100测评网高一数学复习第六节函数与方程及最值问题


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第六节
【热点聚焦】

函数与方程及最值问题

三.二分法及步骤 对于在区间 [a ,b] 上连续不断,且满足 f ( a ) ·f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函 数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如下: 1.确定区间 [a , b] ,验证 f ( a ) ·f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; 2.求区间 (a , b) 的中点 x1 ;
1 若 f ( x ) = 0 ,则 x 就是函数的零点; 3.计算 f ( x1 ) :○ 1 1 2 若 f (a) · ○ ; f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) 3 若 f (x ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ○ ; 1

函数与方程及最值问题一直是高考的重点内容,在历届的高考试题中均占有一定的比重。 特别是函数与方程思想,更是思考问题与解决问题常用的方法,应重点掌握。

【基础知识】
一.函数最大(小)值定义 1.最大值: 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈ I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈ I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) . 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈ 注意:○ I,使得 f(x0) = M; 2 函数最大 ○ (小) 应该是所有函数值中最大 (小) 的, 即对于任意的 x∈ I, 都有 f(x)≤M (f(x)≥M) . 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b). 二.函数与方程 函 数 零 点 的概 念 :对 于函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 成 立 的实 数 x 叫 做 函 数

4.判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4. 四.函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数;从“形”的角度看:即是函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点 的横坐标;若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点;若函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点.
函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图 象与 x 轴交点的横坐标.即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.
1 (代数法)求方程 f ( x ) ? 0 的实数根; 函数零点的求法:求函数 y ? f ( x) 的零点:○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x ) 的图象联系起来,并利用 ○

f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点.
用二分法求函数的变号零点: 二分法的条件 f ( a ) ·f (b) ? 0 表明用二分法求函数的近似零点都是 指变号零点.

【课前训练】
1. (2003 北京春)函数 f(x)=

1 的最大值是( 1 ? x(1 ? x)



函数的性质找出零点.

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A.

4 5

B.

5 4

C.

3 4

D.

4 3


2.函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大

a ,则 a 的值为( 2

【评述】 :函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题,如果平时注意知识的积累,对解此题 会有较大帮助.因为 x∈R,f(0)=|a|+1≠0,由此排除 f(x)是奇函数的可能性.运用偶函数的定 义分析可知,当 a=0 时,f(x)是偶函数,第 2 题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想. 【例 2】 (2000 春季北京、安徽文)已知二次函数 f(x)=(lga)x2+2x+4lga 的最大值为 3,求 a 的值.

A.

1 2

B.

3 2

C.

1 3 或 2 2

D.2 或

2 3

3. (2005 年福建卷) f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x) =0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( A.5 B.4 ) C.3

D.2

4.设函数 f ?x ? 在区间[ a , b ]上连续,若满足______________,若方程 f ?x ? ? 0 在区间[ a , b ]上 一定有实根。 5. (1999 全国)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是_____.

【试题精析】
【例 1】 (2002 全国)设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小值. 【评述】本小题主要考查二次函数最大值和最小值的概念以及对于配方法、对数方程、二次方程 的解法的运用能力. 【例 3】一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数 据如下: 房价(元) 160 140 120 100 欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 住房率(%) 55 65 75 85

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【例 4】 (2005 年上海卷)对定义域分别是 Df、Dg 的函数 y=f(x) 、y=g(x), f(x)· g(x) 当 x∈ D f 且 x∈ Dg 规定: 函数 h(x)= f(x) 当 x∈ Df 且 x ? Dg g(x) 当 x ? Df 且 x∈ Dg (1) 若函数 f(x)=-2x+3,x≥1; g(x)=x-2,x∈ R,写出函数 h(x)的解析式; (2) 求问题(1)中函数 h(x)的最大值; (3) 若 g(x)=f(x+α), 其中 α 是常数,且 α∈ [0,π],请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x),及一个 α 的值,使得 h(x)=cos2x,并予以证明.

【例 6】某电器公司生产 A 种瑾的家庭电器。1996 年平均每台电脑生产成本为 5000 元,并以纯 利润 20%标定出厂价。1997 年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产 成本逐年降低。2000 年平均每台 A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是 1996 年出厂价的 80%,但 却实现了纯利润 50%的高效率。求 (1)2000 年每台电脑的生产成本; (2)以 1996 年的生产成本为基数,用二分法求 1996 年~2000 年生产成本平均每年降低的百分 数(精确到 0.01) 。

【例 5】 ( 2005 年 广 东 卷 ) 设 函 数 f ( x ) 在 (??, ??) 上 满 足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,

f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 .
(Ⅰ )试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ )试求方程 f ( x ) =0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.

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6.用二分法求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点 x0 ? 2.5 ,那么下一个
3

【点评】这是一个降低成本提高效率的问题。注意:这里 “以纯利润 20%标定出厂价”指成本的 20% 。 成 本 + 利 润 = 出 厂 价 ; 利 润 = 成 本 ×利 润 率 。 在 第 ( 2 ) 问 中 所 要 解 的 方 程

有根区间是______________。

5000 (1 ? x) 4 ? 3200 (0 ? x ? 1) 要求用二分法来解,主要目的地是熟悉二分法的解题步骤,虽然
比较繁杂,但是能让学生体会到“逐步逼近”的数学思想。

?2 x ? 3, x ? 0 ? 7. (1998 上海)函数 y= ? x ? 3,0? x ? 1 的最大值是 ?? x ? 5, x ? 1 ?
8.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为 .

.

【针对训练】
1.求方程 f ?x ? ? 0 在[0,1]内的近似根,用二分法计算到 x10 ? 0.445达到精度要求。那么所取 误差限 ξ 是( A.0.05 ) B.0.005 C.0.005 D.0.00005 )

2.若函数 f ?x ? 唯一的零点在区间(1,3) 、 (1,4) 、 (1,5)内,那么下列命题中错误的是( A.函数 f ?x ? 在(1,2)或 ?2,3? 内有零点 C.函数 f ?x ? 在(2,5)内有零点 B.函数 f ?x ? 在(3,5)内无零点 D.函数 f ?x ? 在(2,4)内不一定有零点.

9. (2007 年山东日照试题)A、B 两城相距 100km,在两地之间距 A 城 xkm 处 D 地建一核电站 给 A、B 两城供电,为保证城市安全.核电站距市距离不得少于 10km.已知供电费用与供电距离的 平方和供电量之积成正比,比例系数 ? ? 0.25 .若 A 城供电量为 20 亿度/月,B 城为 10 亿度/月. (Ⅰ)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (Ⅱ)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小.

3.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16) 、 (0,8) 、 (0,4) 、 (0,2)内,那么下列命 题中正确的是 (A)函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 (B)函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 (C)函数 f(x)在区间[2,16 ) 内无零点 (D)函数 f(x)在区间(1,16)内无零点 ) 10.我国从 1998 年到 2002 年,每年的国内生产总值如下表: 年份 生产总值(亿元) 1998 78345 1999 82067 2000 89442 2001 95933 2002 102398

4.下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(

5. (2006 年湖北卷)关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:
2 2

?

?

(Ⅰ)根据已知数据,估计我国 2003 年的国内生产总值; (Ⅱ) 据资料可知我国 2003 年的国内生产总值为 116694 亿元, 你的预测是否准确, 若误差较大, 能修正你所构造的模型吗?

2

① 存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ② 存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是 (B) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a) ,f(-a)≠-f(a). 此时函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数 (2)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2-x+a+1=(x-

1 2 3 ) + a+ . 2 4

若 a≤ 第六节参考答案 【课前训练】

1 ,则函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而,函数 f(x)在(-∞,a]上的最小 2 1 1 3 1 ,则函数 f(x)在(-∞,a ] 上的最小值为 f( )= +a,且 f( )≤f(a). 2 2 4 2
1 2 3 ) -a+ . 2 4

值为 f(a)=a2+1. 若 a>

1 1.答案:D 解析:首先讨论分母 1-x(1-x)的取值范围:1-x(1-x)=x2-x+1=(x- ) 2
2

+

4 4 3 3 1 ≥ .因此,有 0< ≤ .所以,f(x)的最大值为 . 4 4 3 1 ? x(1 ? x) 3

②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=(x+

评述:该题侧重考查考生“化生为熟”的识别能力及对代数式的转化能力。 2..答案:C 解析:因指数函数 y=ax 为单调函数,所以有|a2-a|= 4.答案: f ?a ? f ?b? ? 0 解析一:由 ab=a+b+3≥2 ,整理得 ab +3(等号成立条件为 a=b)

若 a≤-

3 a 1 ,解得 a= 或 a= . 2 2 2

1 1 3 1 ,则函数 f(x)在[a,+∞ ) 上的最小值为 f(- )= -a,且 f(- )≤f(a). 2 2 4 2 1 ,则函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而,函数 f(x)在[a,+∞)上的最小 2 1 3 1 1 时,函数 f(x)的最小值是 -a.当- <a≤ 时,函数 f(x)的最小值是 2 4 2 2

若 a>-

3.答案:B 5.答案: [9,+∞ ) ab-2

值为 f(a)=a2+1. 综上,当 a≤-

( ab -3) ( ab +1)≥0,∴ ab ≥3,∴ab≥9. ab -3≥0,

解析二:由 ab=a+b+3,可得:b=

a?3 (a>0,b>0) , a ?1

a2+1.当 a>

1 3 时,函数 f(x)的最小值是 a+ . 2 4

∴a>1,又 ab=a·

a ?1? 4 a?3 a?3 a?3 =[ (a-1)+1] =(a+3)+ =a-1+4+ a ?1 a ?1 a ?1 a ?1

【例 2】解:原函数式可化成 f(x)= lg a( x ?

1 2 1 ) ? ? 4 lg a .由已知,f(x)有最大 lg a lg a

=(a-1)+

4 4 4 +5≥2 (a ? 1) +5=9.等号成立条件为 a-1= ,即 a=3. a ?1 a ?1 a ?1

值 3,所以 lga<0,并且 ?

1 +4lga=3,整理得 4(lga)2-3lga-1=0,解得 lga=1,lga lg a

【试题精析】 【例 1】 (解: (1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x) ,此时 f(x)为偶函数.

=?

1 4 ? 1 1 1000 .∵lga<0,故取 lga= ? .∴a=10 4 ? . 4 4 10

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【例 3】解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之间,房价与住 房率之间存在线性关系.设 y 为旅馆一天的客房总收入, x 为与房价 160 相比降低的房价,因此 (II) 又 f (3) ? f (0) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 y ? f ( x) 在[0,2005]上有 402 个解, 在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y ? f ( x) 在[-2005,2005]上有 802 个解. 【例 6】解: (1)设 2000 年每台电脑的成本为 p 元,根据题意,得 。 p(1 ? 50%) ? 5000? (1 ? 20%) ? 80% ,解得 p =3200(元) ( 2 ) 设 1996 年 ~ 2000 年 间 每 年 平 均 生 产 成 本 降 低 的 百 分 率 为 x , 根 据 题 意 , 得

x x ?10)% ,于是得 y =150· (55 ? ?10)% . 当房价为 (160 ? x) 元时,住房率为 (55 ? (160 ? x) · 20 20 x ?10)% ≤1, 由于 (55 ? 可知 0≤ x ≤90. 因此问题转化为: 当 0≤ x ≤90 时, 求 y 的最大值的问题. 将 20 y 的两边同除以一个常数 0.75,得 y 1=- x 2+50 x +17600. 由于二次函数 y 1 在 x =25 时取得最大值,可知 y 也在 x =25 时取得最大值,此时房价定位应是
160-25=135(元) ,相应的住房率为 67.5%,最大住房总收入为 13668.75(元) . 所以该客房定价应为 135 元. (当然为了便于管理,定价 140 元也是比较合理的)

(?2 x ? 3)( x ? 2) x ? [1, ??) 【例 4】解:(1) h( x ) ? ? ? x ? (??,1) ?x ? 2
(2) 当 x≥1 时, h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x2+7x-6=-2(x- 当 x<1 时, h(x)<-1,∴ 当 x= (3)令 f(x)=sinx+cosx,α=

5000 (1 ? x) 4 ? 3200 (0 ? x ? 1) 。
令 f ?x? ? 5000 (1 ? x) 4 ? 3200,作出 x 、 f ?x ? 的对应值表,如下表:

7 2 1 1 ) + ,∴ h(x)≤ ; 4 8 8

x
f ?x ?

0 1800

0.15 -590

0.3 -2000

0.45 -2742

0.6 -3072

0.75 -3180

0.9 -3200

1.05 -3200

? ? ? ,则 g(x)=f(x+α)= sin(x+ )+cos(x+ )=cosx-sinx, 2 2 2
g(x)=f(x+α)= 1+ 2 sin(x+π)=1- 2 sinx,

7 1 时, h(x)取得最大值是 4 8

观察上表,可知 f ?0? ? f ?0.15? ? 0 ,说明此函数在区间(0,0.15)内有零点 x0 。 取 区 间 ( 0 , 0.15 ) 的 中 点 x1 ? 0.075 , 用 计 算 器 可 算 得 f ?0.075? ? 460 。 因 为

于是 h(x)= f(x)·f(x+α)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x. 〖另解〗令 f(x)=1+ 2 sinx, α=π,

f ?0.075? ? f ?0.15? ? 0 ,所以 x0 ? (0.075,0.15) 。

于是 h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+ 2 sinx)( 1- 2 sinx)=cos2x. 【例 5】解:由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 y ? f ( x) 的对称轴为 x ? 2和x ? 7 , 从而知函数 y ? f ( x) 不是奇函数,
f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) 由? ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? ? ?98 。 因 为 再 取 ( 0.075 , 0.15 ) 的 中 点 x2 ? 0.1125 , 用 计 算 器 可 算 得 f ?0.1125 ? ? f ?0.1 1 2 ?5? 0 , 所 以 x0 ? (0.075,0.1 1 2)5。 同 理 可 得 x0 ? (0.0 0 9 3 ,7 f ?0.0 7 5 0. 5 1 1 2)5,
,0.1078125 )。 ,0.1078125 ) , x0 ? (0.10546875 x0 ? (0.103125 ,0.1125 ) , x0 ? (0.103125
由于|0.1078125-0.10546875|=0.00234375<0.01,此时区间(0.10546875,0.1078125)的两个 端点精确到 0.01 的近似值都是 0.11,所以原方程精确到 0.01 的近似解为 0.11。 答: (1)2000 年每台电脑的生产成本为 3200 元; (2)1996 年~2000 年生产成本平均每年降低的百分数为 11%。 【针对训练】 1.答案:C 2.答案:C 3.答案:C 4.答案:B

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f ( x) 的周期为 T ? 10
又 f (3) ? f (0) ? 0, 而f (7) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 是非奇非偶函数;

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) (II)由 ? ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10) f ( 7 ? x ) ? f ( 7 ? x ) f ( x ) ? f ( 14 ? x ) ? ?

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5.解选 B。本题考查换元法及方程根的讨论,要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力;
2 2 2 据题意可令 x ? 1 ? t (t ? 0) ① ,则方程化为 t ? t ? k ? 0 ② ,作出函数 y ? x ? 1 的图象,结合

将 x=6 代入 y=6197.2x+71045 中得 2003 年的国内生产总值为 108228.2 亿元. (2)二次函数型:

函数的图象可知: (1)当 t=0 或 t>1 时方程① 有 2 个不等的根; (2)当 0<t<1 时方程① 有 4 个根; (3)当 t=1 时,方程① 有 3 个根。 故当 t=0 时,代入方程② ,解得 k=0 此时方程② 有两个不等根 t=0 或 t=1,故此时原方程有 5 个根;

1 此时方程② 有两根且均小于 1 大于 0,故相应的满足方 4 1 1 2 程 x ? 1 ? t 的解有 8 个,即原方程的解有 8 个;当 k ? 时,方程② 有两个相等正根 t= ,相 4 2
当方程② 有两个不等正根时,即 0 ? k ? 应的原方程的解有 4 个;故选 B。 6.答案:由计算器可算得 f ?2? ? ?1 , f ?3? ? 16 , f ?2.5? ? 5.625, f ?2? ? f ?2.5? ? 0 ,所以 下一个有根区间是[2,2.5] 7.答案:4 解析:当 x≤0 时,y 的最大值为 3;当 0<x≤1 时,y 的最大值为 4;当 x>1 时, y 的最大值不存在,但此时 y<4.故 y 的最大值是 4. 8.答案:2 个 9.解: (Ⅰ)y=5x2+

120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 0 2 4 6

二次函数型:

y = 328.71x + 4224.9x + 73346 R2 = 0.9954

2

将 x=6 代入 y=328.71x2+4224.9x+73346 中得 2003 年的国内生产总值为 110529 亿元. (3)四次函数型:
120000 100000 80000 60000

四次函数型:

5 (100—x)2(10≤x≤90) ; 2

15 2 15 5 (Ⅱ)由 y=5x2+ (100—x)2= x -500x+25000= 2 2 2

50000 ? 100 ? ?x? ? + 3 . 3 ? ?

2

40000 20000 0 0 2 4 6

100 则当 x= 米时,y 最小. 3 100 故当核电站建在距 A 城 米时,才能使供电费用最小. 3
10.解: (Ⅰ) 本小题只要能建立一个正确的数学模型即可给分 (例如根据两点得出直线方程等) . 下面利用 excel 给出几个模型,供参考: (1)直线型:

y = 224.79x 4 3004.1x 3 + 14231x 2 21315x + 88208 R2 = 1

将 x=6 代入 y=224.79x4-3004.1x3+14231x2-21315x+88208 中得 2003 年的国内生产总值为 115076.2 亿元. (4)指数函数型:
120000 100000

指数函数型:

120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 0 2 4 6

80000

直线型:
y = 6197.2x + 71045 R2 = 0.9915

60000 40000 20000 0 0 2 4 6

y = 72492e 0.0692x R 2 = 0.9939

将 x=6 代入 y=72492e0.0692x 中得 2003 年的国内生产总值为 109797 亿元.

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(5)幂函数型:

120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 0 2 4 6

幂函数型:
y = 76113x0.1658 R2 = 0.9226

将 x=6 代入 y=76113x0.1658 中得 2003 年的国内生产总值为 102441.6 亿元. (Ⅱ)从以上的 5 个模型可以看成,四次函数型最接近 2003 年的实际国内生产总值,其实从其 R2 值也可以看成,因为四次函数型中 R2=1. 根据自己所建模型予以调整. =========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版, 外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小 五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在线学 习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育, 中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育, 初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线 辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题, 专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料, 中考学 习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中 试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


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