高一数学上知识点总复习


一、集合与简易逻辑
1、集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合。 集合通常用大写的拉丁字母表示,如 A、B、C、P、Q?? 2、常用数集及记法 (1)非负整数集(自然数集) :全体非负整数的集合。记作 N (2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集。记作 N*或 N+ (3)整数集:全体整数的集合。记作 Z (4)有理数集:全体有理数的集合。记作 Q (5)实数集:全体实数的集合。记作 R 3、元素与集合的关系 (1)属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A; (2)不属于:如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 a ? A . 4、集合中元素的特性 (1)确定性: (2)互异性: (3)无序性: 5、集合的表示方法 1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。 2、描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 格式:{x∈A| P(x)} 含义:在集合 A 中满足条件 P(x)的 x 的集合。 定义域 A ? x y ? f (x) ,值域 C ? y y ? f (x), x ? A ,方程的解集 x f (x) ? 0
2 不等式解集 x f (x) ? 0 ,点集 (x,y) y ? f (x), x ? A ,数集 x x ? n ? 1, n ? N

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 6、有限集与无限集 1、 有限集:含有有限个元素的集合。 2、 无限集:含有无限个元素的集合。 7、子集: 若任意x ? A ? x ? B,则A ? B 性质:① A ? A (任何一个集合是它本身的子集) ② ? ? A (空集是任何集合的子集) 8、集合相等: A ? B ? ?

?A ? B ?B ? A

9、真子集:A B ? ?

?A ? B ?A ? B

10、含有 n 个元素的集合的子集个数 2 n,真子集个数 2 n-1,非空真子集 2 n-2 11、补集:
S

A ? ?x x ? S且x ? A?.

S

A

12、五条性质 (1)空集是任何集合的子集。Φ ? A (2)空集是任何非空集合的真子集。Φ ? A (A≠Φ ) (3)任何一个集合是它本身的子集。 A ? A (4)如果 A (5)
S(

B ,B

C ,则 A

C.

SA)=A

13、交集 A ? B ? x x ? A且x ? B

?

?

14、并集 A ? B ? x x ? A或x ? B
1

?

?

15、交集、并集的性质
(1) 对于任何集合 A、B,都有 A ? A ? A , (2) 对于任何集合 A、B,都有 A ? A ? A , (3) 摩根律:对于任何集合 A、B,

A ? ? ? ? , A ? B ? B ? A; A ? ? ? ? , A ? B ? B ? A;
A? B ? A A? B ? B (CU A) ? (CU B ) A ? (CU B ) ? ?

(1) A ? B ? A ? B (2)CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) , (4) A ? B ? (3)CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B)
(5) A ? B ? A ,

A ? B ? A , ( A ? B) ? ( B ? A)

16、 x ? a, (a ? 0) ? ?x ? a ? x ? a?

x ? a, (a ? 0) ? ?x x ? a或x ? ?a?
17、 ax ? b ? c, (c ? 0) ? ?c ? ax ? b ? c

ax ? b ? c, (c ? 0) ? ax ? b ? c或ax ? b ? ?c
18、零点分段法: 解这类绝对值符号里是一次式的不等式,其一般步骤是:
(1)令每个绝对值符号里的一次式为零,求出相应的根; (2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间; (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集; (4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集. 19、解二次不等式的一般步骤: (1)化成一般式

ax2 ? bx ? c ? 0

(a>0) (2)求方程 ax ? bx ? c ? 0 的根
2

(3)画出函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的示意图

(4)写出不等式解集

1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)?(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+” ;(为了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点; ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线” 在 x 轴下方的区间.

x1

x2

x3

x m-3

-

x m-2 x m-1

+

-

xm

+

x

(自右向左正负相间) 则不等式 a0 x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ? ? an ? 0(? 0)(a0 ? 0) 的解可以根据各区间的符号确定. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论;a>0,a<0
2

②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.a>0 时,大于两根之外,小于是在两跟之间,否则相反 2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

2

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ? 0 ? ? f ( x) g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

(2)转化为整式不等式(组) 3.含绝对值不等式的解法

(1)公式法: ax ? b ? c ,与 ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 20、命题:可以判断真假的语句叫做命题. 21、逻辑联结词“或”“且”“非” 还有“若?则?”和“当且仅当”两种形式. 、 、 “或” :并集 A ? B ? x | x ? A,或x ? B

?

?

“且”“交集” A ? B ? ?x | x ? A,且x ? B? : “非”“补集” : 22、命题的否定: “若 p 则 q”的否定是“若 p 则┓q” “等于”的否定语是“不等于”“大于”的否定语是“小于或者等于” ; ; “是”的否定语是“不是” “都是”的否定语是“不都是” ; ; “至多有一个”的否定语是“至少有两个”“至少有一个”的否定语是“一个都没有” ; ; “至多有 n 个”的否定语是“至少有 n ? 1 个” . 23、原命题:若 p 则 q ; 否命题:若┐ p 则┐ q . 逆命题是“若 q 则 p ” ,逆否命题为“若 ? q 则 ? p . 24、互为逆否命题的两个命题同真

25、p 是 q 的充分不必要条件: ?

?p ? q ?q ? p ?p ? q ?q ? p

p 是 q 的必要不充分条件: ?

p 是 q 的充分必要条件 ?

?p ? q ?q ? p
3

26、从集合角度理解充分必要条件: ① p ? q ,相当于 P ? Q ,即



② q ? p ,相当于 P ? Q ,即



③ p ? q ,相当于 P ? Q ,即 27、充要条件的判定步骤: 判 (1)分清条件 p 和结论 q; (2)考察 若 p 则 q 和 若 q 则 p 的真假。 (3)若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件 ; 若 p ? q ,则 p 是 q 的必要条件 ; 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件 。

二、函
1. 指数式、对数式, a n ?
m n



am , a

?m n

? 1 , a loga N ? N m an

ab ? N ?l o g N ? b( a? 0 , a? 1,N ? ,. ) 0 a
a0 ? 1 , loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1, loge x ? ln x , log a b ? log c b ,. log a b n ?
m

log c a

n log a b . m

如果 a > 0 , a ? 1 ,

M > 0 , N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N 1 M loga ? loga M ? loga N 2 N loga M n ? nloga M(n ? R) 3

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R) (a m ) n ? a mn (m, n ? R) (ab) n ? a n ? b n (n ? R)

2.(1)映射是“ ‘全部射出’加‘一箭一雕’;映射中第一个集合 A 中的元素必有像,但第二个集合 B 中的元素 ” 不一定有原像( A 中元素的像有且仅有下一个,但 B 中元素的原像可能没有,也可任意个) ;函数是“非空数集 上的映射” ,其中“值域是映射中像集 B 的子集”. (2)函数图像与 x 轴垂线至多一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可任意个. (3)函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像. (4)原函数与反函数有两个“交叉关系” :自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数,分三步:逆 解、交换、定域(确定原函数的值域,并作为反函数的定义域). 注意:① f (a) ? b ? f
?1

(b) ? a , f [ f ?1 ( x)] ? x , f ?1[ f ( x)] ? x ,但 f [ f ?1 ( x)] ? f ?1[ f ( x)] .

4

②?函数 y ? f ( x ? 1) 的反函数是 y ? f ?1 ( x) ?1,而不是 y ? f ?1 ( x ? 1) . 3.单调性和奇偶性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同. 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的性;如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. 注意: (1)确定函数的奇偶性,务必先判定函数定义域是否关于原点对称?.确定函数奇偶性的常用方法有:定义 法、图像法等等. 对于偶函数而言有: f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . (2)若奇函数定义域中有 0,则必有 f (0) ? 0 .即 0 ? f ( x) 的定义域时, f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的必要非充分 条件. (3)确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用:定义法(取值、作差、鉴定) 、导数法;在选择、填空题 中还有:数形结合法(图像法)、特殊值法等等. (4)函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件. (5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差) ”. (6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件,奇函数可能反函数,但偶函数只有 f ( x) ? 0( x ?{0}) 有反函数; 既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). (7)复合函数的单调性特点是: “同性得增,增必同性;异性得减,减必异性”. 复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。 (即复合有意义) 4.对称性(以下结论要消化吸收,不可强记) (1)函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? f ?? x ?的图像关于直线 x ? 0 ( y 轴)对称. 推广一:如果函数 y ? f ?x ? 对于一切 x ? R ,都有 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? 成立,那么 y ? f ?x ? 的图像关于直线

x?

a?b (a ? x) ? (b ? x) (由“ x 和的一半 x ? 确定” )对称. 2 2
推广二:函数 y ? f ?a ? x ? , y ? f ?b ? x ? 的图像关于直线 x ?

b?a (由 a ? x ? b ? x 确定)对称. 2

(2)函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?x ? 的图像关于直线 y ? 0 ( x 轴)对称. 推 广 : 函 数 y ? f ?x ? 与 函 数 y ? A f ? ?

?x 的 图 像 关 于 直 线

y? A 对称(由“ y 和的一半 2

y?

[ f ( x )? A ] [ ? 2

f ( )] x

确定” ).

(3)函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ? ? x ? 的图像关于坐标原点中心对称.
5

推广:函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? m ? f ? n ? x ? 的图像关于点 ( n , m ) 中心对称.

2 2

(4)函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? f ?1 ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称. 推广:曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x ? b 的对称曲线是 f ( y ? b, x ? b) ? 0 ; 曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x ? b 的对称曲线是 f (? y ? b, ? x ? b) ? 0 .

三、数



1. 数 列 的 通 项 、 数 列 项的 项 数 , 递 推 公 式 与 递 推 数 列 , 数 列 的 通 项 与 数 列 的 前 n 项 和 公 式 的 关 系 :

an ?

?S ,?(nS? 1)(n ? 2) S ,
1 n n ?1

(必要时请分类讨论).

注意: an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ; an ? 2.等差数列 {an } 中: (1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

an an ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 . an ?1 an ? 2 a1

(2) an ? a1 ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d ; p ? q ? m ? n ? a p ? aq ? am ? an . (3) {an1 ? ( k ?1) m} 、 {kan } 也成等差数列. (4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5) a1 ? a2 ? ? ? am , ak ? ak ?1 ? ? ? ak ? m?1,? 仍成等差数列. (6) S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d d d , S n ? n 2 ? (a1 ? )n , , S n ? na1 ? 2 2 2 2

an ?

S2 n ?1 A a , n ? f (n) ? n ? f (2n ? 1) . bn 2n ? 1 Bn

(7) ap ? q, aq ? p( p ? q) ? a p ? q ? 0 ;S p ? q, Sq ? p( p ? q) ? S p ? q ? ?( p ? q) ;Sm? n ? Sm ? Sn ? mnd . (8)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和; (9)有限等差数列中,奇数项和与偶数项和的存在必然联系,由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为 偶数,则“偶数项和”-“奇数项和”=总项数的一半与其公差的积;若总项数为奇数,则“奇数项和”-“偶 数项和”=此数列的中项. (10)两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时,常考虑选用“中项关系”转化求解. (11)判定数列是否是等差数列的主要方法有:定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数
6

列的充要条件主要有这五种形式). 3.等比数列 {an } 中: (1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、公比与等比数列的单调性. (1) an ? a1q n ?1 ? am q n ? m ; p ? q ? m ? n ? bp ? bq ? bm ? bn . (3) {| an |} 、 {an1 ? ( k ?1) m} 、 {kan } 成等比数列; {an }、 n } 成等比数列 ? {anbn } 成等比数列. {b (4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. (5) a1 ? a2 ? ? ? am , ak ? ak ?1 ? ? ? ak ? m?1,? 成等比数列.

(q ? 1) ?na1 (q ? 1) ?na1 ? ? n ?? a (6) S n ? ? a1 ? an q a1 (1 ? q ) . a n (q ? 1) ?? 1 q ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q 1? q ? 1? q ?
特别: an ? bn ? (a ? b)(an?1 ? an?2b ? an?3b2 ? ?? abn?2 ? bn?1 ) . (7) Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm . (8)“首大于 1”的正值递减等比数列中,前 n 项积的最大值是所有大于或等于 1 的项的积; “首小于 1”的正 值递增等比数列中,前 n 项积的最小值是所有小于或等于 1 的项的积; (9)有限等比数列中,奇数项和与偶数项和的存在必然联系,由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为 偶数,则“偶数项和”=“奇数项和”与“公比”的积;若总项数为奇数,则“奇数项和”=“首项”加上“公 比”与“偶数项和”积的和. (10) 并非任何两数总有等比中项. 仅当实数 a , b 同号时, 实数 a , b 存在等比中项.对同号两实数 a , b 的等比中项 不仅存在,而且有一对 G ? ? ab .也就是说,两实数要么没有等比中项(非同号时),如果有,必有一对(同号时).在 遇到三数或四数成等差数列时,常优先考虑选用“中项关系”转化求解. (11)判定数列是否是等比数列的方法主要有:定义法、中项法、通项法、和式法(也就是说数列是等比数列的 充要条件主要有这四种形式). 4.等差数列与等比数列的联系 (1)如果数列 {an } 成等差数列,那么数列 { A n } ( A n 总有意义)必成等比数列. (2)如果数列 {an } 成等比数列,那么数列 {loga | an |}(a ? 0, a ? 1) 必成等差数列. (3)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列;但数列 {an } 是常数数列仅是数 列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件. (4)如果两等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是
7
a
a

原两等差数列公差的最小公倍数. 如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列,那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨, 且以其等比数列的项为主,探求等比数列中那些项是他们的公共项,并构成新的数列. 注意:(1)公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm .但也有少数问题中研究 an ? bn ,这时既 要求项相同,也要求项数相同.(2)三(四)个数成等差(比)的中项转化和通项转化法. 5.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式(三种形式) ,②等比数列求和公式(三种形式) ,
2 2 2 2 ③ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,

2

6

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n2 , 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1)2 .
(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式 法求和. (3) 倒序相加法: 在数列求和中, 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联, 则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错 位相减法,将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解(注意:一般错位相减后,其中“新等比数列的项数 是原数列的项数减一的差”) !(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法之一). (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相 消法求和.常用裂项形式有: ①

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ?1? 1 , ② ? 1 ( 1 ? 1 ) ,③ 2 ? 2 n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k k k ?1 2 k ?1 k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? , k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k


1 1 1 1 n 1 1 , ? [ ? ] ,⑤ ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)!
n n ? 1) ,

⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? ⑦ an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) ,⑧ Cn
m ?1

m m m m m ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1 .

特别声明:?运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时分类讨论. (6)通项转换法。

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希望大家好好复习,考出理想成绩!

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