江西省师大附中、鹰潭一中2015届高三下学期4月联考数学(文)试题


江西省师大附中、鹰潭一中 2015 届高三下学期 4 月联考

数学(文)试题
第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合 A={x|x2-2x-3<0},B={y|y=2x,x∈ [0,2]},则 A∩B=( ) A.[0,2] B. (1,3) C.[1,3) D. (1,4) 2.设 z=

10i ,则 z 的共轭复数为( ) 3?i A.-1+3 i B.-1-3 i

C.1+3 i

D.1-3 i

3.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“ AB ? 2 ”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知向量 a=(1, 3),b=(3,m).若向量 b 在 a 方向上的投影为 3,则实数 m=( ) A.2 3 B. 3 C.0 D.- 3 5.函数 f(x)的部分图像如图所示,则 f(x)的解析式可以是( ) A.f(x)=x+sinx cosx B.f(x)= x C.f(x)=xcosx π 3π D.f(x)=x(x- ) (x- ) 2 2 6. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 的对边分别为 a 、 b 且 A ? 2 B , sin B ? A.
3 5 3 a ,则 的值是( ) 5 b

B.

4 5

C.

4 3

D.

8 5

7.某几何体的直观图如图所示,该几何体的正视图和侧视图可能正确的是( )

8.当 m=6,n=3 时,执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为( )
-1-

A.6 B.30 C.120 D.360 9.已知角 ? 的终边经过点 P(-4,3),函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

?
2



? 则 f ( ) 的值为( ) 4
A.
3 5

B.

4 5

C.-

3 5

D. -

4 5

10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线,切点记作 C , D ,原点为 a 2 b2 2? ,其双曲线的离心率为( ) O , ?COD ? 3
3 2

A.

B. 2

C. 3

D.

2 3 3

? x? y ?3?0 ? 11.已知直线 mx ? y ? m ? 1 ? 0 上存在点 ( x, y ) 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 则实数 m 的取值范围为( ) ? x ?1 ?

A.(-

1 ,1 ) 2

B.[-

1 ,1 ] 2 1 ] 2

C





-

1



1 2



D.[- 1 ,

? ?5 sin x , 0 ? x ? 2 ? ?4 4 12.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? , ? ( 1 )x ? 1 , x ? 2 ? ? 2
若关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 ( a, b ? R ),有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值 范围是( )
5 A. (? , ?1) 2 5 9 C. ( ? , ? ) 2 4 9 (? , ?1) 4 5 9 B. ( ? , ? ) 2 4 9 D. ( ? , -1) 4

第Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两个部分. 第 (13) 题—第 (21) 题为必考题, 每个考生都必须作答. 第 (22)题—第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.从编号为 0,1,2,…,79 的 80 件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量是 10 的样本,若编号 为 58 的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为________. 14 . 若 一 个 球 的 表 面 积 为 100? , 现 用 两 个 平 行 平 面 去 截 这 个 球 面 , 两 个 截 面 圆 的 半 径 为
r1 ? 4, r2 ? 3 .则两截面间的距离为________.
-2-

15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 3 ,且满足 Sn ? an ?1 ? 1 ,则 a7 ? _________. 16 .设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ( a, b, c 为常数)的导函数为 f ?( x) .对任意 x ? R ,不等式

b2 的最大值为________. a2 ? c2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 满足 b2+c2=bc+a2. (1)求角 A 的大小;
f ( x) ? f ?( x) 恒成立,则

4 (2)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求{ }的 anan+1 前 n 项和 Sn.

18. (本小题满分 12 分)“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动,活动规定:被邀请 者要么在 24 小时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战) ,并且不能重复参加该 活动.若被邀请者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可 以邀请另外 3 个人参与这项活动. 假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的, 且互不影响. (1)若某参与者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战 的概率是多少? (2)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随机抽样调查,调查得 到如下 2 ? 2 列联表: 接受挑战 男性 女性 合计 45 25 70
2

不接受挑战 15 15 30

合计 60 40 100

根据表中数据,能否有 90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”? 附: K ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
P K 2 ≥ k0
k0

n ? ad ? bc ?

?

?

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10. 828

19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 中, AB∥CD , BC ? CD ,侧面 SAB 为等边三角形,

AB ? BC ? 2, CD ? 1, SD ? 7 .

-3-

(1)证明:平面 SAB ? 平面 ABCD ; (2)求点 A 到平面 SDC 的距离.

20. (本小题满分 12 分)设抛物线 C: x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的准线被圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长 为 15 , (1)求抛物线 C 的方程; (2)设点 F 是抛物线 C 的焦点,N 为抛物线 C 上的一动点,过 N 作抛物线 C 的切线交圆 O 于 P、Q 两点,求 ?FPQ 面积的最大值.
y
N
P F

x
Q

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? a ln x ? bx 2 ,其图象在点 P ? 2 ,f ? 2 ? ? 处切线的斜率为 ?3 . (1)求函数 f ? x ? 的单调区间(用只含有 b 的式子表示); (2)当 a ? 2 时,令 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ,设 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 是函数 g ? x ? ? 0 的两个根, x0 是 x1 , . x2 的等差中项,求证: g' ( x0 ) ? 0 ( g' ( x) 为函数 g ? x ? 的导函数)

请考生从 22、23、24 题中任选一题作答;如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 Rt ?ABC( ?A ? 90? ) 的外接圆为圆 O ,过 A 的切线 AM 交 BC 于点 M ,过 M 作直线
A

-4B

D E O C M

交 AB, AC 于点 D, E ,且 AD ? AE (1)求证: MD 平分角 ?AMB ; (2)若 AB ? AM ,求

MC 的值. MA

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 y ? 5 ? 5sin t , ?

极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C 2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) . 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? x ? a 。 (1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)若存在 x ? R ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.

-5-

高三年级数学(文)答案

∴ an=2n.(10 分)

4 1 1 1 ∴ = = - .(11 分) anan+1 + n n+1

1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴ Sn=(1- )+( - )+( - )+…+( - )=1- = .(12 分) 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 18.解: (Ⅰ )这 3 个人接受挑战分别记为 A, B, C ,则 A, B, C 分别表示这 3 个人不接受挑战. 这 3 个人参与该项活动的可能结果为: ? A, B, C? , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C ,

?

? ?

? ?

? ?

? ? ?

?

? A, B, C? , ? A, B, C? .共有 8 种; (2 分)
其中,至少有 2 个人接受挑战的可能结果有: ? A, B, C? , A, B, C , A, B, C , A, B, C ,共有 4 种. ( 4 分) 根据古典概型的概率公式,所求的概率为 P ?
4 1 ? . (6 分) 8 2

?

? ?

? ?

(说明:若学生先设“用 ? x, y, z ? 中的 x, y, z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”,再 将所有结果写成 ? A, B, C ? , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , ) ? A, B, C ? , ? A, B, C ? ,不扣分. (Ⅱ )根据 2 ? 2 列联表,得到 ? 2 的观测值为:
k ?

?

??

? ?

??

??

?

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

n ? ad ? bc ?

2

?

100 ? ? 45 ? 15 ? 25 ? 15 ? 60 ? 40 ? 70 ? 30

2

?

25 ? 1.79 . (10 分) 14

(说明: k 表示成 K 2 不扣分) . 因为 1.79 ? 2.706 ,所以没有 90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”. (12 分)
-6-

19.解: (1)如图取 AB 中点 O ,连结 DO 、 SO ,依题意四边形 BCDO 为矩形, ? DO ? CB ? 2 , (2 分) ? 侧面 SAB 为等边三角形, AB ? 2, 则 SO ? AB , 且 SO ? 3 ,而 SD ?

7 ? ?SOD 满足 SD 2 ? SO 2 ? OD 2 ,? ?SOD 为直角三角形,即

SO ? OD , (4 分) ? SO ? 平面 ABCD , (5 分)

? 平面 SAB ? 平面 ABCD ; (S 6 分)
C

(2) 由(1)可知 SO ? 平面 ABCD ,则? SO ? CD ,

? CD ? OD ,? CD ? 平面 SOD , ? CD ? SD ,
A
O

D B

? S ?SDC ?

1 7 SD ? CD ? (8 分) 2 2
1 CD ? BC ? 1 (9 分) 2 1 3 1 S ?SDC ? h 3

由题意可知四边形 ABCD 为梯形,且 BC 为高,所以 S ?ADC ?

设点 A 到平面 SDC 的距离为 h ,由于 VS ? ADC ? VA? SDC ,则有 S ?ADC ? SO ?

1 1 7 ? ?1? 3 ? ? ?h, (10 分) 3 3 2 ?h ? 2 21 2 21 ,因此点 A 到平面 SDC 的距离为 . (12 分) 7 7
p p 2 2 ,且直线 y ? ? 被圆 O: x ? y ? 4 所截得的弦长 2 2

20. (1)因为抛物线 C 的准线方程为 y ? ? 为 15 ,所以 ( ) 2 ? 4 ? (

p 2

15 2 (4 分) ) ,解得 p ? 1 ,因此抛物线 C 的方程为 x 2 ? 2 y ; 2

(2)设 N( t , (6 分)

t2 t2 t2 ) ,由于 y ' ? x 知直线 PQ 的方程为: y ? ? t ( x ? t ) . 即 y ? tx ? . 2 2 2

t2 4 2 ,所以|PQ|= 2 4 ? t 因为圆心 O 到直线 PQ 的距离为 ,(7 分) 4(1 ? t 2 ) 1? t2 1 t2 ? 2 2 ? 1 1? t2 , 设点 F 到直线 PQ 的距离为 d,则 d ? ( 8 分) 1? t2 2

-7-

t4 1 1 2 ? ?t 4 ? 16t 2 ? 16 所以, ?FPQ 的面积 S ? PQ ? d ? 1 ? t ? 4 ? 2 4(1 ? t ) 4 2
? 1 1 ?(t 2 ? 8) 2 ? 80 ? 80 ? 5 (11 分) 4 4

当 t ? ?2 2 时取到“=”,经检验此时直线 PQ 与圆 O 相交,满足题意.综上可知, ?FPQ 的面积的 最大值为 5 . (12 分) 21.解;(1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 ,? ? ? .
f ?? x? ?

a a ? 2bx ,则 f ? ? 2 ? ? ? 4b ? ?3 ,即 a ? 8b ? 6 . x 2
?2bx 2 ? ? 8b ? 6 ? . (2 分) x
?6 ? 0 , f ? x ? 在 ? 0 ,? ? ? 上是单调减函 x

于是 f ? ? x ? ?

① 当 b ? 0 时, f ? ? x ? ?

② 当 b ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?

4b ? 3 (负舍) , b

所以 f ? x ? 在 0 , 4b ? 3 上是单调减函数,在 b

?

?

?

4b ? 3 ,? ? 上是单调增函数; b

?

3 ③ 当 b ? 0 时,若 0 ? b≤ ,则 f ? ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 在 ? 0 ,? ? ? 上单调减函数; 4
若b ?

4b ? 3 3 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? (负舍) , b 4

所以 f ? x ? 在 0 , 4b ? 3 上单调增函数,在 b

?

?

?

4b ? 3 ,? ? 上单调减函数; b

?

综上,若 b ? 0 , f ? x ? 的单调减区间为 0 , 4b ? 3 ,单调增区间为 b

?

?

?

4b ? 3 ,? ? ; b

?

3 若 0≤b≤ , f ? x ? 的单调减区间为 ? 0 ,? ? ? ; 4
若b ?

3 , f ? x ? 的单调增区间为 0 , 4b ? 3 ,单调减区间为 b 4

?

?

?

4b ? 3 ,? ? . (6 分) b

?

(2)因为 a ? 2,a ? 8b ? 6 ,所以 b ? 1 ,即 g ? x ? ? 2ln x ? x 2 ? kx .
?2ln x1 ? x12 ? kx1 ? 0 , ? 因为 g ? x ? 的两零点为 x1 , x2 ,则 ? 2 ? ?2ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0 ,

相减得: 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x12 ? x2 2 ? ? k ? x1 ? x2 ? ? 0 , 因为 x1 ? x2 ,所以 k ? 于是 g' ? x0 ? ?
2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 4 ? 2 x0 ? k ? ? x0 x1 ? x2 x1 ? x2

-8-

? x1 ? 2 ?1 ? 2 x ? x ? ? ? ? x2 x ? 1 2 (10)分 ? 2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? 2 ? ? ln 1 ? . x1 ? x2 ? x1 ? x2 x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? 1 ? ? ? x2 ?

?

?

令t ?

2 ? t ? 1? x1 4 ? ln t ? 2 ? ? ln t , ,t ? ? 0, 1? , ? ? t ? ? t ?1 t ?1 x2
4 1 ? ? t ? 1? 1? 上单调递减, ? ? ? 0 ,则 ? ? t ? 在 ? 0 , t t ? t ? 1?2
2

则 ?' ? t ? ?

? t ? 1?

2

则 ? ? t ? ? ? ?1? ? 0 ,又

2 ? 0 ,则 g' ? x0 ? ? 0 .命题得证. (12)分 x1 ? x2
得 ?ADE ? ?AED ,

22.证明: (1)由 AD ? AE

?ADE ? ?ABM ? ?BMD

?AED ? ?EAM ? ?AME
? MD 平分角 ?AMB

AM 是切线,

? ?EAM ? ?ABM , ?BMD ? ?AMD

(2)由 AB ? AM ,得 ?ABM ? ?AMC ? ?MAC ,由 ?ABC ? ?ACB ? 90? 即 ?ABC ? ?AMB ? ?MAC ? 90?

? ?ABC ? 30? ,由 ?AMC ? ?BMA ?

AC 3 MC AC ,由 tan ?ABC ? ? ? AB 3 MA AB

23 解:将 ?

? x ? 4 ? 5 cos t 2 2 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 ,(2 分) y ? 5 ? 5 sin t ?
2

即 C1 : x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 .将 ?
2

? x ? ? cos ? 2 2 代入 x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 得 y ? ? sin ? ?

(5 分) ? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 . (Ⅱ ) C 2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 .
2 2

由?

2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ,解得 ? 或? . (8 分) 2 2 y ? 1 y ? 2 ? x ? y ? 2 y ? 0 ? ? ?

所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 ( 2 ,

?

) , (2, ) 4 2

?

(10 分)
2

24. 解: (Ⅰ ) 当 a ? 0 时, 由 f ( x) ? g ( x) 得 2 x ? 1 ? x |2x+1|≥x, 两边平方整理得 3 x ? 4 x ? 1 ? 0 , 解得 x ? ?1或x ? ?

1 1 ∴ 原不等式的解集为 (??,?1] ? [? ,??) (5 分) 3 3

-9-

1 ? ?? x ? 1, x ? ? 2 ? 1 ? (Ⅱ )由 f ( x) ? g ( x) 得 a ? 2 x ? 1 ? x ,令 h( x) ? 2 x ? 1 ? x ,即 h( x) ? ?3 x ? 1, ? x ? 0 2 ? ? x ? 1, x ? 0 ? ?
(7 分) 故 h( x) min ? h(? ) ? ?

1 2

1 1 ,故可得到所求实数 a 的范围为 (? ,??) 2 2

(10 分)

- 10 -


相关文档

更多相关文档

  • 数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系检测题
  • 高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《3.2简单的三角恒等变换》课件4
  • 南雄中学高二周六练习题
  • 2013-2014学年高一数学上学期期末试题及答案(新人教A版 第126套)
  • 江苏省无锡江阴市2013-2014学年高二下学期期中考试数学(文)试题
  • 高二数学椭圆专题检测
  • 山东省乐陵市第一中学2012届高三数学一轮复习学案:数列的基本概念
  • 江苏省淮安中学高二数学《逆变换与逆矩阵》学案.
  • 2013年北京市春季会考数学试题
  • 【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 42 直线与圆考点规范练 文 北师大版
  • 斐波那契数列
  • 电脑版