第七章 数列与数学归纳法


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第七章

数列与数学归纳法

1. 数列概念
按一定顺序排列起来的一列数叫做数列; 数列中的每一个数叫做这个数列的项; 数列的 一般形式可以写成 a1 , a2 , a3 ,..., an ,... ,其中 an 是数列的第 n 项, n 是 an 的序数,上面的数 列可以简单记作 {an } ; 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列;从第 2 项起,每一项都 大于它的前一项的数列叫做递增数列; 从第 2 项起, 每一项都小于它的前一项的数列叫做递 减数列;各项相等的数列叫做常数列; 若存在正常数 M ,使得数列每一项的绝对值都不大于 M ,这样的数列叫做有界数列, 否则叫做无界数列; 如果数列 {an } 的第 n 项 an 与项的序数 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个 公式就叫做这个数列的通项公式; 如果已知数列 {an } 的任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)之间的关系可用一个公 式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式; 一般地,我们称 a1 ? a2 ? a3 ? …? an 为数列 {an } 的前 n 项和,用 Sn 表示;根据数列前

n 项和的定义 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) ;
整理人 谭峰

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2. 等差数列

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一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这 个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用小写字母 d 表示; 等差中项:如果 A ?

a?b ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项;如果三个数成等差数列, 2

那么等差中项等于另两项的算术平均数; 等差数列 {an } 的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d (n ? N* ) ; 等差数列 {an } 的递推公式: an ? an?1 ? d (n ? 2) ; 等差数列 {an } 的前 n 项和公式: S n ? 等差数列 {an } 的性质: ① an ? am ? (n ? m)d ; ② 若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq ; ③ ak , ak ?m , ak ? 2 m ,??,成等差数列,公差为 md ; ④ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n , S4 n ? S3n ,??,成等差数列,公差为 n d ;
2

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ? na中 ; 2 2

⑤ 数列 {an } 成等差数列 ? an ? pn ? q , 2an ? an?1 ? an?1 , Sn ? An2 ? Bn ; ⑥ 若数列 {an } 是等差数列,则 {c n } 为等比数列, c ? 0 ;
a

⑦ Sn 是前 n 项和, S奇 表示奇数项的和, S偶 表示偶数项的和,则 Sn ? S奇 ? S偶 ;

n d; 2 S n ? 1 S奇 ? S偶 当 n 为奇数时, S奇 ? S偶 ? a中 , 奇 ? , ?n; S偶 n ? 1 S奇 ? S偶
当 n 为偶数时, S偶 ? S奇 ? ⑧ 设 Sn 和 Tn 分别表示等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和,则 ⑨ 若 a p ? q , aq ? p , p ? q ,则 a p?q ? 0 , d ? ?1 ; 若 S p ? q , Sq ? p , p ? q ,则 S p?q ? ?( p ? q) ; 若 S p ? Sq , p ? q ,则 S p ?q ? 0 ;

an S2 n ?1 ; ? bn T2 n ?1

3. 等比数列
一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那 么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用小写字母 q 表示; 等比中项:如果 G ? ab ,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项;如果三个数成等比数列,
2

那么等比中项的平方等于另两项的积; 整理人 谭峰

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等比数列 {an } 的通项公式: an ? a1q n?1 (n ? N* ) ; 等比数列 {an } 的递推公式: an ? an?1q (n ? 2) ; 等比数列 {an } 的前 n 项和公式: Sn ? 等比数列 {an } 的性质: ① an ? am ? qn?m ; ② 若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; ③ ak , ak ?m , ak ? 2 m ,??,成等比数列,公比为 q m ; ④ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n , S4 n ? S3n ,??,成等比数列,公比为 q n ; ⑤ 数列 {an } 成等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 , an ? p ? qn , Sn ? A(qn ?1) ; ⑥ 若数列 {an } 是等比数列,则 {log c an }为等差数列, an ? 0 ; ⑦ Sn 是前 n 项和, S奇 表示奇数项的和, S偶 表示偶数项的和,则 Sn ? S奇 ? S偶 ; 当 n 为偶数时,

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q (q ? 1) ; Sn ? na1 (q ? 1) ; ? 1? q 1? q

S偶 S奇

? q ;当 n 为奇数时,

S奇 ? a1 ?q; S偶 T奇 ? a中 ; T偶

⑧ 设 Tn 是前 n 项积, T奇 表示奇数项的积, T偶 表示偶数项的积,则 Tn ? T奇 ? T偶 ; 当 n 为偶数时,

T偶 T奇

? q 2 ;当 n 为奇数时,

n

4. 求数列通项方法
(1)公式法:等差数列通项 an ? a1 ? (n ?1)d ,等比数列通项 an ? a1q n?1 ; (2)累加法(累乘法) : an ? an?1 ? f (n) ,

an ? f ( n) , n ? 2 ; an?1

(3)作差法(作商法) :若 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? … ? an ,则 an ? Sn ? Sn?1 , n ? 2 ; 若 Tn ? a1 ? a2 ? a3…an ,则 an ?

Tn ,n ? 2; Tn ?1

(4)构造法: an ? Aan?1 ? B ; an ? Aan?1 ? Bn ? C ; an ? Aan?1 ? Bn ;

an?1 ? pan q ; an ?

an ?1 ; an?1 ? pan ? qan?1 ,其他类型; kan ?1 ? b Can ? D ( A ? 0) ; Aan ? B

(5)不动点法:适用于分式递推数列 an ?1 ?

(6)特征根法:适用于 an?1 ? pan ? qan?1 ? r ( p ? 0) ; (7)数学归纳法:对数列通项进行归纳猜想,然后按数学归纳法步骤进行证明; 整理人 谭峰

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5. 数列求和方法
(1)求和公式法:等差数列前 n 项和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ? na中 ; 2 2 a (1 ? q n ) a1 ? an q 等比数列前 n 项和公式: Sn ? 1 (q ? 1) ; ? 1? q 1? q 1 12 ? 22 ? 32 ? … ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ; 6 1 13 ? 23 ? 33 ? … ? n3 ? n 2 (n ? 1) 2 ; 4

(2)倒序相加法:首尾距离相等的两项有共性或数列的通项与组合数相关联; (3)错位相减法:数列通项由等差数列与等比数列相乘构成; (4)裂项相消法:将数列中的每项进行分解,然后重新组合,达到消项的目的;

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ); ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 ? [ ? ]; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 ? n ? n ?1 ; ? ( n ? k ? n) ; n ? n ?1 n?k ? n k n 1 1 sin1? ; ? ? ? tan(n ? 1)? ? tan n? ; (n ? 1)! n ! (n ? 1)! cos n? cos(n ? 1)?
(5)分组求和法:将通项中有共同规律的部分进行分组,分别求和; (6)数学归纳法:对数列前 n 项和进行归纳猜想,然后按数学归纳法步骤进行证明;

6. 数学归纳法
由特殊到一般的推理方法,叫做归纳法; 数学家通过对正整数的深入研究, 找到了一种证明与正整数 n 有关的数学命题的简单有 效的方法,它的步骤是: (1)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N* , 例如 n0 ? 1 或 n0 ? 2) 时,命题成立; (2)假设当 n ? k (k ? N , k ? n0 ) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立;
*

在完成了上面两个步骤后,我们就可以断定这个命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都 成立,这种证明方法叫做数学归纳法; 在数学问题的探索中, 为了寻求一般规律, 往往先考察一些特例, 进行归纳, 形成猜想, 然后再去证明这些猜想正确与否,一些与正整数有关的等式也可以通过这样的途径得到;

整理人 谭峰

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数学归纳法的形式

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第一数学归纳法: 教材上的数学归纳法, 称之为第一数学归纳法, 是归纳法的基本形式; 第二数学归纳法:① 当 n ? 1 时, P (n) 成立;② 假设当 n ? k (k ? N* ) 时, P ( k ) 成 立,由此推出 n ? k ? 1 , P(k ? 1) 也成立,那么命题成立; 跳跃数学归纳法:① 当 n ? 1, 2,3,…, m 时, P(1), P(2), P(3), … , P( m) 成立;② 假设 当 n ? k (k ? m, k ? N* ) 时, P ( k ) 成立,由此推出 n ? k ? m 时, P(k ? m) 也成立,那么 对一切正整数,命题成立; 反向数学归纳法: ① P (n) 对无穷多个正整数 n 成立; ② 假设当 n ? k ? 1 (k ? N* ) 时, 命题 P(k ? 1) 成立,由此推出 n ? k 时 P ( k ) 也成立,那么对一切正整数,命题成立;

7. 数列极限
一般地,在 n 无限增大的变化过程中,如果无穷数列 {an } 中的 an 无限趋近于一个常数

A ,那么 A 叫做数列 {an } 的极限,或叫做数列 {an } 收敛于 A ,记作 lim an ? A ,读作“ n
n ??

趋向于无穷大时, an 的极限等于 A ” ; 三个常用极限:① lim C ? C ( C 为常数) ;② lim
n ??

1 ? 0 ;③当 | q |? 1 时,lim q n ? 0 ; n ?? n n ??

在数列极限的描述中, 我们可以用 | an ? A | 是否无限趋近于零来判断 an 是否有极限 A ; 如果 lim an ? A , lim bn ? B ,那么
n ?? n ??

(1) lim( an ? bn ) ? lim an ? lim bn ? A ? B ;
n ?? n ?? n ??

(2) lim( an ? bn ) ? lim an ? lim bn ? A ? B ;
n ?? n ?? n ??

(3) lim

an A an lim ? n?? ? ( B ? 0) ; n ?? b lim bn B n
n ??

我们把 | q |? 1 的无穷等比数列的前 n 项和 Sn 当 n ?? 时的极限叫做无穷等比数列各 项的和,并用符号 S 表示,即 S ?

a1 (| q |? 1) ; 1? q

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