高中数学


1

综合检测试题 (时间:120 分钟 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.sin(- 6 π )的值等于( (A)2
1 19

满分:150 分)

A

)
3 π π 1

(B)-2
19π 6

1

(C) 2

3

(D)- 2


解析:sin(-

)=sin(-4π + 6 )=sin(π -6 )=sin 6 =2,故选 A. D ) cm
2
2

2.半径为π cm,中心角为 120°的弧长为( (A) cm(B)
3 2 π π2 3

(C)3π cm (D)3π
2

cm
2 2

解析:120°=3π ,由 l=α ?R 得 l=3π ?π =3π 2(cm),故选 D. 5.已知 sin(π +α )=5,且α 是第三象限角,则 cos(α -2π )的值为( (A)-5
4 3

A

)

(B)5

4

(C)±5 (D)5
3 3 4

4

3

解析:由 sin(π +α )=5得,sin α =-5,又α 是第三象限角,所以 cos α =-5, 所以 cos(α -2π )=cos(2π -α )=cos α =-5, 故选 A. 6.要得到函数 y=sin(2x+3 )的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象( (A)向左平移 3 个单位 (C)向左平移 6 个单位 解析:y=sin 2x
π π π 4

C

)

(B)向右平移 3 个单位 (D)向右平移 6 个单位 y=sin[2(x+ 6 )]=sin(2x+ 3 ),故选 C.
π 3 π π π

π

7.下列关于函数 y=2cos(2x+ )的描述,错误的是( (A)最小正周期是π (B)图象关于直线 x=3 对称 (C)图象关于点(-6 ,0)对称 (D)最大值为 2
π π

C

)

解析:T= 2 =π ,所以 A 正确;当 x= 3 时,y=2cos( 3 +3 )=2cos π =-2,因此函数图象的一条对称轴是 x= 3 ,所以
1



π

2π π

π

2

B 正确;当 x=- 时,y=2cos 0=2,所以 x=- 是一条对称轴,图象并非关于点(- ,0)对称,所以 C 错误,故选
6 6 6

π

π

π

C.

9.函数 y=sin(ω x+φ )(x∈R,ω >0,0≤φ <2π )的部分图象如 (A)ω = 2 ,φ = 4 (B)ω = 3 ,φ = 6 (C)ω = 4 ,φ = 4
π π π π π π π

图,则(

C

)

(D)ω = 4 ,φ = 4

5π 2π π

解析:由题图知,4 =3-1=2,∴T=8= ,解得ω = 4 , ∴y=sin( 4 x+φ ),又当 x=1 时,y=sin( 4 x+φ )=1, ∴4 +φ =2kπ +2 ,k∈Z,∴φ =2kπ +4 ,k∈Z. 又由 0≤φ <2π ,∴k=0 时,φ =4 .故选 C. 10.已知角θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于( (A)4 5 π π π π π π

B

)

(B)-

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

解析:设角θ 终边上一点 P(t,2t), 则|OP|= 2 + 4 2 = 5|t|. 当 t>0 时,θ 在第一象限,cos θ = 当 t<0 时,θ 在第三象限,cos θ =
1 5

=5, =- 5 ,
5

5

- 5
3

所以 cos 2θ =2cos2θ -1=2?5-1=-5,故选 B. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 12.若 cos(π -x)=- 2 ,x∈[0,2π ],则 x 等于 解析:cos(π -x)=-cos x=- 2 ,∴cos x= 2 , 又 x∈[0,2π ],∴x=6 或 x= 答案:6 或
π 11 π 6 π π 11 π 6 3 3 3

.

.

14.已知 tan α =2,则 cos(2 -2α )+cos 2α =
2

.

3

解析:原式=sin 2α +cos 2α =cos2α +2sin α cos α -sin2α = =
co s 2 α +2sin cos -si n 2 α co s 2 α +sin 2 α 1+2tan -ta n 2 α 1+2×2-22 1 1+ta n 2 α 1

=

1+22

=5.

答案:5 15.有下列四个命题: ①若α 、β 均为第一象限角,且α >β ,则 sin α >sin β ; ②若函数 y=2cos(ax-3 )的最小正周期是 4π ,则 a=2; ③函数 y=
si n 2 -sin sin -1 π π 1

是奇函数;

④函数 y=sin(x-2 )在[0,π ]上是增函数. 其中正确命题的序号为 .
π 2π

解析:α =390°>30°=β ,但 sin α =sin β ,所以①不正确;函数 y=2cos(ax- 3 )的最小正周期为 T=| |=4 π ,所以|a|=2,a=±2,因此,②不正确;③中函数定义域是{x|x≠2kπ + 2 ,k∈Z},显然不关于原点对称,所 以③不正确;由于函数 y=sin(x- 2 )=-sin( 2 -x)=-cos x,它在(0,π )上单调递增,因此④正确. 答案:④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 17.(本小题满分 12 分) 化简: (1) (2)
(1+sin +cos )(cos -sin ) 2+2cos 1 1-tan 1+tan 1
2 2

1

1

π

π

π

(0<α <π );

-

.

解:(1)∵0<α <π , ∴0< 2 < 2 , ∴原式=
2

π

(2co s 2 +2sin cos )(cos -sin ) 2+2(2co s 2 -1)
2 2

2

2

2

2

2

=

2cos (co s 2 -sin 2 )

2 2cos 2

=cos α .

(2)原式= =
1-ta n 2

1+tan -(1-tan ) (1-tan )(1+tan ) 2tan 1-ta n 2

tan +tan

=

=tan 2θ .

18.(本小题满分 12 分) 已知|x|≤4 ,求函数 f(x)=cos2x+sin x 的最小值.
3
π

4

解:令 y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1. 令 t=sin x, ∵|x|≤ 4 , ∴- 2 ≤sin x≤ 2 . 则 y=-t2+t+1=-(t-2)2+4(- 2 ≤t≤ 2 ), ∴当 t=- 2 时,即 x=-4 时,f(x)有最小值,且最小值为-(- 2 -2)2+4= 21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=sin 2 + 3cos 2 ,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期,并求函数 f(x)在 x∈[-2π ,2π ]上的单调递增区间; (2)函数 y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数 f(x)的图象. 解:f(x)=sin 2 + 3cos 2 =2sin(2 + 3 ). (1)最小正周期 T=
1 π 2π
1 2

π

2

2

1

5

2

2

2

π

2 1

5 1- 2 2

.









π

=4π .
π π

令 z=2x+ 3 ,函数 y=sin z 的单调递增区间是[-2 +2kπ , 2 +2kπ ](k∈Z). 由-2 +2kπ ≤2x+3 ≤2 +2kπ ,得- 3 +4kπ ≤x≤ 3 +4kπ ,k∈Z. 取 k=0, 得 5π π 5π 3 π 1 π π 5π π

≤ x ≤ ,[3

π

5π π 3 3

, ]?[-2 π ,2 π ], 所以函数 f(x) 在 x ∈ [-2 π ,2 π ] 上的单调递增区间是
π π π

[- 3 ,3 ].(2)把函数 y=sin x(x∈R)的图象向左平移 3 ,得到函数 y=sin(x+3 )的图象,再把函数 y=sin(x+ 3 ) 的图象上每个点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=sin(2 + 3 )的图象,然后再把每个点的 纵坐标变为原来的 2 倍,横坐标不变,即得到函数 f(x)=2sin(2 +3 )的图象.
π π

4


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