3.4基本不等式第二课时最后更新


§3.4基本不等式:
第二课时

a?b ab ? 2

复习

1.重要不 如果a,b∈R, 那么a2+b2≥2ab 等式: (当且仅当a=b 时取“=”)
2.基本不 等式:

如果a,

b∈R+,那么

(当且仅当a=b 时,式中等号成立)

a?b ? ab 2

利用基本不等式求最值
练习1:设a>0,b>0,给出下列不等式 1 1 1 (1) a ? ? 2 (2)( a ? )( b ? ) ? 4 a b a1 1 1 2

(3)( a ? b)( ? ) ? 4 a b
其中恒成立的

( 4) a ? 1 ?

a ?1
2

?2

(1)(2)(3)



结论:两项皆为正数,乘积为定值,则和有最小值 注意:等号成立时的条件

探究:下面几道题的解答可能有错,如果 错了,那么错在哪里?:
1 ( 1)已知 x < 0, 求 x ? x 的最值; 1 1 解 : x ? x ? 2 x× x = 2, \ 原式有最小值 2. 不满足“一正”

?

1 2 (2)已知x ? , 求x ? 1的最小值; 2 2 2 解 : x ? 1 ? 2 x ? 1 = 2 x,
当且仅当x =1,即x = 1时, 等号成立.
2

\ x ? 1有最小值为2x = 2.
2

不满足“二定”

?

4 (3)已知x ? 3, 求x ? 的最小值. x 4 4 解 : x ? ? 2 x ? = 4,\ 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x = , 即x = 2时, 等号成立. x

?

不满足“三相等”

题型二——求最值问题

1 引例:已知x>1,求 x ? 的最小值; x ?1
(1) ? x > 1\ x ? 1 > 0 思考:取到最值时x的值呢? 解析: 1 1 x? = ( x ? 1) ? ?1 (1)x=2 x ?1 x ?1
     ? 2 ( x ? 1) ?

1.凑项 :使积成为定值

1 ?1 = 3 x ?1

题型二——求最值问题

1 变式1:已知x>-2,求 x ? 的最小值; x?2

0

5 1 变式2: 已知x < , 求函数y = 4 x ? 2 ? 的最大值 4 4x ? 5

题型二——求最值问题 引例:已知0<x<1,求x(1-x)的最大值.

? 0 < x < 1 \1 ? x > 0 解析: ( x ? 1 ? x) 2 1 x(1 ? x) ? = 4 4 思考:取到最值时x的值呢? (2)x=1/2

2.凑系数:使和成为定值

练习. 若 0<x< 1 2 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
分析: 2 x+(1-2x) 不是 =1为 常数. 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ?2x?(1-2x) 1 2x+(1-2x) ]2 1 ≤ ?[ = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 1. ∴当 x = 1 时 , 函数 y = x (1 2 x ) 的最大值是 8 4

配凑系数

例1:(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 A D 短的篱笆是多少? 解:如图设BC=x ,CD=y , 若x、y皆为正数, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.
y
B

x

C

x ?则当 y xy的值是常数P时, \ x ? y≥2 100 = 20, ? ≥ xy 2当且仅当x=y时, \ 2( x ? y)≥40 x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y 时,等号成立 此时x=y=10.
x ?? yxy ≥2 xy = 2 P? x = 10 10m时,所用的篱笆 因此,这个矩形的长、宽都为 = 100 解? ,可得 ? 最短,最短的篱笆是 40m. ? x= y ? y = 10

例1:(2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面 积最大,最大面积是多少? A D 解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则 2( xx +、 y)= 36 , x + y =18 若 y皆为正数,
B

y

x

C

则当x+y的值是常数 矩形菜园的面积为 xy m2S时, 当且仅当 =y时, x ? y x18 ? xy ≤ = =1 9 2 得 xy ≤ 81 2 2 S ; xy有最大值 _______ 4 当且仅当x=y时,等号成立 即x=y=9 x? y S 1 2 因此,这个矩形的长、宽都为 xy ≤ = ? xy≤ 9m S 时, 4 2 2 2 菜园面积最大,最大面积是 81m

小结:
在利用基本不等式求最值时要注意三点:
一是各项为正; 二是寻求定值, (1)求和式最小值时应使积为定值, (2)求积式最大值时应使和为定值 (恰当变形,合理发现拆分项或配凑因式、 “1”的代换是常用的解题技巧); 三是考虑等号成立的条件.


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