最新人教A版必修5高中数学 2.3 等差数列的前n项和(2)导学案(精品)


高中数学 2.3 等差数列的前 n 项和( 2)导学案 新人教 A 版必修 5 教学目标 1. 了解等差数列的一些性质 ,并会用它们解决一些相关问题; 2. 会利用等差数列通项公式 与前 n 项和的公式研究 S n 的最大(小)值 . 教学过程 复习导入 1. 等差数列的前 n 项和公式 1 : Sn ? n(a1 ? a n ) 2 公式 2 : S n ? na1 ? n(n ? 1)d 2 练习 1 、等差数列 { a n } 中, a 4 =- 15 , 公差 d = 3 ,求 S 5 . 2 、等差数列 { a n } 中,已知 a3 ? 1 , a5 ? 11 ,求 和 S8 . 二、新课导学 例 1 已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? 果是,它的首项与公差分别是什么? 1 n ,求这个数列的通项公式 . 这个数列是等差数列吗?如 2 1 问题:如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn? r ,其中 p 、 q 、 r 为常数,且 p ? 0 ,那么这 个数列一定 是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多 少? ? S1 ? a1 ? p ? q ? r , 当n ? 1 时 an ? ? ? S n ? S n ?1 ? 2 pn ? ( p ? q ), 当n ? 2 时 结论:通项公式是 1 2 变 式:已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ? 3 ,求这个数列的通项 公式 . 4 3 探究:对等差数列的前 n 项和公式 2 : S n ? na1 ? n(n ? 1)d 2 可化成式子: Sn ? d 2 d n ? (a 1 ? ) n 2 2 ,当 d ≠ 0 ,是一个 常数项为零的二次式,那么它有何作用呢? 2 4 例 2 已知等差数列 5, 4 , 3 ,....的前 n 项和为 S n ,求使得 S n 最大的序号 n 的值 . 7 7 2 变式:等差数列 { a n } 中, a 4 =- 15 , 公差 d = 3 , 求数列 { a n } 的前 n 项和 S n 的最小值 . 小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法 . ( 1 )利用 a n : 当 a n >0 , d <0 ,前 n 项和有最大值,可由 a n ≥ 0 ,且 an ?1 ≤ 0 ,求得 n 的 值;当 a n <0 , d >0 ,前 n 项和有最小值,可由 a n ≤ 0 ,且 an ?1 ≥ 0 ,求得 n 的值 王新敞 奎屯 新疆 3 ( 2 )利用 S n :由 Sn ? d 2 d n ? (a1 ? )n ,利用 二次函数配方法求得最大(小)值时 n 的值 . 2 2 练 1. 已知 Sn ? 3n2 ? 2n ,求数列的通项 a n . 练 2. 在等差数列 { a n } 中 , a1 =25 , s17 = s9 ,求 Sn 的最大值 . ※ 知识拓展 等差数列奇数项与偶数项的性质如下: 1 °若项数为偶数 2 n ,则 S偶-S奇=nd ; S奇 a = n (n ? 2) ; S偶 an ?1 2 °若项数为奇数 2 n + 1 ,则 4 S奇-S偶=an ?1 ; S偶 ? nan?1 ; S奇=(n ? 1)an?1 ; S偶 = n . S奇 n ? 1 课后作业: 1. 下列数列是等差数列的是( A. an ? n2 C. Sn ? 2n2 ?

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