,2k+1](k∈Z).
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1 2

(3)由于函数以2为周期,故考查区间[-1,1]. 若a>1,loga2= ,即a=4.
1 ,舍去, 2

若0<a<1,则loga(2-1)=0≠

∴a=4.
由(2)知所求不等式的解集为 x∈(-2+ 2,2- 2 )∪(2,4- 2 ).

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利用函数的性质、周期性、奇偶性,求出函数表达式,

再求其他问题.

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a x

3 对于正实数a,函数y=x+ 在( ,+∞)上为增函数,求 4 函数f(x)=loga(3x2-4x)的单调递减区间.

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a 3 【解析】∵y=x+ 在( ,+∞)上为增函数, x 4 3 ∴ <x1<x2时y1<y2, 4 a a (x1 - x 2 )(x1x 2 - a) 即x1+ -x2- = <0?x1x2-a>0?

9 恒成立, 16 f(x)=loga(3x2-4x)的定义域为 4 9 (-∞,0)∪( ,+∞),而0<a≤ <1, 3 16 4 2-4x在(-∞,0),( ∴f(x)与g(x)=3x ,+∞)上的单调性相反, 3 4 ∴f(x)的单调递减区间为( ,+∞). 3

x1

x2

a<x1x2,∴a≤

x1x2

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1.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)
互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它 们之间的联系与区别. 2.在解决问题的思路和方法上,要注意与指数进行 比较. 3.比较两个幂值的大小是一种常见的题型,也是一 类容易做错的题目.解决这类问题时,首先要分清是底数

相同还是指数相同.如果底数相同,可利用指数函数的单
调性;如果指数相同,可利用图象(如下表). 返回目录

同一坐标系下的图象关系
底的关系 a>b>1





y=ax与 y=bx
底的关系

y=logax与 y=logbx
1>a>b>0





y=ax与 y=bx

y=logax与y=logbx

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当底大于1时,底越大,图象越靠近坐标轴;当底小于 1大于0时,底越小,图象越靠近坐标轴,如果底数、指数 都不同,则要利用中间变量.

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