2014年陕西省高考文科数学试题及答案( 纯WORD版)


2014 年陕西高考数学(文科)试卷及答案(纯 word 版)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 开始 1、已知集合 M ? {x | x ? 0}, N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M N ? ( ) 输入 N

A. [ 0 , 1 ]

B.(0,1)

C. ( 0 , 1 ]

D.[0,1)


S ? 1, i ?1

2、函数 f ( x ) ? cos(2 x ?

?
4

) 的最小正周期是(
C .2?


ai ? 2 ? S

A.

? 2

B.?

D.4?

S ? ai
i ? i ?1

3、已知复数 z ? 2 ? i ,则 z ? z 的值为(

A.5

B. 5

C .3

D. 3




i?N


4、根据右边框图,对大于 2 的整数 N ,得出数列的通项公式是(

输出 a1, a2 , ???, aN 结束 )

A.an ? 2n

B. a ? 1) n ? 2 (n

C.an ? 2n

D.an ? 2n?1

5、将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积为(

A.4?

B.3?

C .2?

D.?


6、 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点, 则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为 (

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

x

7、下了函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是(

A、 f ? x ?? x
3

B、 f ? x ??3

x

C、 f ? x ?? x

2 3

1? D、 f ? x ??? ? ? ?2?

8、原命题为“若

an ? an ?1 ? an , n ? N? ,则 ?an ? 为递减数列” ,关于逆命题,否命题,逆 2
D、 假,假,假
2

否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A、 B、 C、 真,真,真 假,假,真 真,真,假

9、某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1 , x 2 ,?, x10 ,其均值和方差分别为 x 和 s , 若从下月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( )

A、x , s 2 ? 1002 C、 x , s2

B、 x ? 100 , s 2 ? 1002 D、 x ? 100 , s 2

10、如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切) ,已知环湖弯曲路段为某三 次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )

1 3 1 2 x ? x ?x 2 2 1 C、y ? x3 ? x 4
A、y ?

1 3 1 2 x ? x ? 3x 2 2 1 1 D、 y ? x3 ? x 2 ? 2 x 4 2
B、y ?

二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 11.抛物线 y ? 4 x 的准线方程为________.
2
a 12.已知 4 ? 2 , lg x ? a ,则 x ? ________.

13. 设 0 ? ? ?

?
2

,向量 a ? (sin 2? , cos? ),b ? (1,? cos? ) ,若 a ? b ? 0 ,则 tan ? ? ______.

14. 已知 f ( x) ?

x , x ? 0 ,若 f1 ( x) ? f ( x), f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)),n ? N? ,则 f 2014 ( x) 的 1? x

表达式为________. 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)设 a, b, m, n ? R ,且 a ? b ? 5, ma ? nb ? 5 ,则 m2 ? n2 的最
2 2

小值为______. B.(几何证明选做题)如图, ?ABC 中, BC ? 6 ,以 BC 为直径的半圆分别交 AB, AC 于点 E , F ,若 AC ? 2 AE ,则 EF =_______. C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中, 点 ( 2,

?
6

) 到直线 ? sin(? ?

?
6

) ? 1 的距离是_______.

三、解答题. 16. (本小题满分 12 分)

?A B C的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .

(1)若 a , b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin( A ? C ) ; (2)若 a , b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,求 cos B 的值. 17.(本小题满分 12 分) 四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD, BC 的平面分别交四面体的棱

AB, BD, DC, CA 于点 E , F , G, H .
(1)求四面体 ABCD 的体积; (2)证明:四边形 EFGH 是矩形.

18.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P(x, y) 在 ?ABC 三边围成的区域(含边界) 上,且 OP ? mAB ? nAC(m, n ? R) . (1)若 m

?n?

2 ,求 |OP| ; 3

(2)用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值. 19.(本小题满分 12 分) 某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔偿金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1000 130 2000 100 3000 150 4000 120

(1)若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占10% ,在赔付金额为 4000 元的样本车辆中,车主是新司机的占 20% ,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率. 20.(本小题满分 13 分)

已知椭圆

1 x2 y 2 经过点 ,离心率为 ,左右焦点分别为 F ? ? 1( a ? b ? 0) (0, 3) 1 (?c,0), F 2 (c,0) . 2 a 2 b2

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l :

1 y ? ? x ? m 与椭圆交于 A, B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C , D 两点,且满足 2

| AB | 5 3 ,求直线 l 的方程. ? | CD | 4
21.(本小题满分 13 分) 设函数

f ( x) ? ln x ?

m ,m? R . x

(1)当 m ? e( e 为自然对数的底数)时,求 (2)讨论函数 g ( x) ?

f ( x) 的最小值;

x f '( x) ? 零点的个数; 3

(3)若对任意 b ? a

? 0,

f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. b?a

2014 年陕西高考数学(文科)试卷参考答案

1—10 DBACC BBADA 11. x =—1 16. (1) 12. 10 13.

1 2

14.

x 1 ? 2014 x

15.A 5

B.3 C.1

? a, b, c成等差, ∴ 2b = a + c,即2sinB= sinA+ sinC. ? sinB = sin(A+ C),∴.sinA+ sinC = 2sin(A+ C)
(2)

? a, b, c成等比, ∴ b 2 = ac,且c = 2a.∴ b 2 = 2a 2,cosB= 3 所以,cosB= . 4
17. (1)

a 2 + c 2 - b 2 a 2 + 4a2 - 2a2 3 = = 2ac 4a2 4

由题知,ΔBCD为等腰RTΔ, BD ⊥ DC, 且AD ⊥ 面BCD ∴ AD为三棱锥A - BCD的高. 所以,三棱锥 A - BCD的体积VA -BCD = 所以,四面体 ABCD的体积为
(2)

1 1 1 2 S ΔBCD ? AD = ? ? 2 ? 2 ? 1 = 3 3 2 3

2 3

由题知,ΔBCD为等腰RTΔ, BD ⊥ DC, 且AD ⊥ 面BCD ? BC//面EFGH, EH ?面EFGH, EHBC共面∴ EH//BC,且AH = HC 同理? AD//面EFGH, EF, HG ?面EFGH,ADEF和ADHG共面 ∴ AD//EF,AD//HG, 且DF = FB, DG = GC ∴ EF // HG, 且EF = HG, EF ⊥ 面BCD,即EF ⊥ FG.所以,四边形EHGF为矩形.
18. (1)

2 2 ? A(1, 1), B(2,3), C (3,2), P( x, y ), m = n = ∴ OP = mAB+ nAC = (AB+ AC) 3 3 2 2 = [(1,2) + (2,1)] = (3,3) = (2,2)∴ OP = (2,2), ∴ | OP |= x 2 + y 2 = 2 2 3 3 所以, | OP |= 2 2
(2)

? OP = mAB+ nAC,∴ ( x, y) = m(1,2) + n(2,1),即x = m + 2n, y = 2m + n.解得m - n = y - x. 即求y - x在三角形ABC含边界内的最大值,属 线性规划问题,可以代 A, B, C三个顶点求 . 经计算在B(2,3)时,y - x取最大值 1. 所以,m - n = y - x,m - n最大值为 1
19. (1)

总车辆数n = 500+ 130+ 100+ 150+ 120= 1000 .赔付金额0,1000 ,2000 ,3000 ,4000 大于 投保金额2800 元有: 3000 ,4000 ,分别对应车辆数 150,120. ∴赔付金额大于投保金额 2800 元的概率p =
(2)

150+ 120 27 = = 0.27 1000 100

10 20 = 100人.赔付金额为4000 元的新司机为 120? = 24人. 100 100 24 ∴ 在所有投保中,赔付金 额为4000 元的新司机所占概率 p= = 0.24. 100 所以,赔付金额为 4000 元的新司机所占概率为 0.24. 由(1)知,新司机总人数 m = 1000?
20. (1)

c 1 由题知,b = 3 , = ? a 2 = b 2 + c 2 ,∴联立解得a = 2, c = 1. a 2 x2 y2 所以,椭圆方程为 + =1 4 3
(2)

1 直线方程y = - x + m即2 y + x - 2m = 0,圆心(0,0), 半径r = 1.设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ),则 2 | 2m | 4m 2 CD 2 4m 2 5 - 4m 2 由点线距离公式得: d = ,∴ d 2 = ?r2 = d 2 + ∴.CD 2 = 4(1 ) = 4? 5 4 5 5 4+ 1 1 x2 y2 联立直线方程 y = - x + m和椭圆方程 + = 1,整理得 2 4 3 x 2 - mx+ m 2 - 3 = 0,由韦达定理得 x1 + x 2 = m, x1 x 2 = m 2 - 3 1 15 由弦长公式得: AB2 = (1+ k 2 )[(x1 + x 2 ) 2 - 4 x1 x 2 ] = (1+ ) ( ? m 2 - 4m 2 + 12) = (4 - m 2) . 4 4 AB 5 3 15 5 - 4m 2 3 2 2 2 ? = ∴16AB = 25? 3 ? CD ,即16? (4 - m ) = 25? 3 ? 4 ? ,解得3m 2 = 1, m = ± . CD 4 4 5 3 3 经验证,当m = ± 时,直线与圆相交 . 3 1 3 所以,所求直线方程为 y = - x± 2 3
21. (1)

x -e , x > 0.解f ′( x) > 0得x > e,∴ f ( x)单调递增; x2 同理,当0 < x < e时,f ′( x) < 0, f ( x)单调递减.∴ f ( x)只有极小值 当m = e时,f ′( x) = e f (e) = ln e + = 2.所以,f ( x)的极小值为2. e
(2)

x x-m x x3 x3 2 ? g ( x) = f ′( x) - = 2 - = 0,∴ m = x - ,令h( x) = x - , x > 0, m ∈ R, 则h(1) = 3 x 3 3 3 3 2 h′( x) = 1 - x 2 = (1+ x)(1 - x).令h′( x) > 0解得0 < x < 1,∴ h( x)在区间上递增,值域为 (0, ). 3 2 同理,令h′( x) < 0解得x > 1,∴ g ( x)在区间上递减,值域为 ( -∞ , ) 3 大致画出函数g ( x)的图像,则 2 2 所以,当m ≤ 0,或m = 时,g ( x)只有一个零点;当 0 < m < 时,g ( x)有2个零点; 3 3 2 当m > 时,g ( x)没有零点; 3
(3)

f (b) - f (a) 当b > a > 0时, < 1,即f ′( x) < 1在(0,+ ∞ )上恒成立. b-a x-m 1 1 ? 2 < 1∴ m > x - x 2 ?当x > 0时,二次函数 x - x 2 ∈ (-∞-∞ ]∴ m > x 4 4 1 所以,当m ∈ ( ,+ ∞) 时,满足题意 . 4


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