圆锥曲线基础知识


椭圆
1.椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫椭圆,这两个定点 叫做椭圆的 , 之间的距离叫做焦距. 注:①当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是 . ②当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹不存在. (2) 椭圆的第二定义:到 的距离与到 的点的轨迹叫椭圆. 定点 F 是椭圆的 e? 常数 e 是 . 2.椭圆的标准方程 (1) 焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是:
a2 ?

的距离之比是常数 e ,且 , 定直线 l 是 ,

x2 a
2

?

y2 b2

? 1 ,其中(

>

>0,且

)
y2 a2 ? x2 b2

(2) 焦点在 y 轴上, 中心在原点的椭圆标准方程是 3.椭圆的几何性质(对
x2 a2 ? y2 b2

其中 a, b 满足: ?1 ,



? 1 ,a > b >0 进行讨论)

(1) 范围: ≤x≤ , ≤y≤ (2) 对称性:对称轴方程为 ;对称中心为 (3) 顶点坐标: , 焦点坐标: , 长半轴长: , 短半轴长: 准线方程: . (4) 离心率: e ? ( 与 的比), e ? , e 越接近 1,椭圆越 . e 越接近 0,椭圆越接近于 (5) 焦半径公式:设 F1 , F2 分别为椭圆的左、右焦点, P( x0 , y0 ) 是椭圆上一点,则
PF1 ?

. ; ;

, PF2 ? 2a ? PF1 = .



(6) 椭圆的参数方程为 4.焦点三角形应注意以下关系: (1) 定义:r1+r2=2a

(2) 余弦定理: r12 + r22 -2r1r2cos ? =(2c)2 (3) 面积: S ?PF 1F 2 = r1r2 sin ? = · 2c| y0 |(其中 P( x0 , y0 )为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2, ∠F1PF2= ? )
1 2 1 2

双曲线
1.双曲线的两种定义 (1) 平面内与两定点 F1,F2 的 常数(小于 )的点的轨迹叫做 双曲线. 注:①当 2a=|F1F2|时,p 点的轨迹是 . ②2a>|F1F2|时,p 点轨迹不存在. (2) 平面内动点 P 到一个定点 F 和一条定直线 l (F 不在 ? 上)的距离的比是常数 e, 当 e? 时
1

动点 P 的轨迹是双曲线. 设 P 到 F1 的对应准线的距离为 d ,到 F2 对应的准线的距离为 d 2 ,则 2.双曲线的标准方程 (1) 标准方程:
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ,焦点在 PF 1 d1 ? PF2 d2 ?e

轴上;

y2 a2

?

x2 b2

? 1 ,焦点在

轴上.其中:a

0,

b 0, a 2 ? . (2) 双曲线的标准方程的统一形式:

mx2 ? ny 2 ? 1(nm ? 0)
3.双曲线的几何性质(对 (1) 范围: x ?
x2 a
2

?

y2 b2

? 1, a ? 0, b ? 0 进行讨论)

, y?



(2) 对称性:对称轴方程为 ;对称中心为 . (3) 顶点坐标为 , 焦点坐标为 , 实轴长为 , 虚轴长为 , 准线方程为 ,渐近线方程为 . (4) 离心率 e = ,且 e ? , e 越大,双曲线开口越 , e 越小,双曲线开 口越 ,焦准距 P= . (5) 焦半径公式,设 F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 P ( x0 , y0 ) 是双曲线右支上任意一 点, PF1 ?
PF2 ?

, PF2 ? .
b a

,若 P ( x0 , y0 ) 是双曲线左支上任意一点, PF1 ?



(6) 具有相同渐近线 y ? ? x 的双曲线系方程为 (7) 为 (8)
x2 a2 ? y2 b2

的双曲线叫等轴双曲线,等轴双曲线的渐近线为 .
? 1 的共轭双曲线方程为

,离心率



抛物线
1.抛物线定义:平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线, 叫抛物线的焦点, 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外,否则,轨迹将退化为一 条直线). 2.抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① y 2 ? 2 px ,焦点为 ② y 2 ? ?2 px ,焦点为 ③ x 2 ? 2 py ,焦点为 ④ x 2 ? ?2 py ,焦点为 ,准线为 ,准线为 ,准线为 ,准线为 . . . .

3.抛物线的几何性质:对 y 2 ? 2 px( p ? 0) 进行讨论.
2

① 点的范围: 、 ② 对称性:抛物线关于 ③ 离心率 e ? .

. 轴对称.

④ 焦半径公式:设 F 是抛物线的焦点, P( x o , y o ) 是抛物线上一点,则 PF ? ⑤ 焦点弦长公式:设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB = , y1 y 2 .



ii) 若 AB 所在直线的倾斜角为 ? ( ? ? 0) 则 AB = . 特别地,当 ? ? iii) S△AOB= iv)
? 时,AB 为抛物线的通径,且 AB = 2



(表示成 P 与 θ 的关系式) . .

1 1 为定值,且等于 ? | AF | | BF |

直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系,常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立,由所得方程 组的解的个数来决定,一般地,消元后所得一元二次方程的判别式记为△,△>0 时,有两 个公共点,△=0 时,有一个公共点,△<0 时,没有公共点.但当直线方程与曲线方程联 立的方程组只有一组解(即直线与曲线只有一个交点)时,直线与曲线未必相切,在判定此 类情形时,应注意数形结合. (对于双曲线,重点注意与渐近线平行的直线,对于抛物线, 重点注意与对称轴平行的直线) 2.直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦.设弦 AB 端点的坐标为 A(x1,y1), B(x2,y2),直线 AB 的斜率为 k,则:|AB|=————————或:—————————. 利用这个公式求弦长时,要注意结合韦达定理. 当弦过圆锥曲线的焦点时,可用焦半径进行运算. 3.中点弦问题: 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
x2 y2 ? ? 1 上不同的两点,且 x1≠x2,x1+x2≠0,M(x0,y0)为 a2 b2

? x12 y12 ? ?1 ? ? a 2 b2 y ?y y ?y AB 的中点,则 ? 两式相减可得 1 2 ? 1 2 2 2 x1? x 2 x1? x 2 ? x2 ? y2 ? 1 2 2 ? b ?a
即 . 对于双曲线、抛物线,可得类似的结论.

??

b2 a2

3


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