湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解(四)


湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解四

31 .设函数 .

,其图象在点

处的切线的斜率分别为

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)若函数 (Ⅲ)若当

; 的递增区间为 时(k 是与 ,求 的取值范围; ,试求 k 的最小值.

无关的常数) ,恒有

32.如图,转盘游戏.转盘被分成 8 个均匀的扇形区域.游戏规则:用力旋转转盘,转盘停止时箭头 A 所 指区域的数字就是游戏所得的点数(转盘停留的位置是随机的) .假设箭头指到区域分界线的概率为 ,

同时规定所得点数为 0.某同学进行了一次游戏,记所得点数为 .求 的分布列及数学期望. (数学期望 结果保留两位有效数字)

33.设



分别是椭圆



的左,右焦点.

(1)当 (2) 得 、

,且



时,求椭圆 C 的左,右焦点 的半径是 1,过动点 的轨迹方程.

、 的作

. 切线 ,使

是(1)中的椭圆的左,右焦点,已知 ( 是切点) ,如下图.求动点

34.已知数列 (1)求证: (2)求数列 (3)设 35.已知集合 (1)设

满足

,





是等比数列; 的通项公式; ,且对于 恒成立,求 的取值范 (其中 为正常数) . ,求 的取值范围;

(2)求证:当

时不等式

对任意

恒成立;

(3)求使不等式

对任意

恒成立的

的范围.

36、已知椭圆 C:



=1(a>b>0)的离心率为

,过右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A,

B 两点,N 为弦 AB 的中点。 (1)求直线 ON(O 为坐标原点)的斜率 KON ; (2)对于椭圆 C 上任意一点 M ,试证:总存在角 ( ∈R)使等式: 37、已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 ②当△AOB 的面积为 38、已知数列 且过点 (1)求数列 (2)若 (3) 设 是 中的最小数, ,求 时(O 为坐标原点) ,求 的值。 都在函数 的图像上, ①当 的方程; =cos 的距离小 1。 +sin 成立。

的前 项和为 的切线的斜率为 的通项公式. ,求数列

,对一切正整数 ,点 .

的前 项和

. , 等差数列 的通项公式. 的任一项 , 其中

39、 已知 (1)求数列

是数列

的前 项和, ;

, 且

, 其中

.

的通项公式

(2)(理科)计算 40、函数

的值. ( 文科) 求

.

对任意 x∈R 都有 f(x)+f(1-x)=.

(1)求

的值;

(2)数列

的通项公式。

(3)令 黄冈中学 2011 年高考数学压轴题汇总 详细解答 31.解: (Ⅰ) , , 又 ,可得

试比较 Tn 与 Sn 的大小。

,由题意及导数的几何意义得 (1) (2) ,即 ………………2 分 ,故 ………3 分

由(1)得 将

,代入 代入(2)得

,再由

,得 ,即方程



(3) ……………………4 分 有实根.

故其判别式



,或



(4) ……………………5 分

由(3) , (4)得 (Ⅱ)由 知方程



……………………6 分 的判别式 , ,

有两个不等实根,设为

又由

知,

为方程( )的一个实根,则有根与系数的关系得

, ……………………9 分 当 故函数 或 时, 的递增区间为 ,当 ,由题设知 时, , ,

因此 (Ⅲ)由 ,即

,由(Ⅰ)知 ,即



的取值范围为 ,

;…12 分

因为

,则

,整理得





,可以看作是关于

的一次函数,

由题意

对于

恒成立,

故 由题意, 故





或 ,



,因此 的最小值为



……………………16 分

32. (本小题满分 12 分) 解: (1) 依题意, 随机变量ξ 的取值是 0, 1, 6, 8. P(ξ =0)=

, P(ξ =1)=



P(ξ =6)=

,P(ξ =8)=



得 列: ……6 分

分 布

(2)

=

.……12 分

33. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ ,∴ .……2 分 又∵ .……5 分 由椭圆定义可知 从而得 , , , . ∴ 、 ,…6 分 . …………7 分 ,即 ,所以有: ∴ ,…………3 分 ∴

( 2 ) ∵ F1 ( -2 , 0 ) , F2 ( 2 , 0 ) ,由已知: ,设 P(x,y) , …9 分 则 ,…12 分



(或

)综上所述,所求轨迹方程为:

.…14

分 34. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 an+1=an+6an-1,an+1+2an=3(an+2an-1) (n≥2) ∵a1=5,a2=5 ∴a2+2a1=15 故数列{an+1+2an}是以 15 为首项,3 为公比的等比数列 …………5 分 (2)由(1)得 an+1+2an=5·3n 由待定系数法可得(an+1-3n+1)=-2(an-3n) 即 an-3n=2(-2)n-1 故 an=3n+2(-2)n-1=3n-(-2)n ………9 分 (3)由 3nbn=n(3n-an)=n[3n-3n+(-2)n]=n(-2)n,∴bn=n(-)n 令 Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=+2()2+3()3+…+n()n Sn=()2+2()3+…+(n-1)()n+n()n+1 …………11 分 得 Sn=+()2+()3+…+()n-n()n+1=-n()n+1=2[1-()n]-n()n+1 ∴ Sn=6[1-()n]-3n()n+1<6 要使得|b1|+|b2|+…+|bn|<m 对于 n∈N*恒成立,只须 m≥6 …14 分

35. (本小题满分 14 分)解: (1)

,当且仅当

时等号成立,故 的取值

范围为

.……5 分

(2)解法一(函数法)

……6 分



,又



,∴在

上是增函数, ……7 分

所以

即当

时不等式

成立. ………9 分

解法二(不等式证明的作差比较法)

, 将 代入得



……6 分







, ∴



即当

时不等式

成立.……………9 分

(3)解法一(函数法)



,则



即求使



恒成立的 的范围.

…………10 分

由(2)知,要使

对任意

恒成立,必有



因此 分

,∴函数



上递减,在

上递增,………12

要使函数 解得

在 .

上恒有 ……………14 分

,必有

,即



解法二(不等式证明的作差比较法)

由(2)可知 要不等式恒成立,必须 恒成立,

, …………10 分



恒成立,

…………11 分

由 解得

得 .

,即



…………13 分

因此不等式

恒成立的

的范围是

. ……14 分

36、解:(1)设椭圆的焦距为 2c,因为 程可化为: 易知右焦点 F 的坐标为( ① ) ,

,所以有 ………2 分

,故有

。从而椭圆 C 的方

据题意有 AB 所在的直线方程为: 由①,②有: 设 ,弦 AB 的中点 ③



………3 分

,由③及韦达定理有:

所以 (2)显然 与

,即为所求。

………5 分 ,有

可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量 ,使得等式 ,所以 。 ………7 分 , 所 以 有 。 ④ 整 理 成立。设 ,由 1)中各点的坐标有:

且只有一对实数











C





由③有:

。所以

⑤ 又 A﹑B 在椭圆上,故有 将⑤,⑥代入④可得: 对于椭圆上的每一个点 在直角坐标系 。 也就是:对于椭圆 C 上任意一点 M ,总存在角 ( ∈R)使等式: 37、 (1)解法一:设 即 当 当 化简得 故点 M 的轨迹 C 的方程是 不合 …………5 分 ; …………3 分 , =cos +sin 成立。 。 ,总存在一对实数,使等式 中,取点 P( ………11 分 成立,而 ⑥

) ,设以 x 轴正半轴为始边,以射线 OP 为终边的角为 ,显然

…………1 分

…………4 分

(1)解法二: ∴点 M 在直线 l 的上方, 点 M 到 F(1,0)的距离与它到直线

的距离小于 1,

的距离相等 …………3 分

所以曲线 C 的方程为

…………5 分

(2)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 设直线 m 的方程为 代入 (☆) , …………6 分 与曲线 C 恒有两个不同的交点 设交点 A,B 的坐标分别为 则 ①由 , …………7 分 , …………9 分 ②

点 O 到直线 m 的距离



…………10 分 , (舍去) …………12 分 当 方程(☆)的解为



若 当 方程(☆)的解为

…………13 分



若 所以, 38、解: (1) 当 时, 满足上式,所以数列 求导可得 的切线的斜率为 . , . 的通项公式为 点 都在函数

…………14 分

的图像上,

,

当n=1 时, (2)由 过点

…….3 分

① 由①×4,得 ② ①-②得:

………………………………………………………………..7 分 (3) 又 ,其中 是 中的最小数, . , .

是公差是 4 的倍数,

.

又 所以 ,



,解得m=27.

设等差数列的公差为

,则 ,所以 的通项公式为 …………12 分

39、解:① ---------2 分



也满足上式,





数列

是公比为 2,首项为

的等比数列

----------- 4 分

-------------- 6 分 ② ②

-------------(9 分)

于是

---------------(12 分)

40、解: (1)令



(2)



,两式相加

是等差数列

(3)


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