河北省“五个一联盟”2016届高三上学期教学质量监测数学(文)试题


河北省“五个一名校联盟”2016 届高三教学质量监测 数学试卷(文科)
满分:150 分 测试时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上.
2 1.若集合 A ? {x || x |? 1, x ? R} , B ? { y | y ? x , x ? R} ,则 A ? B ?

( D. ?

)

A. {x | ?1 ? x ? 1} 2.在复平面内与复数 z ? ( )

B. {x | x ? 0}

C.

?x | 0 ? x ? 1?

2i 所对应的点关于实轴对称的点为 A ,则 A 对应的复数为 1? i

A. 1 ? i

B. 1 ? i

C. ?1 ? i

D. ?1 ? i ( )

3.设 x ? R ,则“ 1 ? x ? 2 ”是“ x ? 2 ? 1 ”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线经过点 (3, ?4) ,则此双曲线的离心率为 ( a2 b2
B.

)

A.

7 3

5 4

C.

4 3

D.

5 3

?x ? 0 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值( ) ?x ? y ?
A.1 B.3 C.4 D.8 )

6.如右图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( A. 1 6 25 B. 24 3 C. 4 11 D. 12

7.若直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0 与 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 平行,则 l1 与 l2 间的距离为(

)

A. 2

B.

8 2 3

C. 3

D.

8 3 3
( )

8.在面积为 S 的 ?ABC 内部任取一点 P ,则 ?PBC 面积大于 A.

1 4

B.

3 4
2

C.

4 9

S 的概率为 4 9 D. 16

9.若对任意正实数 x ,不等式

1 a ? 恒成立,则实数 a 的最小值为 x ?1 x
C.

(

)

A. 1

B.

2

1 2

D.

2 2
)

10.已知数列 {an } 满 A. e 26

ln an 3n ? 2 ln a1 ln a2 ln a3 . . . ??? . ? (n ? N * ) ,则 a10 ? ( 2 5 8 3n ? 1 2
C. e32 D. e35

B. e 29

11.某四面体的三视图如图,则该四面体四个面中最大的面积是( )

A. 2

B. 2 2

C. 3

D. 2 3

12.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax, g ( x) ? b ? a ln( x ?1), 存在实数

a(a ? 1), 使 y ? f ( x) 的图像与 y ? g ( x) 的图像无公共点,则实数 b
的取值范围为( A. ? ??,0? )

B. ? ??,

? ?

3 ? ? ln 2 ? 4 ?

C. ? ? ln 2, ?? ? D. ?1 , ? ln 2 ? 4 4

?3 ?

? ?

? 3 ?

? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题卡上.
13.某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从该 年级学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为_________.

14.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? a7 ? 6 ,则 3a4 ? a6 ? ______.

15.已知球 O 的表面积为 25? ,长方体的八个顶点都在球 O 的球面上,则这个长方体的表 面积的最大值等于 ______. 16.给定方程: ( ) ? sin x ? 1 ? 0, 下列命题中:①该方程没有小于 0 的实数解;
x

②该方程有无数个实数解; ③该方程在 ? ??, 0 ? 内有且只有一个实数根; ④若 x0 是方程的 实数根,则 x0 ? ?1. 正确命题的序号是 _______. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos(2 x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (2)设 ?ABC 的三内角分别是 A, B, C ,若 f ( ) ? ?

1 2

2? ) ? 3 sin 2 x. 3

C 2

1 ,且 AC ? 1, BC ? 3 ,求 sin A 的值. 2

18.(本小题满分 12 分)某校高三学生体检后,为了解高三学生的视力情况,该校从高三六 个班的 300 名学生中以班为单位(每班学生 50 人) ,每班按随机抽样抽取了 8 名学生的视 力数据.其中高三(1)班抽取的 8 名学生的视力数据与人数见下表: 视力 数据 人数 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 2 4.5 4.6 2 4.7 4.8 2 4.9 1 5.0 5.1 1 5.2 5.3

(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值; (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中 任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对 值不小于 0.2 的概率. 19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为 直角梯形,AD / / BC, ?ADC ? 90 ,平面 PAD ? 底面 ABCD ,
?

Q 为 AD 的中点, PA ? PD ? 2, BC ?
M 是棱 PC 的中点.
(1)求证: PA / / 平面 MQB ; (2)求三棱锥 P ? DQM 的体积.

1 AD ? 1, CD ? 3, 2

20. (本小题满分 12 分)定圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16, 动圆 N 过点 F ( 3, 0) 且与圆 M 相 切,记圆心 N 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)设点 A, B, C 在 E 上运动, A 与 B 关于原点对称,且 AC ? BC ,当 ?ABC 的面积最 小时,求直线 AB 的方程. 21.(本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? ln x, g( x) ? x 2 ? x ? m, (1)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值; (2)若 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? ( x ? 2)e x 在 x ? (0,3) 恒成立,求实数 m 的取值范围. 请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答,多答,则按所做的第一题计分,作答时 请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心, DA 为半径的圆弧与以 BC 为 直径的半圆 O 交于点 C , F ,连接 CF 并延长交 AB 于点 E . (1)求证: E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线 C 参 在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点 O 为极点,
数方程为 ?

? ? ? x ? 3 cos ? ( ? 为参数),直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 2 . 4 ? ? y ? sin ?

(1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离,并求出这个点的坐标. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? a (a ? R). (1) 当 a ? 4 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集;(2)若 f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值 范围.

河北省“五个一名校联盟”2016 届高三教学质量监测 文科数学(答案)
一、选择题:CBADB DBDCC DB 二、填空题: 13.25 14. 12 15. 50 16.②③④ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.

17.解: (1) ? f ( x) ? 2 cos(2 x ?

2? ) ? 3 sin 2 x ? ? cos 2 x, 3

? 函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ? ,函数 f ( x) 的最大值为 1. .........5 分
(2)? f ( x) ? ? cos 2 x, ? f (

1 C 1 ) ? ? cos C ? ? , 可得 cos C ? , .........7 分 2 2 2

? C ? (0, ? ),?sin C ?

3 ,由余弦定理可得: 2
10 分 1 ? 7, ? AB ? 7. 2

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 ? AC ? BC ? cos C ? 9 ? 1 ? 2 ? 1? 3 ?
3 2 ? 3 21 . 14 7

? 由正弦定理可得: sin A ?

BC ? sin C ? AB

3?

.........12 分

18.解: (1)高三(1)班学生视力的平均值为

4.4 ? 2 ? 4.6 ? 2 ? 4.8 ? 2 ? 4.9 ? 5.1 ? 4.7 , 8

故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为 4.7. .........6 分 (2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,所有的取法共有 15 种,而 满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的取法有: (4.3,4.5) 、 (4.3,4.6) 、 (4.3,4.7) 、 (4.3,4.8) 、 (4.4,4.6) 、 (4.4,4.7) 、 (4.4,4.8) 、 (4.5,4.7) 、 (4.5,4.8) , (4.6,4.8) ,共有 10 个,故抽取的两个班学生 视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的概率为

10 2 ? . 12 分 15 3

19.证明: (1)连接 AC ,交 BQ 于 N ,连接 MN ,? BC / / AD 且 BC ?

1 AD , 2

即 BC / / AQ ,BC ? AQ ∴四边形 BCQA 为平行四边形, 且 N 为 AC 中点, 又因为点 M 是棱 PC 的中点,∴ MN / / PA ,则 PA / / 平面 MQB . ....6 分 (2) VP? DQM ? VM ? PDQ ,证明出 CD ⊥平面 PAD , 所以 M 到平面 PAD 的距离为 所以 VP ? DQM ? VM ? PDQ

1 CD . .......9 分 2 1 1 1 1 1 1 ? S?PDQ ? CD ? ? ? QD?PQ? CD ? . ......12 分 3 2 3 2 2 4

20.解:(1)? F ( 3,0) 在圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 内,? 圆 N 内切于圆 M .

? NM ? NF ? 4 ? FM ,? 点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 2a ? 4, c ? 3,?b ? 1
x2 ? y 2 ? 1. 4

? 轨迹 E 的方程为

.........4 分

(2)①当 AB 为长轴(或短轴)时,此时 S ?ABC ?

1 ? OC ? AB ? 2 . 2

...5 分

②当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 方程为 y ? kx ,

? x2 2 4 4k 2 4(1 ? k 2 ) 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 , y ? , ? OA ? x ? y ? . 联立方程 ? 4 得 xA ? A A A 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? y ? kx ?
4(1 ? k 2 ) 1 2 . 将上式中的 k 替换为 ? ,得 OC ? k2 ? 4 k

S?ABC ? 2S?AOC ? OA ?OC ?

4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) ? ? .9 分 1 ? 4k 2 k2 ? 4 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

? (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4) ?

(1 ? 4k 2 ) ? (k 2 ? 4) 5(1 ? k 2 ) 8 ? , S?ABC ? , 2 2 5

2 2 当且仅当 1 ? 4k ? k ? 4 ,即 k ? ?1 时等号成立,此时 ?ABC 面积最小值是

8 . 5
12 分

8 8 ? 2 ? , ? ?ABC 面积最小值是 ,此时直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ?x. 5 5
21.解:(I) F ( x) ? ln x ? x ? x ? m ,定义域 (0, ??), F ?( x) ? ?
2

(2 x ? 1)( x ? 1) , x

由 F ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,

由 F ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,? F ( x) 在 (0,1) 递增,在 (1, ??) 递 .........4 分

减,? F ( x)极大 ? F (1) ? m, 没有极小值. (II) 由 f( x) ? g( x) x ?

x 2 x 在 x ? (0,3) 恒成立, 整理得 m ? ( x ? 2)e ? ln x ? x ? ( x ? 2 )e x 在 (0,3) 恒成立,设 h( x) ? ( x ? 2)e ? ln x ? x ,

则 h?( x) ? ( x ?1)(e x ? ) ,

1 x

............6 分

x ? 1 时, x ? 1 ? 0 ,且 e x ? e,

1 1 ? 1, ? e x ? ? 0, ? h?( x) ? 0 , x x

.........7 分

1 1 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 ,设 u ( x) ? e x ? , u?( x) ? e x ? 2 ? 0, x x 1 1 ? u ( x) 在 (0,1) 递增,又 u ( ) ? e ? 2 ? 0, u (1) ? e ? 1 ? 0, ??x0 ? ( ,1) 使得 2 2 u ( x0 ) ? 0. ? x ? (0, x0 ) 时, u ( x) ? 0 , x ? ( x0 ,1) 时, u ( x) ? 0 ,

? x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0 , x ? ( x0 ,1) 时, h?( x) ? 0 .
? 函数 h( x) 在 (0, x0 ) 递增, ( x0 ,1) 递减, (1,3) 递增,
又 h( x0 ) ? ( x0 ? 2)e 0 ? ln x0 ? x0 ? ( x0 ? 2)?
x

.............9 分

1 ? 2 x0 , x0

? x0 ? (0,1), ??

2 2 ? ?2, ? h( x0 ) ? 1 ? ? 2 x0 ? ?1 ? 2 x0 ? ?1, x0 x0
..............11 分 ............12 分

h(3) ? e3 ? ln 3 ? 3 ? 0 ,? x ? (0,3) 时, h( x) ? h(3) ,
3 ? m ? h(3) ,即 m 的取值范围是 ? ?e ? ln 3 ? 3, ? ? ? .

22.解:(1) 由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,?EA 为圆 D 的切线, 依据切割线定理,得 EA2 ? EF ? EC,

????????????2分

另外圆 O 以 BC 为直径,? EB 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EB2 ? EF ?EC,

????????????4分

故 AE=EB,故 E 是 AB 中点 ..........5 分 (2)∵∠BEF=∠CEB,∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC,得

BF CB , ? BE CE

∵ABCD 是边长为 a 的正方形,所以 BF ?

5 a. 5

.........10 分

23. 解 : ( 1 ) 曲 线 C 的 方 程 为

x2 ? y 2 ? 1, 直 线 l 的 方 程 为 x ? y ? 4 ? 0 . 5 分 3

( 2) 在 C : ?

? ? ? x ? 3 cos 上 任 取 一 点 ( 3 cos ? , si ?n ), y ? s i n ? ? ?

则点 P 到直线 l 的距离为 d ?

? 3 cos ? ? s i? n ? 4 2sin(? ? 3 ) ? 4 ? 3 2, = 2 2

∴ 当 s i n( ??

?

3 1 )? ? 时 1 , dm a x ? 3 2 , 此 时 这 个 点 的 坐 标 为 (? , ? ). 10 分 2 2 3
?x ? 1 ??2 x ? 5 ? 5
或?

24.解:(Ⅰ) x ? 1 ? x ? 4 ? 5 等价于 ?

?1 ? x ? 4 ?3 ? 5

或?

?x ? 4 , ?2 x ? 5 ? 5
5分

解得: x ? 0 或 x ? 5 .故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 5} . (Ⅱ)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 , 所以 f ( x)min ? a ? 1 ,由题意得: a ? 1 ? 4 , 解得 a ? ?3 或 a ? 5 . (2)

10 分


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