1东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--集合及其运算A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 001

集合及其运算(教案)A
一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 2 页—第 14 页) 1、 集合的含义与表示 (1) 、 一般地, 我们把研究对象统称为 元素 , 把一些元素组成的总体叫做 集合 ; (2) 、集合中的元素有三个性质: 确定性 , 无序性 ,互异性 ; (3) 、 集合中的元素与集合的关系 属于 和 不属于, 分别用 和 表示; (4) 、几个常用的集合表示法 数集 表示法 2、集合间的基本关系 表示 关系 相等 子集 真子集 集合 A 与集合 B 中的所有 元素相同 A 中任意元素均为 B 中元 素 A 中任意元素均为 B 中元 素,且 B 中至少有一个元 素不属于 A 空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集 φ A= B A?B A B 文字语言 符号语言 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

空集

3、集合的基本运算 交集 符号表示 图形表示 意义 4、 常用结论 (1) 、集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集有 并集 补集

个; 真子集有

个;

(2) 、并集:A∪B= B∪ A,A∪A=A;A∪ φ =A ;A∪B?A;A∪B=B? A ? B (3) 、A∩B=A∩B;A∩A=A;A∩ φ =φ ;A ∩ B ?A;A ∩ B ? B;A ∩ B=A? A ? B; (4) 、补集:A∩ Cu A=φ ; A∪ CU A=U

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二、题型探究 探究一、集合的概念 例 1:已知 A={a+2,(a + 1)2 ,a2 +3a+3} ,若 1∈A,求实数 a 的值。

例 2:已知集合 P={y=x 2 + 1} , Q={y|y=x 2 + 1}, R={ x|y=x 2 + 1} , M={ (x,y)|y=x 2 + 1},N={x|x≥ 1},则( D ) (A)P=M (B) Q= R (C)R=M (D) Q= N 探究二、集合间的基本关系 例 3: ( 2009 广 东 卷 理 ) 已知全集 U ? R ,集合 M ? {x ?2 ? x ?1 ? 2} 和

N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2,? } 的关系的韦恩(Venn)图如
图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 ( B ) A.3 C. 1 个 B. 2 个 D. 无穷多个

例 4: A ? x x2 ? 8x ? 15 ? 0 , B ? x ax ?1 ? 0 ,若 B ? A ,求:实数 a 组成 的集合。 答:{0 , 3,}5}
1 1

?

?

?

?

例 5: (2011 安徽理 ) 设集合 A ? ?1, 2,3, 4,5,6? , B ? ?4,5,6,7? , 则满足 S ? A 且

S ? B ? ? 的集合 S 为( )(A)57

(B)56

(C)49

(D)8

【命题意图】本题考查集合间的基本关系,考查集合的基本运算,考查子集问题,查 组合知识.属中等难度题.
6 3 【解析】集合 A 的所有子集共有 2 ? 64 个,其中不含 4,5,6 的子集有 2 ? 8 个,所

以集合

S 共有 56 个.故选 B.

2

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例 6:(2012 全国新课标理) 已知集合 A={1.3. A 0或 3 B 0或3 C 1或 3

m },B={1,m} ,A ? B=A, 则 m=
D 1或3

探究三、关于集合的“新定义型”问题 例 7:设非空集合s = { x|m ≤ x ≤ n}, 满足: 当 x∈ S时, 有x 2 ∈ S。 给出如下三个命题: ①、 若 m=1, 则 S={1} ②、 若m = ? 2 ; 其中正确命题的个数为(D) (A)0 三、方法提升: 1、注意集合元素的性质,在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元 素的互异性能顺利地找到解题的切入点,另一方面在解答完毕之时,注意检验集 合中的元素是否满足互异性以确保答案正确。 2、注意描述法给出的集合的元素 用描述法表示集合,首先应清楚集合的类型和元素的性质,如集合 P={x|y=x 2 ? 2x + 1} , Q={(x,y)| y=x 2 ? 2x + 1 },表示不同的集合。 3、 注意空集的特殊性 空集中没有任何元素 ,但它是存在的,在利用A ? B解题时,若不明确集合 A 是 否是空集时,应对集合 A 进行讨论。 4、 注意数形结合思想的应用 在进行集合运算时,要尽可能应用韦恩图和数轴使抽象问题直接化,一般有限集 合用韦恩图来表示,无限集合用数轴来表示,用数轴表法集合时,注意端点的取 舍。 5、 注意补集思想的应用 在解决A ∩ B ≠ ?时,可以利用补集的思想,先研究A ∩ B = ?的情况,然后取补 集。 (B)1 (C)2 (D)3
1

1 ,则1 ≤ n ≤ 1;③、 若n= 2 4

则? 2 ≤ m ≤ 0

2

3

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四、反思感悟

五、课时作业 一、选择题 1.(2009 年 广 东 卷 文 ) 已 知 全 集 U ? R , 则 正 确 表 示 集 合 M ? {?1,0,1} 和

N ? ? x | x 2 ? x ? 0? 关系的韦恩(Venn)图是

【答案】B
2 【解析】由 N ? x | x ? x ? 0 ,得 N ? {?1,0} ,则 N ? M ,选 B.

?

?

2.(2009 浙江理)设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ∩ CU B= ( B ) A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} D. {x | x ? 1}

2 3.(2009 山东卷理)集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ,则 a 的

?

?

值为( D ) A.0

B.1

C.2

D.4

2 【解析】:∵ A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a , A ? B ? ?0,1, 2, 4,16? ∴ ?

?

?

? a 2 ? 16 ? a?4

∴a ? 4,

故选 D. 【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得 答案,本题属于容易题. 4.(2009 安徽卷理)若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x

?

?

? 2x ?1 ? ? 0? , 则 A∩B 是 (D) ? 3? x ?

4

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1 ? (A) ? ? x ?1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3? 2 ? ?

(B)

?x 2 ? x ? 3?

(C) ? x ? ? x ? 2?

? ?

1 2

? ?

1? (D) ? ? x ?1 ? x ? ? ? ? 2?

【解析】集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? ? 或x ? 3} ,

1 2

∴ A ? B ? {x | ?1 ? x ? ? }

1 2

选D

5. (2009 安徽卷文)若集合A = {x| 2x + 1 x ? 3 < 0}, B = x x ∈ N+ , x ≤ 5 ,则 A ∩ B是(B ) A.{1,2,3} B. {1,2} C. {4,5} D. {1,2,3,4,5} 【解析】 解不等式得 A ? ? x | ? 1 ? x ? 3? ∵B = x x ∈ N+, x ≤ 5 ∴ A ? B ? ?1,2? ,选 B。 2 6. (2009 辽宁卷文)已知集合 M=﹛x|-3<x ? 5﹜,N=﹛x|x<-5 或 x>5﹜,则 M ? N=(A ) (A) ﹛x|x<-5 或 x>-3﹜ (C) ﹛x|-3<x<5﹜ (B) ﹛x|-5<x<5﹜ (D) ﹛x|x<-3 或 x>5﹜

【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】A 二、填空题 1、 (2009 年上海卷理)已知集合 A ? ?x | x ? 1 ? , B ? ?x | x ? a? ,且 A ? B ? R , 则实数 a 的取值范围是_____ . 【答案】a≤1 【解析】 因为 A∪B=R, 画数轴可知,实数 a 必须在点 1 上或在 1 的左边, 所以 a≤1。 2.(已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B, 则实数 a 的取值范围 是 .

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3. ( 2009

天 津 卷 文 ) 设 全 集 U ? A ? B ? x ? N | lg x ? 1
*

?

?

, 若

A ? CU B ? ?m | m ? 2n ? 1, n ? 0,1,2,3,4?,则集合 B=__________.
【答案】{2,4,6,8} 【解析】 U ? A ? B ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A ? CU B ? {1,3,5,7,9} B ? {2,4,6,8} 【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。

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