高考数学理《导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题》


? 导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题 ? 高考定位 主要考查导数的几何意义、导数 的四则运算及利用导数求函数的单调区间及 求解极值与最值,多与含参不等式相结合. ? [真题感悟] ? (2014·重庆卷)已知函数f(x)=ae2x-be-2x- cx(a , b , c∈R) 的导函数 f′(x) 为偶函数,且 曲线 y = f(x) 在点 (0 , f(0)) 处的切线的斜率为 4 -c. ? (1)确定a,b的值; ? (2)若c=3,判断f(x)的单调性; ? (3)若f(x)有极值,求c的取值范围. 解 (1)对 f(x)求导,得 f′(x)=2ae2x+2be-2x-c, 由 f′(x)为偶函数,知 f′(-x)=f′(x)恒成立, 即 2(a-b)(e2x-e-2x)=0,所以 a=b. 又 f′(0)=2a+2b-c=4-c,故 a=1,b=1. (2)当 c=3 时,f(x)=e2x-e-2x-3x,那么 f′(x)=2e2x+2e-2x-3≥2 2e2x· 2e-2x-3=1>0, 故 f(x)在 R 上为增函数. (3)由(1)知 f′(x)=2e2x+2e-2x-c, 而 2e2x+2e-2x≥2 2e2x· 2e-2x=4, 当 x=0 时等号成立. 下面分三种情况进行讨论: 当 c<4 时,对任意 x∈R,f′(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此时 f(x)无 极值; 当 c=4 时,对任意 x≠0,f′(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此时 f(x) 无极值; 2 当 c>4 时,令 e =t,注意到方程 2t+ t -c=0 有两根 2x c± c2-16 t1,2= >0, 4 1 1 即 f′(x)=0 有两个根 x1=2ln t1 或 x2=2ln t2. 当 x1<x<x2 时,f′(x)<0;又当 x>x2 时,f′(x)>0,从而 f(x)在 x =x2 处取得极小值. 综上,若 f(x)有极值,则 c 的取值范围为(4,+∞). ? [考点整合] ? 1.导数的几何意义 ? (1) 函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数 f′(x0) 就是 曲线 y = f(x) 在点 (x0 , f(x0)) 处的切线的斜率, 即k=f′(x0). ? (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程 为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). ? 2.函数的单调性与导数 ? 如果已知函数在某个区间上单调递增 ( 减 ) , 则这个函数的导数在这个区间上大(小)于或等 于零恒成立.在区间上离散点处导数等于零, 不影响函数的单调性,如函数y=x+sin x. ? 3.函数的导数与极值 ? 对可导函数而言,某点导数等于零是函数 在该点取得极值的必要条件.例如 f(x) =x3 , 虽 有 f′(0) = 0 , 但 x = 0 不 是 极 值 点 , 因 为 f′(x)≥0恒成立,f(x)=x3在(-∞,+∞)上是 单调递增函数,无极值. ? 4.闭区间上函数的最值 ? 在闭区间上连续的函数,一定有最大值和 最小值,其最大值是区间的端点处的函数值 和在这个区间内函数的所有极大值中的最大 者,最小值是区间端点处的函数值和在这个 区间内函数的所有极小值中的最小者. 热点一 利用导数讨论含参函数的单调性 1-a 【例 1】 已知函数 f(x)=ln x-ax+ x -1,a∈R. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调区间; 1 (2)当

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