江苏省启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(文)试题含解析


江苏省启东中学 2014-2015 学年度第一学期第一次月考 高三数学(文)试卷
【试卷综析】 本试卷是高三文科试卷, 考查学生解决实际问题的综合能力, 是份较好的试卷. 以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出 考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重 主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的 应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题等; 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1 【题文】1.函数 y= 的定义域是 log2?x-2? 【知识点】对数与对数函数 B7 【答案解析】 ( 1 , + ∞ ) ∵ y=log 2 ( x-1 ) , ∴ x-1 > 0 , x > 1,
函 数 y=log 2 ( x-1 ) 的 定 义 域 是 ( 1 , + ∞ ) 故 答 案 为 ( 1 , + ∞ )

【思路点拨】由 函 数 的 解 析 式 知 , 令 真 数 x-1 > 0 即 可 解 出 函 数 的 定 义 域 . 【题文】2.设函数 f(x)=log2x,则“a>b”是“f(a)>f(b)”的 【知识点】对数与对数函数 B7 【答案解析】充 要 ∵ 函 数 f ( x ) =log 2 x , 在 x ∈ ( 0 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 .
故答案为:充要.

条件

∴ “ a> b” ? “ f( a) > f( b) ” . ∴ “ a> b” 是 “ f( a) > f( b) ”的 充要条件.

【思路点拨】根 据 函 数 f ( x ) =log 2 x , 在 x ∈ ( 0 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 . 可 得 “ a > b ” ?
“ f( a) > f( b) ” .

【题文】3.若函数 f(x) (x∈R)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为
? ?x(1-x),0≤x≤1, 29? ?41? f(x)=? 则 f? 4 ?+f? 6 ?=_____ ? ?sin π x,1<x≤2, ?

_.

【知识点】周期性 B4 【答案解析】

5 16

函 数 f( x) ( x∈ R) 是 周 期 为 4 的 奇 函 数 ,

且 在 [0 , 2] 上 的 解 析 式 为 f ( x ) =

? x(1 ? x)  0 ?x?1  , ? ? sin ? x 1<x<2

29 41 3 7 3 7 3 7 ) +f ( ) =f ( 8) +f ( 8) =f ( - ) +f ( - ) =-f ( ) -f ( ) 4 4 6 4 6 4 6 6 3 3 7? 3 1 5 5 = ? (1? )?sin =? + = .故答案为: . 4 4 6 16 2 16 16
则 f(

【思路点拨】通 过 函 数 的 奇 偶 性 以 及 函 数 的 周 期 性 , 化 简 所 求 表 达 式 , 通 过 分 段 函 数 求
解即可.

【题文】4. 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的图像 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】向 右 平 移

? 个单位 12
1

函 数 y=sin3x+cos3x= 移

? 个单位,得到 12

y=

故答案为:向右平移

? 个单位. 12

? ),故 只 需 将 函 数 y= 2 cos3x 的 图 象 向 右 平 4 ? ? 2 cos[3 ( x- ) ]=cos ( 3x- ) 的 图 象 . 12 4
2 cos( 3x-

【思路点拨】 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形
式,然后利用平移原则判断选项即可.

【题文】5.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z}, 则 A∩B =_______ 【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】( ? 0,1),(?1,2) ? 把集合 A 中的 (0,1) (-1,2) 代入 B 中成立 (1,1) 代入不成立, 所以答案为( ? 0,1),(?1,2) ?。 【思路点拨】把集合 A 中的元素代入 B 中成立即可求出。 x 【题文】6. 函数 y=|2 -1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围是________. 【知识点】指数与指数函数 B6 【答案解析】 ( -1 , 1 ) ∵ 函 数 y=|2 x -1| , 其 图 象 如 图 所 示 , 由 图 象 知 ,
函 数 y=|2 x -1| 在 区 间 ( k-1 , k+1 ) 内 不 单 调 , 则 : -2 < k-1 < 0 , 则 k 的 取 值 范 围 是 ( -1 , 1 ) 故 答 案 为 ( -1 , 1 ) .

_.

【思路点拨】根 据 解 析 式 为 函 数 y=|2 x -1| 画 出 函 数 的 图 象 ,根 据 图 象 写 出 单 调 增 区 间 . 【 题 文 】 7 . 若 函 数 f ? x ? ? log a ? x ? 1? ? 4 ? a ? 0且a ? 1? 的 图 象 过 定 点 ? m, n ? , 则

log m n =

.

【知识点】对数与对数函数 B7 【答案解析】2 令 x-1=1 , 可 得 x=2 , 且 y=4 , 故 函 数 f ( x ) =log a ( x-1 ) +4 ( a > 0
且 a≠ 1) 的 图 象 过 定 点 ( 2, 4) , 再 由 函 数 f ( x ) =log a ( x-1 ) +4 ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 的 图 象 过 定 点 ( m, n) , 可 得 m=2 、 n=4 , 故 log m n=2 , 故 答 案 为 2 .

【思路点拨】令 x-1=1 , 可 得 x=2 , 且 y=4 , 故 函 数 f ( x ) =log a ( x-1 ) +4 ( a > 0
且 a≠ 1) 的 图 象 过 定 点 ( 2, 4) , 结 合 条 件 求 得 m 、 n 的 值 , 可 得 log m n 的 值 .

【题文】8.已知[x] 表示不超过实数 x 的最大整数,如[1.8]=1,[-1.2]=-2. 2 f(x)=lnx- 的零点,则[x0]等于 ________. x 【知识点】函数与方程 B9

x0 是函数

2 , 则 函 数 f( x) 在 ( 0, +∞ ) 上 单 调 递 增 , x 2 ∴ f ( 1 ) =ln1-2=-2 < 0 , f ( 2 ) =ln2-1 < 0 , f ( 3 ) =ln3> 0, 3
【答案解析】2 ∵ f ( x ) =lnx∴ f( 2) f( 3) < 0, ∴ 在 区 间 ( 2, 3) 内 函 数 f( x) 存 在 唯 一 的 零 点 , ∵ x 0 是 函 数 f ( x ) =lnx-

2 的 零 点 , ∴ 2 < x 0 < 3 , 则 [x 0 ]=2 , 故 答 案 为 2 . x
2

【思路点拨】根 据 函 数 零 点 的 判 定 定 理 , 求 出 根 所 在 的 区 间 , 即 可 得 到 结 论 . π 【题文】9.已知 f(x)=3sin(2x- ),若存在 α∈(0,π ),使 f(α+x)= f(α-x)对一切实数 x 恒成立, 6 则 α= 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】

? 5? , 6 3

∵ f ( x ) =3sin ( 2x-

? 6

) , 且 f ( α +x ) =f ( α -x ) ,

∴ y=f( x )关 于 直 线 x= α 对 称 ,由 正 弦 函 数 的 对 称 性 得 : 2 α ∴α =

k? ? ? + ( k ∈ Z ),又 α ∈( 0 ,π ),∴ k=0 时 ,α = ;k=1 时 ,α 2 3 3 ? 5? 故答案为 , . 6 3
【思路点拨】依 题 意 , f ( x ) =3sin ( 2x-

? 6

=k π +

? ( k ∈ Z ), 2 ? ? 5? = + = . 2 3 6

? 6

) , 且 f ( α +x ) =f ( α -x ) ? y=f ( x )

关 于 x= α 对 称 , 利 用 正 弦 函 数 的 对 称 性 及 α ∈ ( 0 , π ) 即 可 求 得 α 的 值 .

【题文】10. 已知函数 f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则 f(lg(lg2))= 【知识点】函数的奇偶性 B4 【答案解析】∵ lg ( log 2 10 ) +lg ( lg2 ) =lg1=0 ,
∴ lg ( log 2 10 ) 与 lg ( lg2 ) 互 为 相 反 数 则 设 lg ( log 2 10 ) =m , 那 么 lg ( lg2 ) =-m 令 f ( x ) =g ( x ) +4 , 即 g ( x ) =ax 3 +bsinx , 此 函 数 是 一 个 奇 函 数 , 故 g ( -m ) =-g ( m ) , ∴ f ( m ) =g ( m ) +4=5 , g ( m ) =1 ∴ f ( -m ) =g ( -m ) +4=-g ( m ) +4=3 .

【思路点拨】由 题 设 条 件 可 得 出 lg ( log 2 10 ) 与 lg ( lg2 ) 互 为 相 反 数 , 再 引 入 g ( x )
=ax 3 +bsinx , 使 得 f ( x ) =g ( x ) +4 , 利 用 奇 函 数 的 性 质 即 可 得 到 关 于 f ( lg ( lg2 ) ) 的方程,解方程即可得出它的值

【 题 文 】 11 . 在 ?ABC 中 , 角

A,B,C

的 对 边 分 别 为

a,b,c , 已 知 .

sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ? 1 。若 C ?
【知识点】解三角形 C8 【答案解析】

2? a ,则 ? 3 b

3 5

在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c ,

∵ 已 知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1 , ∴ sinAsinB+sinBsinC=2sin 2 B . 再 由 正 弦 定 理 可 得 ab+bc=2b 2 , 即 a+c=2b , 故 a , b , c 成 等 差 数 列 . C= 由 a , b , c 成 等 差 数 列 可 得 c=2b-a , 由 余 弦 定 理 可 得 ( 2b-a ) 2 =a 2 +b 2 -2ab ? cosC=a 2 +b 2 +ab . 化 简 可 得 5ab=3b 2 , ∴

2? , 3

a 3 3 = .故答案为 . b 5 5 2? , 3

【思路点拨】由 条 件 利 用 二 倍 角 公 式 可 得 sinAsinB+sinBsinC=2 sin 2 B , 再 由 正 弦 定
理 可 得 ab+bc=2b 2 , 即 a+c=2b , 由 此 可 得 a , b , c 成 等 差 数 列 . 通 过 C=

利 用 c=2b-a , 由 余 弦 定 理 可 得 ( 2b-a ) 2 =a 2 +b 2 -2ab ? cosC , 化 简 可 得 5ab=3b 2 , 由

3

此可得

a 的值. b

2 【题文】12.设函数 f ( x) ? 1 ? x sin x 在 x ? x 0 处取极值,则 (1 ? x 0 )(1 ? cos 2 x0 ) =

【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】2 f ( x ) =1-xsinx 则 f ′ ( x ) =-sinx-xcosx ,
令 -sinx-xcosx=0 , 化 得 tanx=-x , ∴ x 0 2 =tan 2 x 0 , ∴ ( 1+x 0 2 ) ( 1+cos2x 0 ) = ( tan 2 x 0 +1 ) ( cos2x 0 +1 ) =

cos2 x0 ? sin 2 x0 ×2cos 2 x 0 =2 2 cos x0

【思路点拨】先 根 据 函 数 f ( x ) =1-xsinx 在 x=x 0 处 取 得 极 值 可 得 出 x 0 2 =tan 2 x 0 , 代 入
( x 0 2 +1 ) ( cos2x 0 +1 ) 化 简 求 值 即 可 得 到 所 求 答 案

1 【题文】13.已知函数 f (x)=ax2+bx+ 与直线 y=x 相切于点 A(1,1),若对任意 x∈ [1,9], 4 不等式 f (x-t)≤x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合 为__________. .. 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】{4}

1 1 的 导 数 为 f ′ ( x ) =2ax+b , 由 于 函 数 f ( x ) =ax 2 +bx+ 4 4 1 1 1 与 直 线 y=x 相 切 于 点 A ( 1 , 1 ) , 则 2a+b=1 , 且 a+b+ =1 , 解 得 a= , b= , 4 4 2 1 1 1 1 即 有 f ( x ) = x 2 + x+ 即 为 f ( x ) = ( x+1 ) 2 , 4 2 4 4 1 不 等 式 f ( x-t ) ≤ x 即 为 ( x-t+1 ) 2 ≤ x , 4
函 数 f ( x ) =ax 2 +bx+ 由 于 任 意 的 x ∈ [1 , 9] , 则 有 |x-t+1| ≤ 2 令 -2

x , 即 有 -2 x -x ≤ 1-t ≤ 2 x -x ,

x =m ∈ [1 , 3] , 则 2 x -x=2m-m 2 =- ( m-1 ) 2 +1 ∈ [-3 , 1] , x -x=-2m-m 2 =-( m+1 )2 +1 ∈ [-15 ,-3] ,则 有 -3 ≤ 1-t ≤ -3 ,即 有 1-t=-3 ,即 t=4 .

故 答 案 为 : {4}

【思路点拨】求 出 函 数 的 导 数 , 求 出 切 线 的 斜 率 , 由 切 线 方 程 得 到 a , b 的 方 程 , 即
可 得 到 f ( x ) 的 表 达 式 , 则 不 等 式 f ( x-t ) ≤ x 即为

1 ( x-t+1 ) 2 ≤ x , 由 于 任 意 的 x ∈ [1 , 9] , 则 有 |x-t+1| ≤ 2 x , 4

即 有 -2

x -x ≤ 1-t ≤ 2 x -x ,分 别 求 出 两 边 的 最 值 ,令 1-t 不 大 于 最 小 值 且 不 小 于
sin B ? 2 cos( A ? B ) , 则 tan B 的 最 大 值 sin A

最大值,解出即可得到.

【 题 文 】 14 . 若 ?ABC 的 内 角 A、B , 满 足

为 . 【知识点】同角三角函数的基本关系式解三角形 C2 C8
4

【答案解析】

3 3
s i nB =2cos ( A+B ) =-2cosC > 0 , 即 cosC < 0 , s i nA

∵ sinA > 0 , sinB > 0 , ∴

∴ C 为 钝 角 , sinB=-2sinAcosC , 又 sinB=sin ( A+C ) =sinAcosC+cosAsinC , ∴ sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC , 即 cosAsinC=-3sinAcosC , ∴ tanC=-3tanA , ∴ tanB=-tan ( A+C ) =-

tan A ? tan C ?2 tan A == 1 ? tan A tan C 1 ? 3 tan 2 A

2 1 ? 3tan A tan A



2 2 3

=

3 , 3

当且仅当

1 3 3 =3tanA , 即 tanA= 时 取 等 号 , 则 tanB 的 最 大 值 为 . tan A 3 3

【思路点拨】由 A 和 B 为 三 角 形 的 内 角 , 得 到 sinA 和 sinB 都 大 于 0 , 进 而 确 定 出 C
为钝角,利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边,得到 sinB=-2sinAcosC ,再 由 sinB=sin( A+C ) ,利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 化 简 ,再 利 用 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 化 简 , 得 到 tanC=-3tanA , 将 tanB 利 用 诱 导 公 式 及 三 角 形 的 内 角 和 定 理 化 简 为 -tan ( A+C ) ,利用两角和与差的正切函数公式化简,将 tanC=-3tanA 代 入 ,变 形 后 利 用 基 本 不 等 式 求 出 tanB 的 范 围 ,即 可 得 到 tanB 的 最 大 值. 二、简答题:(本大题共 6 小题,共 90 分)

【题文】15. 已知函数 f ( x) ? cos 2 x, g ( x) ? 1 ? (1)若点 A (? , y ) ( ? ? [0,

?
4

1 sin 2 x . 2

] )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点,试求实数 ? 的值;

(2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? [0, 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】( 1 ) 0 ( 2 ) [2 ,

?
4

] 的值域.

3? 2 ] 2

( 1) ∵ 点 A( α , y) ( 0≤ α ≤ π ) 为 函 数 f( x) 与 g( x) 的 图 象 的 公 共 点 , ∴ cos 2 α = 1+

1 1 1 sin2α , ? +cos2α = 1+ sin2α ∴ cos2 α -sin2 α =1 2 2 2
=0 .

∴ cos2 α -1=sin2 α , ∴ -2sin 2 α =2sin α cos α , ∴ sin α =0 , 或 tan α =-1 . ∵ α ∈ [0 ,

? ]∴ α 4

( 2 ) ∵ h ( x ) =f ( x ) +g ( x ) ∴ h ( x ) = cos 2 x +1+

1 1 1 1 sin2 x = + cos2 x +1+ sin2 x 2 2 2 2

=

1 1 3 3 ? 3 2 2 2 2 cos2 x + sin2 x + = ( cos2 x + sin2 x )+ = sin(2 x + )+ 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

5

∵ x ∈ [0 ,

? ? ? 3? ] , ∴ ≤2 x + ≤ 4 4 4 4

.∴

? 2 ≤sin(2 x + )≤1 , 4 2
3? 2 ]. 2

∴ 2≤

? 3 3? 2 2 sin(2 x + )+ ≤ 2 4 2 2
cos 2 α = 1+

. 即 函 数 h ( x ) 的 值 域 为 [2 ,

【思路点拨】( 1 ) 由 于 点 A ( α , y ) ( 0 ≤ α ≤ π ) 为 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 的 图 象 的
公共点,可得

1 sin2α , 利 用 倍 角 公 式 展 开 即 可 得 出 ; 2

( 2) 利 用 倍 角 公 式 、 两 角 和 差 的 正 弦 公 式 、 正 弦 函 数 的 单 调 性 即 可 得 出 .

【题文】 16 .在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 a ? b, c ? 3 ,

cos 2 A - cos 2 B ? 3 sin A cos A - 3 sin B cos B.
(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A ?

4 ,求 ?ABC 的面积. 5

【知识点】二倍角公式解三角形 C6 C8 【答案解析】( Ⅰ )

? 18 ? 18 3 (2) 3 25
3 , cos 2 A-cos 2 B= 3 sinAcosA- 3 sinBcosB ,

( Ⅰ ) ∵ △ ABC 中 , a ≠ b , c=



1 ? 2 cos A 1 ? 2 cos B 3 3 = sin2Asin2B , 2 2 2 2

即 cos2A-cos2B= =2

3 sin2A- 3 sin2B , 即 -2sin ( A+B ) sin ( A-B )

3 ? cos ( A+B ) sin ( A-B ) . ∵ a ≠ b , ∴ A ≠ B , sin ( A-B ) ≠ 0 , 3 ,∴ A+B=
2? ? 4 ? ? 3 ,∴ C= .( Ⅱ )∵ sinA= < , C= ,∴ A < , 3 5 3 3 3 2

∴ tan( A+B ) =-

或 A>

2? (舍去), 3

∴ cosA=

1? sin2 A =

3 . 5
, ∴ a=

由正弦定理可得

a b 3 a ? ,即 = 4 sin A sin B 3 5 2

8 . 5

6

∴ sinB=sin[ ( A+B ) -A]=sin ( A+B ) cosA-cos ( A+B ) sinA=

1 3 3 × -( 2 2 5

)×

4 5

=

1 1 8 4?3 3 4 ? 3 3 18 ? 18 3 , ∴ △ ABC 的 面 积 为 ? ac ?sin B = × × 3 × = . 2 2 5 10 10 25

【思路点拨】( Ⅰ ) △ ABC 中 , 由 条 件 利 用 二 倍 角 公 式 化 简 可 得 -2sin ( A+B ) sin ( A-B )
=2

3 ? cos ( A+B ) sin ( A-B ) .

求 得 tan ( A+B ) 的 值 , 可 得 A+B 的 值 , 从 而 求 得 C 的 值 . ( Ⅱ ) 由 sinA= 求 得 cosA 的 值 . 再 由 正 弦 定 理 求 得 a , 再 求 得 sinB=sin[ ( A+B ) -A] 的 值 , 从 而 求 得 △ ABC 的 面 积 为

1 ? ac ?sin B 2

的值.

x-2 x-a2-2 【题文】17.已知全集 U=R,非空集合 A={x| <0},B={x| <0}. x- a+ x-a 1 (1)当 a= 时,求(CUB)∩A; 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 【知识点】集合及其运算充分条件必要条件 A1 A2 【答案解析】( Ⅰ ) { x |
( Ⅰ ) 当 a=

9 5 1 1 1 3? 5 ≤ x < } ( Ⅱ ) [? , ) ∪ ( , ] 4 2 2 3 3 2

1 5 1 9 时 A = { x |2 < x < } , B = { x | < x < } , 2 2 2 4 9 9 9 5 C U B = { x | x ≤ 或 x ≥ } , ( C U B ) ∩ A= { x | ≤ x < } . 4 4 4 2
(Ⅱ) 由 q 是 p 的必要条件, 即 p ?q, 可 知 A ? B . 由 a 2 +2 > a , 得 B={x|a < x < a 2 +2} . ① 当 3a+1 > 2 , 即 a >

a?2 ? 1 时 , A={x|2 < x < 3a+1} , 再 由 ? 2 , 3 ?a ? 2 ? 3a ? 1

解得

1 3? 5 < a≤ . 3 2

② 当 3a+1=2 , 即 a=

1 时 , A= ? , 不 符 合 题 意 ; 3

③ 当 3a+1 < 2 , 即 a <

? a ? 3a ? 1 1 时 , A={x|3a+1 < x < 2} , 再 由 ? 2 , 3 ?a ? 2 ? 2

解得 ?

1 1 1 1 1 3? 5 ≤ a < . 综 上 , a ∈ [? , ) ∪ ( , ]. 2 3 2 3 3 2

【思路点拨】 ( Ⅰ ) 先 求 出 集 合 A、 B, 再 求 出 CUB, 借 助 数 轴 求 出 , ( CUB) ∩ A.
( Ⅱ ) 由 题 意 知 , p ? q , 可 知 A ? B , B={x|a < x < a 2 +2} . 对 于 集 合 A , 其 解 集 的 端
7

点 是 3a+1 和 2 ,大 小 有 三 种 情 况 ,在 每 种 情 况 下 ,求 出 集 合 A ,借 助 数 轴 列 出 A ? B 时区间端点间的大小关系,解不等式组求出 a 的范围.

【题文】18.我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复 和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计算)每天的旅游人数 f ?x ? 与第 x 天近似地满足 f ?x ? ? 8 ? (千人) ,且参观民俗文化 村的游客人均消费 g ?x ? 近似地满足 g ?x ? ? 143 ? x ? 22 (元) . (1)求该村的第 x 天的旅游收入 p?x ? (单位千元,1≤x≤30, x ? N ? )的函数关系; (2)若以最低日收入的 20%作为每一天纯收入的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回 投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本. 【知识点】函数模型及其应用 B10
8 x

968 ? 8x ? ? 976, (1 ? x ? 22, x ? N * ) ? ? x 【答案解析】( 1 ) p ( x ) = ? ( 2) 略 ??8 x ? 1320 ? 1312(22 ? x ? 30, x ? N * ) ? x ?
( 1 ) 依 题 意 有 p ( x ) =f ( x ) ? g ( x )

968 ? 8x ? ? 976, (1 ? x ? 22, x ? N * ) ? 8 ? x = ( 8+ ) ( 143-|x-22| ) ( 1 ≤ x ≤ 30 , x∈ N*) =? ; 1320 x * ??8 x ? ? 1312(22 ? x ? 30, x ? N ) ? x ?
( 2 ) ① 当 1 ≤ x ≤ 22 , x ∈ N * 时 , p ( x ) =8x+

968 968 +976 ≥ 2 8 x ? +976=1152 ( 当 且 仅 当 x=11 时 , 等 号 成 立 ) x x 1320 1320 +1312 , 考 察 函 数 y=-8x+ , x x

∴ p ( x ) m i n =p ( 11 ) =1152 ( 千 元 ) , ② 当 22 < x ≤ 30 , x ∈ N * 时 , p ( x ) =-8x+ 可 知 函 数 y=-8x+

1320 在( 22 ,30] 上 单 调 递 减 ,∴ p( x )m i n =p( 30 )=1116( 千 元 ), x

又 1152 > 1116 , ∴ 日 最 低 收 入 为 1116 千 元 . 该 村 两 年 可 收 回 的 投 资 资 金 为 1116 × 20% × 5% × 30 × 12 × 2=8035.2 ( 千 元 ) =803.52 (万元). ∵ 803.52 ( 万 元 ) > 800 ( 万 元 ) , ∴ 该 村 在 两 年 内 能 收 回 全 部 投 资 成 本 .

【思路点拨】 ( 1 )根 据 旅 游 收 入 p( x )等 于 每 天 的 旅 游 人 数 f( x )与 游 客 人 均 消 费 g
( x) 的 乘 积 , 然 后 去 绝 对 值 , 从 而 得 到 所 求 ; ( 2 )分 别 研 究 每 一 段 函 数 的 最 值 ,第 一 段 利 用 基 本 不 等 式 求 最 小 值 ,第 二 段 利 用 函 数的单调性研究最小值,再比较从而得到日最低收入,最后根据题意可判断该村在 两年内能否收回全部投资成本.

【题文】19.已知函数 f(x)=π (x-cos x)-2sin x-2,g(x)=(x-π )
8

1-sin x 2x + -1.证明: 1+sin x π

π (1)存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0)=0; 2? ? π (2)存在唯一 x1∈? ,π ?,使 g(x1)=0,且对(1)中的 x0,有 x0+x1>π . ?2 ? 【知识点】函数与方程 B9 【答案解析】( Ⅰ ) 略 ( Ⅱ ) 略
( Ⅰ ) 当 x∈ ( 0,

? ) 时 , f′ ( x) =π 2

+ π sinx-2cosx > 0 ,

∴ f( x) 在 ( 0,

? )上为增函数,又 2

f ( 0 ) =- π -2 < 0 , f (

? 2

)=

?2 2

-4 > 0 ,

∴ 存 在 唯 一 x0∈ ( 0,

? ),使 2

f ( x 0 ) =0 ;

( Ⅱ ) 当 x∈ [

? ,π 2

] 时 , 化 简 可 得 g ( x ) = ( x- π )

1 ? sin x 1 ? sin x

+

2x -1 ?

= ( π -x )

cos x 2x + -1 , 1 ? sin x ? t cos t 2 1 ? sin t ?
t+1 , t ∈ [0 ,

令 t= π -x , 记 u ( t ) =g ( π -t ) =-

? 2

],

求 导 数 可 得 u′ ( t) =

f (t ) ? (1 ? sin t )



由 ( Ⅰ ) 得 , 当 t∈ ( 0, x0) 时 , u′ ( t) < 0, 当 t∈ ( x0, ∴ 函 数 u( t) 在 ( x0, u( t ) < 0 , ∴ 函 数

? ? ? ) 上 为 增 函 数 , 由 u( ) =0 知 , 当 t ∈ [x 0 , )时, 2 2 2 ? u ( t ) 在 [x 0 , )上 无 零 点 ;函 数 u ( t ) 在( 0 , x 0 ) 上 为 减 函 数 , 2
? ),使 2
u ( t 0 ) =0 , 设 x 1 = π -t 0 ∈ (

? 2

) 时 , u′ ( t) > 0,

由 u ( 0 ) =1 及 u ( x 0 ) < 0 知 存 在 唯 一 t 0 ∈ ( 0 , x 0 ) , 使 u ( t 0 ) =0 , 于 是 存 在 唯 一 t0∈ ( 0,

则 g ( x 1 ) =g ( π -t 0 ) =u ( t 0 ) =0 , ∴ 存 在 唯 一 x 1 ∈ ( ∵ x 1 = π -t 0 , t 0 < x 0 , ∴ x 0 +x 1 > π

? 2

? 2

,π ),

, π ) , 使 g ( x 1 ) =0 ,

【思路点拨】( Ⅰ ) 导 数 法 可 判 f ( x ) 在 ( 0 ,
故必唯一; ( Ⅱ ) 化 简 可 得 g ( x ) = ( π -x ) 令 t= π -x , 记 u ( t ) =g ( π 的零点,可得不等式.

? )上为增函数,又可判函数有零点, 2

cos x 2x + -1 , 换 元 法 , 1 ? sin x ? t cos t 2 ? -t ) =- t+1 , t ∈ [0 , 1 ? sin t ? 2

], 由 导 数 法 可 得 函 数

【题文】20.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d ,设曲线 y ? f ( x) 在与 x 轴交点处的切 3
9

线为 y ? 4 x ? 12 , y ? f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) . (1)求 f ( x) ; (2)设 g ( x) ? x

f ?( x) ,m>0,求函数 g ( x) 在[0,m]上的最大值;

(3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对于一切 x ? [0,1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立, 求实数 t 的取值范围. 【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】( 1 ) f ( x ) =

1 3 2 x ? x +x-3 ( 2 ) 略 ( 3 ) -1 < t < 0 3

( 1 ) 求 导 数 可 得 f ′ ( x ) =x 2 +2bx+c ∵ f ′ ( 2-x ) =f ′ ( x ) , ∴ f ′ ( x ) 关 于 x=1 对 称 , ∴ b=-1 与 x 轴 交 点 处 的 切 线 为 y=4x-12 , 设 交 点 为 ( a , 0 ) , 则 f ( a ) =0 , f ′ ( a ) =4 ∴ 在 ( a , 0 ) 处 的 切 线 为 : y=4 ( x-a ) +0=4x-4a=4x-12 , ∴ 4a=12 , ∴ a=3 由 f' ( 3 ) =9-6+c=3+c=4 得 : c=1 由 f( 3) =

1 1 3 × 27-3 2 +3+d=0 得 : d=-3 所 以 有 : f ( x ) = x ? x 2 +x-3 3 3
f ' ( x) =x|x-1| 当 x ≥ 1 时 , g ( x ) =x ( x-1 ) =x 2 -x= ( x-

1 2 1 ) , 2 4 1 1 1 1 函 数 为 增 函 数 x < 1 时 , g ( x ) =-x 2 +x=- ( x- ) 2 + , 最 大 为 g ( ) = 2 4 2 4
( 2) g(x)= x 比 较 g ( m ) =m ( m-1 ) 与

1 1 1? 2 得 : m≥ 时 , m ( m-1 ) ≥ 4 4 2

因 此 , 0< m≤

1 1 1? 2 时 , g ( x ) 的 最 大 值 为 m-m 2 ; < m ≤ 时, 2 2 2 1 1? 2 ; m> 时 , g ( x ) 最 大 值 为 m 2 -m 4 2

g( x) 的 最 大 值 为

( 3 ) h ( x ) =lnf ′ ( x ) =ln ( x-1 ) 2 , 当 x ∈ [0 , 1] 时 , h ( x ) =2ln ( 1-x ) 此 时 不 等 式 h ( x+1-t ) < h ( 2x+2 ) 恒 成 立 则 有 2ln ( t-x ) < 2ln ( -2x-1 ) ∴ 0 < t-x < -2x-1 , 可 得 t > x 且 t < -x-1 , 又 由 x ∈ [0 , 1] , 则 有 -1 < t < 0

【思路点拨】 ( 1 )求 导 数 ,利 用 f ′( 2-x )=f ′( x ) ,可 求 b 的 值 ;利 用 曲 线 y=f( x )
在 与 x 轴 交 点 处 的 切 线 为 y=4x-12 , 可 求 a , c , d 的 值 , 从 而 可 得 函 数 解 析 式 ; ( 2 ) 确 定 函 数 解 析 式 , 分 类 讨 论 , 可 求 函 数 g ( x ) 在 [0 , m] 上 的 最 大 值 ; ( 3 ) 求 出 函 数 h( x ) ,再将不等式转化为具体不等式,利用最值法,即可求得实数 t 的取值范围.

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