48东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-直线与圆-圆与圆的位置关系B


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 046B

直线与圆-圆与圆的位置关系(学案)B
一、 知识梳理 (一)直线与圆的位置关系: 1、直线与圆的位置关系的判断: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

几何法: d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

(1)d> ? 相离 (2)d= r ? 相切 (3)d< ? 相交 代数法:利用直线方程与圆的方程联立方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解,通

过解的个数来判断: (1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2) 当方程组有且只有 1 个公共解时 (直线与圆只有 1 个交点) 直线与圆相切; , (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ 相切 ? Δ =0; 相交 ? Δ >0; 相离 ? Δ <0。 2. 过一点作圆的切线的方程: (1) 过圆外一点的切线:M(x0 , y0 )为圆外一点, 设点斜式方程:y-y0 =k(x ? x0 ),利用几何法或代数法,一般解出两个 k 值 ,如果解出 一个 k 值,则另一条是没有斜率的直线 x=x0 . (2)过圆上一点的切线方程:圆(x—a) +(y—b) =r ,圆上一点为(x0,y0), 则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r
2 2 2 2

特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 . 3.切点弦 (1)过⊙C: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 外一点 P( x0 , y0 ) 作⊙C 的两条切线,切点分别为
2 2 2

A、B ,则切点弦 AB 所在直线方程为: ( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2

1

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4. 切线长: 2 2 2 若 圆 的 方 程 为 (x?a) +(y?b) = r , 则 过 圆 外 一 点 P(x0,y0) 的 切 线 长 为 d=

( x0 ? a) 2 + ( y 0 ? b) 2 ? r 2 .
2、两圆的位置关系 (1)设两圆 C1 : ( x ? a1 )2 ? ( y ? b1 )2 ? r1 与圆 C2 : ( x ? a2 )2 ? ( y ? b2 )2 ? r2 ,
2 2

圆心距 d ? ① ② ③ ④ ⑤

(a1 ? a2 ) 2 ? (b1 ? b2 ) 2

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;
d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;
r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;
0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离

外切

相交

内切

内含

(2)两圆公共弦所在直线方程 圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ? 0 , 1 圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 , 则 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? ? F ? F2 ? ? 0 为两相交圆公共弦方程. 1 补充说明: ① 若 C1 与 C2 相切,则表示其中一条公切线方程; ② 若 C1 与 C2 相离,则表示连心线的中垂线方程. (3)圆系问题 过两圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ? 0 和 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点 1

2

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的圆系方程为 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0(λ ≠ ?1)
2 2 2 2

?

?

补充: ① 上述圆系不包括 C2 ; ② 当 ? ? ?1 时,(若 C1 与 C2 相切,则表示其中一条公切线方程;若 C1 与 C2 相 离,则表示连心线的中垂线方程;若 C1 与 C2 相交,表示公共弦的直线方程。) ③ 过直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 交点的圆系方程为
2 2

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0
二、题型探究: [探究一]:直线与圆相切问题 例 1:将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆

x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相切,则实数 ? 的值为(
(A)-3 或 7 (B)-2 或 8

) (D)1 或 11

(C)0 或 10

[探究二]:直线与圆有关的最值问题 例 2:已知直线 L : 2mx ? y ? 8m ? 3 ? 0 和圆 C : x ? y ? 6 x ? 12 y ? 20 ? 0 ;
2 2

(1) m ? R 时,证明 L 与 C 总相交。 (2) m 取何值时, L 被 C 截得弦长最短,求此弦长。

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例 3.已知圆C1 :x + y + 2x + 2y ? 8 = 0与C2 :x 2 + y 2 ? 2x + 10y ? 24 = 0相交 于 A, B 两点。 (1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 y ? ? x 上,且经过 A, B 两点的圆的方程; (3)求经过 A, B 两点且面积最小的圆的方程。

2

2

[探究三]:直线与圆有关综合题
2 2 例 4:已知实数 x、y 满足 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ,求 z ?

y ?1 的最大值与最小值。 x

[题型探究四]:圆与圆位置关系 例 5: 讨论两圆的位置关系: 已知圆 C1:x2 + y2 – 2mx + 4y + m2 – 5 = 0,圆 C2:x2 + y2 + 2x – 2my + m2 – 3 = 0,m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 相外切; (2)圆 C1 与圆 C2 内含.

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例 6:圆系方程应用: 求过直线 x + y + 4 = 0 与圆 x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0 的交点且与 y = x 相切的圆的方程.

例 7:两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 求过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0 求 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点, 且圆心在直线 x – y – 4 = 0 上的圆的方程.

例 8: 已知圆 C1:x +y —2x =0 和圆 C2:x +y +4 y=0,试判断圆和位置关系, 若相交,则设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长。 三、方法提升: 直线与圆的位置关系:l :f1(x ,y)=0.圆 C :f2(x ,y)=0 消 y 得 F(x) =0。 (1)直线与圆相交:F(x)=0 中? >0;或圆心到直线距离 d <r 。 直线与圆相交的相关问题: ①弦长|AB|= 1? k 2 · 1 -x2|= 1? k 2 · ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , |x 或|AB|=2 r 2 ? d 2 ; ②弦中点坐标( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ;
2
2

2

2

2

2

③弦中点轨迹方程。 (2)直线与圆相切:F(x)=0 中? =0,或 d =r .其相关问题是切线方程.如 P(x0 ,y0)是圆 x2 +y2 =r2 上的点,过 P 的切线方程为 x0x +y0y =r2 ,其二是 圆 外 点 P ( x0 , y0 ) 向 圆 到 两 条 切 线 的 切 线 长 为

( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 或

5

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x0 ? y0 ? r 2 ;其三是 P(x0 ,y0)为圆 x2 +y2 =r2 外一点引两条切线,有两个
2 2

切点 A ,B ,过 A ,B 的直线方程为 x0x +y0y =r2 。 (3)直线与圆相离:F(x)=0 中? <0;或 d <r ;主要是圆上的点到直线距 离 d 的最大值与最小值, Q 为圆 C : -a) 2 +(y -b) 2 =r2 上任一点, 设 (x |PQ|max =|PC|+r ;|PQ|min =|PQ|-r ,是利用图形的几何意义而不是列出距离的解析式 求最值. (4).圆与圆的位置关系:依平面几何的圆心距|O1O2|与两半径 r1 ,r2 的和差关 系判定. (1)设⊙O1 圆心 O1 ,半径 r1 ,⊙O2 圆心 O2 ,半径 r2 则: ①当 r1 +r2 =|O1O2|时⊙O1 与⊙O2 外切; ②当|r1 -r2|=|O1O2|时, 两圆相切; ③当|r1 -r2|<|O1O2|<r1 +r2 时两圆相交;④当|r1 -r2|>|O1O2|时两圆内含;⑤ 当 r1 +r2 <|O1O2|时两圆外离. (2)设⊙O1 :x2 +y2 +D1x +E1y +F1 =0,⊙O2 :x2 +y2 +D2x +E2y + F2 =0。 ①两圆相交 A 、B 两点,其公共弦所在直线方程为(D1 -D2)x +(E1 -E2) y +F1 -F2 =0; ②经过两圆的交点的圆系方程为 x2 +y2 +D1x +E1y +F1 +?(x2 +y2 +D2x +E2y +F2)=0(不包括⊙O2 方程). 四、反思感悟

五、课时作业(一) 一、选择题 1、若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(
2 2

)

A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

2、圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

π 3、圆 2x2+2y2=1 与直线 xsinθ +y-1=0(θ ∈R,θ ≠ 2 +kπ ,k∈Z)的位置关

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系是(

) B.相切 C.相离 D.不确定

A.相交

4、设直线 2x-y- 3 =0 与 y 轴的交点为 P,点 P 把圆(x+1)2+y2=25 的直径分 为两段,则其长度之比为( 7 3 A. 3 或7 ) 7 5 C. 5 或7 7 6 D. 6 或7

7 4 B. 4 或7

15 24 5、以点 A(?3,0)、B(0,?3)、C( , ) 为顶点的三角形与圆 x 2 ? y 2 ? R 2 ( R ? 0) 没有公 7 7

共点,则圆半径 R 的取值范围是( A. (0,
3 10 3 89 )?( ,??) 10 7 2 2 ) ? (3,??) 3


3 10 3 89 , ) 10 7

B. ( D. (

C. (0,

2 2 ,3) 3

二、填空题 6、直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于________________. 7、以点(1,2)为圆心,且与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是________________. 8、集合 A={ (x,y)|x2+y2=4} ,B={ (x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2} ,其中 r >0,若 A∩B 中有且仅有一个元素,则 r 的值是________________. 9、一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C: (x-2)2+(y-3)2=1 的最 短路程是________________. 10、已知三角形三边所在直线的方程为 y=0,x=2,x+y-4- 2 =0,则这个三角 形内切圆的方程为________________. 三、解答题 11、求过点(3,1) ,且与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 相切的直线的方程。

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12、求经过点 A(0,5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程。

13、 (1)圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 的外部有一点 P(x0,y0) ,求由点 P 向圆引切 线的长度. (2)在直线 2x+y+3=0 上求一点 P,使由 P 向圆 x2+y2-4x=0 引得的切线长长 度为最小.

14、如图,圆 C 通过不同的三点 P(K,O) 、Q(2, 0) 、R(0,1) ,已知圆 C 在点 P 的切线斜率为 1,试求圆 C 的方程.

y R P C O Q x

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课时作业(二) 一、选择题 1、 把直线 y ?
3 x 绕原点逆时针方向旋转, 使它与圆 x 2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 3 ? 0 相切, 3

则直线转动的最小正角是( A.


2 C. ? 3 5 D. ? 6

? 3

B.

? 2

2、如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,那么 A.
1 2

y 的最大值是( x



B.

3 3

C.

3 2

D. 3 )

3、圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个
2 2

D. 4 个

4、若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x ? 4x ? y ? 5 ? 0 在第一象限内的 部分有交点,则 k 的取值范围是( A. 0 ? k ? ) C. 0 ? k ? 13 D. 0 ? k ? 5

5
2

B. ? 5 ? k ? 0
2

5、直线 y=2x+m 和圆 x ? y ? 1 交于 A、B 两点,以 ox 轴为始边,OA、OB 为终 边的角记为 ? 、 ? ,则 sin( ? ? ? )等于 A.关于 m 的一次函数 C.关于 m 的二次函数 二、填空题 6、圆 x 2 ? y 2 ? 2 上的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最小值为________________. 7、已知直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? F ? 0 于点 P, Q , O 为坐标原点,且
OP ? OQ ,则 F 的值为

( )

B.

4 5 4 5

D.-



8、若直线 x ? 2 y ? m ? 0 按向量 a ? (?1, ?2) 平移后与圆 c : x ? y ? 2x ? 4 y ? 0
2 2

?

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相切,则实数 m 的值为



9 、已知 两圆 x 2 ? y 2 ? 10x ? 10y ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 40 ? 0 , 则 它们的 公共弦 长 为 .

10 、 若 直 线 y ? ? x ? b 与 曲 线 x ? ? 1 ? y 2 恰 有 一 个 公 共 点 , 则 b 的 取 值 范 围 是 __________. 三、解答题 11、由点 A(?3,3) 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,若反射光线所在直线与圆
x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在直线的方程.

12、已知圆上的点 A( 2,?3) 关于直线 x ? 2 y ? 0 的对称点仍在这个圆上,且与直线
x ? y ? 1 ? 0 相交的弦长为 2 2 ,求圆的方程.

13、已知 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m ∈R). (1) 求证:不论 m 取什么实数时,直线 l 与圆恒交于两点; (2) 求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及这时直线 l 的方程.

14、曲线 x2+y2+x-6y+3=0 上两点 P、Q 满足: (1) 关于直线 kx-y+4=0 对称, (2)OP⊥OQ,求直线 PQ 的方程.

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