第七章 数列与数学归纳法
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第七章
数列与数学归纳法
1. 数列概念
按一定顺序排列起来的一列数叫做数列； 数列中的每一个数叫做这个数列的项； 数列的 一般形式可以写成 a1 , a2 , a3 ,..., an ,... ，其中 an 是数列的第 n 项， n 是 an 的序数，上面的数 列可以简单记作 {an } ； 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；从第 2 项起，每一项都 大于它的前一项的数列叫做递增数列； 从第 2 项起， 每一项都小于它的前一项的数列叫做递 减数列；各项相等的数列叫做常数列； 若存在正常数 M ，使得数列每一项的绝对值都不大于 M ，这样的数列叫做有界数列， 否则叫做无界数列； 如果数列 {an } 的第 n 项 an 与项的序数 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式就叫做这个数列的通项公式； 如果已知数列 {an } 的任一项 an 与它的前一项 an ?1 （或前几项）之间的关系可用一个公 式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式； 一般地，我们称 a1 ? a2 ? a3 ? …? an 为数列 {an } 的前 n 项和，用 Sn 表示；根据数列前
n 项和的定义 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) ；
整理人 谭峰
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2. 等差数列
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一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这 个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母 d 表示； 等差中项：如果 A ?
a?b ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项；如果三个数成等差数列， 2
那么等差中项等于另两项的算术平均数； 等差数列 {an } 的通项公式： an ? a1 ? (n ?1)d (n ? N* ) ； 等差数列 {an } 的递推公式： an ? an?1 ? d (n ? 2) ； 等差数列 {an } 的前 n 项和公式： S n ? 等差数列 {an } 的性质： ① an ? am ? (n ? m)d ； ② 若 m ? n ? p ? q ，则 am ? an ? ap ? aq ； ③ ak ， ak ?m ， ak ? 2 m ，??，成等差数列，公差为 md ； ④ Sn ， S2n ? Sn ， S3n ? S2 n ， S4 n ? S3n ，??，成等差数列，公差为 n d ；
2
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ? na中 ； 2 2
⑤ 数列 {an } 成等差数列 ? an ? pn ? q ， 2an ? an?1 ? an?1 ， Sn ? An2 ? Bn ； ⑥ 若数列 {an } 是等差数列，则 {c n } 为等比数列， c ? 0 ；
a
⑦ Sn 是前 n 项和， S奇 表示奇数项的和， S偶 表示偶数项的和，则 Sn ? S奇 ? S偶 ；
n d； 2 S n ? 1 S奇 ? S偶 当 n 为奇数时， S奇 ? S偶 ? a中 ， 奇 ? ， ?n； S偶 n ? 1 S奇 ? S偶
当 n 为偶数时， S偶 ? S奇 ? ⑧ 设 Sn 和 Tn 分别表示等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和，则 ⑨ 若 a p ? q ， aq ? p ， p ? q ，则 a p?q ? 0 ， d ? ?1 ； 若 S p ? q ， Sq ? p ， p ? q ，则 S p?q ? ?( p ? q) ； 若 S p ? Sq ， p ? q ，则 S p ?q ? 0 ；
an S2 n ?1 ； ? bn T2 n ?1
3. 等比数列
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那 么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母 q 表示； 等比中项：如果 G ? ab ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项；如果三个数成等比数列，
2
那么等比中项的平方等于另两项的积； 整理人 谭峰
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等比数列 {an } 的通项公式： an ? a1q n?1 (n ? N* ) ； 等比数列 {an } 的递推公式： an ? an?1q (n ? 2) ； 等比数列 {an } 的前 n 项和公式： Sn ? 等比数列 {an } 的性质： ① an ? am ? qn?m ； ② 若 m ? n ? p ? q ，则 am ? an ? a p ? aq ； ③ ak ， ak ?m ， ak ? 2 m ，??，成等比数列，公比为 q m ； ④ Sn ， S2n ? Sn ， S3n ? S2 n ， S4 n ? S3n ，??，成等比数列，公比为 q n ； ⑤ 数列 {an } 成等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 ， an ? p ? qn ， Sn ? A(qn ?1) ； ⑥ 若数列 {an } 是等比数列，则 {log c an }为等差数列， an ? 0 ； ⑦ Sn 是前 n 项和， S奇 表示奇数项的和， S偶 表示偶数项的和，则 Sn ? S奇 ? S偶 ； 当 n 为偶数时，
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q (q ? 1) ； Sn ? na1 (q ? 1) ； ? 1? q 1? q
S偶 S奇
? q ；当 n 为奇数时，
S奇 ? a1 ?q； S偶 T奇 ? a中 ； T偶
⑧ 设 Tn 是前 n 项积， T奇 表示奇数项的积， T偶 表示偶数项的积，则 Tn ? T奇 ? T偶 ； 当 n 为偶数时，
T偶 T奇
? q 2 ；当 n 为奇数时，
n
4. 求数列通项方法
（1）公式法：等差数列通项 an ? a1 ? (n ?1)d ，等比数列通项 an ? a1q n?1 ； （2）累加法（累乘法） ： an ? an?1 ? f (n) ，
an ? f ( n) ， n ? 2 ； an?1
（3）作差法（作商法） ：若 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? … ? an ，则 an ? Sn ? Sn?1 ， n ? 2 ； 若 Tn ? a1 ? a2 ? a3…an ，则 an ?
Tn ，n ? 2； Tn ?1
（4）构造法： an ? Aan?1 ? B ； an ? Aan?1 ? Bn ? C ； an ? Aan?1 ? Bn ；
an?1 ? pan q ； an ?
an ?1 ； an?1 ? pan ? qan?1 ，其他类型； kan ?1 ? b Can ? D ( A ? 0) ； Aan ? B
（5）不动点法：适用于分式递推数列 an ?1 ?
（6）特征根法：适用于 an?1 ? pan ? qan?1 ? r ( p ? 0) ； （7）数学归纳法：对数列通项进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明； 整理人 谭峰
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5. 数列求和方法
（1）求和公式法：等差数列前 n 项和公式： S n ?
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ? na中 ； 2 2 a (1 ? q n ) a1 ? an q 等比数列前 n 项和公式： Sn ? 1 (q ? 1) ； ? 1? q 1? q 1 12 ? 22 ? 32 ? … ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ； 6 1 13 ? 23 ? 33 ? … ? n3 ? n 2 (n ? 1) 2 ； 4
（2）倒序相加法：首尾距离相等的两项有共性或数列的通项与组合数相关联； （3）错位相减法：数列通项由等差数列与等比数列相乘构成； （4）裂项相消法：将数列中的每项进行分解，然后重新组合，达到消项的目的；
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? )； ； n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 ? [ ? ]； n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 ? n ? n ?1 ； ? ( n ? k ? n) ； n ? n ?1 n?k ? n k n 1 1 sin1? ； ? ? ? tan(n ? 1)? ? tan n? ； (n ? 1)! n ! (n ? 1)! cos n? cos(n ? 1)?
（5）分组求和法：将通项中有共同规律的部分进行分组，分别求和； （6）数学归纳法：对数列前 n 项和进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明；
6. 数学归纳法
由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法； 数学家通过对正整数的深入研究， 找到了一种证明与正整数 n 有关的数学命题的简单有 效的方法，它的步骤是： （1）证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N* , 例如 n0 ? 1 或 n0 ? 2) 时，命题成立； （2）假设当 n ? k (k ? N , k ? n0 ) 时命题成立，证明当 n ? k ? 1 时命题也成立；
*
在完成了上面两个步骤后，我们就可以断定这个命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都 成立，这种证明方法叫做数学归纳法； 在数学问题的探索中， 为了寻求一般规律， 往往先考察一些特例， 进行归纳， 形成猜想， 然后再去证明这些猜想正确与否，一些与正整数有关的等式也可以通过这样的途径得到；
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数学归纳法的形式
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第一数学归纳法： 教材上的数学归纳法， 称之为第一数学归纳法， 是归纳法的基本形式； 第二数学归纳法：① 当 n ? 1 时， P (n) 成立；② 假设当 n ? k (k ? N* ) 时， P ( k ) 成 立，由此推出 n ? k ? 1 ， P(k ? 1) 也成立，那么命题成立； 跳跃数学归纳法：① 当 n ? 1, 2,3,…, m 时， P(1), P(2), P(3), … , P( m) 成立；② 假设 当 n ? k (k ? m, k ? N* ) 时， P ( k ) 成立，由此推出 n ? k ? m 时， P(k ? m) 也成立，那么 对一切正整数，命题成立； 反向数学归纳法： ① P (n) 对无穷多个正整数 n 成立； ② 假设当 n ? k ? 1 (k ? N* ) 时， 命题 P(k ? 1) 成立，由此推出 n ? k 时 P ( k ) 也成立，那么对一切正整数，命题成立；
7. 数列极限
一般地，在 n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列 {an } 中的 an 无限趋近于一个常数
A ，那么 A 叫做数列 {an } 的极限，或叫做数列 {an } 收敛于 A ，记作 lim an ? A ，读作“ n
n ??
趋向于无穷大时， an 的极限等于 A ” ； 三个常用极限：① lim C ? C （ C 为常数） ；② lim
n ??
1 ? 0 ；③当 | q |? 1 时，lim q n ? 0 ； n ?? n n ??
在数列极限的描述中， 我们可以用 | an ? A | 是否无限趋近于零来判断 an 是否有极限 A ； 如果 lim an ? A ， lim bn ? B ，那么
n ?? n ??
（1） lim( an ? bn ) ? lim an ? lim bn ? A ? B ；
n ?? n ?? n ??
（2） lim( an ? bn ) ? lim an ? lim bn ? A ? B ；
n ?? n ?? n ??
（3） lim
an A an lim ? n?? ? ( B ? 0) ； n ?? b lim bn B n
n ??
我们把 | q |? 1 的无穷等比数列的前 n 项和 Sn 当 n ?? 时的极限叫做无穷等比数列各 项的和，并用符号 S 表示，即 S ?
a1 (| q |? 1) ； 1? q
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