安徽省怀宁中学2012届5月高三模拟考试(数学文)


怀宁中学 2012 年高考模拟考试 数学(文)试卷
考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷?答题卡规定填写自己的姓名?座位号,并认真核对答题卡上所 粘贴的条形码中姓名?座位号与本人姓名?座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位. 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3. 答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整?笔 .... 迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨 ... 水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效,在试题 ......... ... 卷?草稿纸上答题无效. . ........ 4. 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷 一.选择题:本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} , B ? {x | log 0.5 x ? 0} ,则 (CU A) ? B 等于
2

A. {x | x ? 2或x ? 0} C. {x |1 ? x ? 2}
2

B. {x |1 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} B. ? 2 C.2 D.4

2.若纯虚数 z 满足 (2 ? i) z ? 4 ? b(1 ? i) (其中 i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? A. ? 4 3. 设 a ? R ,则“
a 2 a ?1 ? 0 ”是“|a|<1”成立的

? a ?1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , a11 ? a8 ? 3, S11 ? S 8 ? 3, 则使 a n ? 0 的最小正整数 n 若 的值是 A.8
2

B.9

C.10

D.11

5.抛物线 x ? 8 y 的焦点到双曲线 A. 1 B. 3

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线的距离为 12 4 3 C. 3

D.

3 6

6. ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对边长分别为 a 、 b 、 c,设向量 m ? (a ? b, s inC ) ,

? n ? ( 3a ? c, s i n ? s i n ) 若 m // n ,则角 B 的大小为 B A ? 5? ? A. B. C. 6 6 3
①若 α//β,则 l ? m ; ③若 ? ? ? ,则 l / / m ; 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2

D.

2? 3

7.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ②若 l ? m, 则? / / ? ④若 l / / m, 则? ? ? . D. 3

8.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 则判断框内应填入的条件是 A.i <4 B. i >4 C. i <5 D. i >5

1 , 63

9. 有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每 位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴 趣小组的概率为 1 A. 3 1 B. 2
2

2 C. 3

3 D. 4

10.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,其导函数 f ?( x) ? 2 ? cos x , 且 f (0) ? 0 ,则 满足 f (1 ? x) ? f ( x ? x )>0 的实数 x 的取值范围为 A. (?1,1)

, B. (?11 ? 2 )

1) C. (1 ? 2,

D. (1 ? 2 , 1 ? 2)

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11 按照下图的工序流程,从零件到成品最少要经过_______道加工和检验程序,导致废品的产 生有________种情形。

12.给出下列不等式: 1 ?

1 1 1 1 1 3 1 1 1 ? ? 1, 1? ? ? ? ? , 1 ? ? ? ? ? 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15


1 1 1 5 1 ? ? ? ? ? ? ,… ,则按此规律可猜想第 n 个不等式为 2 3 31 2
?x ? 0 ? (k为常数) , 13.设 O 为坐标原点,点 A(1,3) , B( x, y ) ,且 x, y满足 ? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
若 OA ? OB 的最大值为 8 ,则 k = ________.

14. 已知某个几何体的三视图如右图(正视图中的弧线是半 圆) ,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 表面积是______________ cm2

15、 椭圆

x2 y2 2 2 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F 2 , A B 过 F2 , 弦 且与圆 x ? y ? b a2 b2


相切于 M,若 M 是线段 AF2 的中点,则椭圆的离心率为

三、解答题:本题共 6 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(? x ?

?
3

)( x ? R, ? ? 0 )的图象如右图,P
y

是图象的最高点,Q 是图象的最低点.且 PQ ? 13 . (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)将函数 y ? f (x) 图象向右平移 1 个单位后得到函数
y ? g (x) 的 图 象 , 当 x ? [0, 2] 时 , 求 函 数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值.

P

O
(第 16 题)

x
Q

17. (本小题满分 12 分) 为了研究化肥对小麦产量的影响,某科学家将一片土地划分成 200 个 50m2 的小块,并在 100 个小块上施用新化肥,留下 100 个条件大体相当的小块不施用新化肥.下表 1 和表 2 分别是施 用新化肥和不施用新化肥的小麦产量频数分布表(小麦产量单位: kg ) 表 1:施用新化肥小麦产量频数分布表
产量 频数 [0, 10) [10,20) [20,30) 10 35 40 [30,40) 10 [40,50) 5

表 2:不施用新化肥小麦产量频数分布表
产量 频数 [0,10) [10,20) 15 50 [20,30) 30 [30,40) 5

(1)完成下面频率分布直方图;

施用新化肥后小麦产量的频率分布直方图

不施用新化肥后小麦产量的频率分布直方图

(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计施用化肥和不施用化 肥的一小块土地的小麦平均产量; (3)完成下面 2× 列联表,并回答能否有 99.5%的把握认为“施用新化肥和不施用新化肥的小 2 麦产量有差异” 小麦产量小于 20 kg 施用新化肥 不施用新化肥 合计 附: 小麦产量不小于 20 kg 合计

a=
c=

b= d=

n=
K2 = n(ad - bc) 2 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
0. 050 0. 010 0. 005 0. 001

P( K 2 ? k )

k

3. 841

6. 635

7. 879

10. 828

18. (本小题满分 12 分) 三棱锥 A ? BCD 中, E 是 BC 的中点, AB ? AD, BD ? DC (1)求证: AE ? BD ; (2)若 AE=

3 , DB ? 2 DC ? 2 AB ? 2 , 2
第(18)题图

求证:平面 ABC⊥平面 BCD

19.(本小题满分 13 分) 已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M: ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 = r 2 (r>0)关于直线 x+y+2=0 对 称. (1)求圆 C 的方程; ??? ???? ? ? (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 的最小值; (3) 过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, 且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, B, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 已知数列{ an }满足 a1 ? 2 , an ? 2an ?1 ? 2

(n ? 2) .

(1)证明:数列{ an +2}是等比数列.并求数列{ an }的通项公式 an ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log 2 (an ? 2) ,设 Tn 是数列 {

bn } 的前 n 项和. an ? 2

求证:

1 3 ? Tn ? 2 2

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? ax (a ? R) 。 x2 ? 1

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处切线的倾斜角为

? ,求实数 a 的值; 4

(Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在区间 (? , 上为单调递增函数,求实数 a 的取值范围; 1)

1 2

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记 a 的取值范围为集合 A ,对任意 a ? A ,若 x0 是函数 y ? f ( x) 的 极大值点,求 x0 ,并直接写出 x0 的最大值

怀宁中学 2012 年高考模拟考试 数学(文)参考答案
一、CABCB BCCAD 二、11.4 、3(第一个空 2 分,第一个空 3 分) ; 13.-6 ; 14. 4 ? 3? ; 15. 12. 1 ?

1 1 1 n ?1 ; ? ? ? ? n ?1 ? 2 3 2 ?1 2

5 3
y

16. 解: (Ⅰ)过点 P 作 x 轴的垂线 PM,过点 Q 作 y 轴的垂线 QM, 两直线交于点 M. 则由已知得 PM ? 2,PQ ? 13 由勾股定理得 MQ ? 3
P

?T ? 6
又T ? 2?

…………3 分

?

?? ?

?
3

O

x

M

(第 16 题)

Q

∴ y ? f (x) 的解析式为 f ( x) ? sin( (Ⅱ) g ( x) ? sin

?
3

x?

?
3

) …………5 分

?
3

x,

…………7 分

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? sin(

?
3

x?

?
3

) sin

?
3

x?

1 2? 3 ? ? sin x? sin x cos x 2 3 2 3 3

?

1 ? cos

2? x 3 ? 3 sin 2? x ? 1 sin( 2? x ? ? ) ? 1 .…………10 分 4 4 3 2 3 6 4

当 x ? [0, 2] 时, 17. (1)

2? ? ? 7? 2? ? ? 3 x ? ? [? , ], ∴ 当 x ? ? ,即 x ? 1 时 hm ax( x) ? .…12 分 3 6 6 6 3 6 2 4

施用新化肥后小麦产量的频率分布直方图

不施用新化肥后小麦产量的频率分布直方图

………………………………………4 分

(2)施用化肥的一小块土地小麦平均产量为 5× 0.1+15× 0.35+25× 0.4+35× 0.1+45× 0.05=21.5 ………………………………………6 分 不施用新化肥的一小块土地小麦平均产量为 5× 0.15+15× 0.5+25× 0.3+35× 0.05=17.5 ………………………………………7 分 (3) 小麦产量小于 20kg 施用新化肥 不施用新化肥 合计 a=45 c=65 110 小麦产量不小于 20kg b=55 d=35 90 合计 100 100 n=200

………………………………………9 分

K2 ?

200 ? (45 ? 35 ? 65 ? 55) 2 ? 8.08 , 由于 K 2 > 7.879 ,………………11 分 100 ? 100 ? 110 ? 90

所以有 99.5%的把握认为施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量有差异.……………12 分

18 解: (I)如图取 BD 的中点 F ,连 EF , AF , ∵ E 为 BC 中点, F 为 BD 中点,∴ FE / / DC . ∴ 又B D? D C BD ? FE . ∵ AB ? AD, ∴ BD ? AF

又 AF ? FE ? F , AF , FE ? 面AFE ∴ BD ? 面AFE ∵ AE ? 面AFE ,∴ AE ? BD …………6 分 (II) ? DB ? 2 , CD ? 1 ,且△BDC 为直角三角形, ∴BC= 5 ,又 E 是 BC 的中点,∴DE ? 又∵ AB ? AD ?

5 2

2 ,AE=

3 ∴ AE 2 ? DE 2 ? AD 2 ? AE ⊥DE …………8 分 2
…………10 分 …………12 分

又由(1)知 BD ? AE 且 BD ? DE ? D ,? AE ? 平面BDC 又 AE ? 平面ABC ,? 平面ABC ⊥平面 BDC

?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0, ?a ? 0, ? 19. (1)设圆心 C(a,b),则 ? 解得 ? ?b ? 0. ? b ? 2 ? 1. ?a ? 2 ? 2 2 则圆 C 的方程为 x + y = r 2 ,将点 P 的坐标代入,得 r 2 =2,
故圆 C 的方程为 x 2 + y 2 =2.

… ………2 分

… ………… ………4 分 ??? ???? ? ? (2)设 Q(x,y),则 x 2 + y 2 =2,且 PQ ? MQ =(x-1,y-1)· (x+2,y+2)= x 2 + y 2 +x ??? ???? ? ? + y - 4 = x + y - 2 , 所 以 PQ ? MQ 的 最 小 值 为 - 4( 可 由 线 性 规 划 或 三 角 代 换 求 得).……… ………8 分 (3)由题意,知直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1). ? y ? 1 ? k ( x ? 1), 由? 2 得 (1 ? k 2 ) x 2 +2k(1-k)x+ (1 ? k ) 2 -2=0. x ? y 2 ? 2, ? k 2 ? 2k ? 1 k 2 ? 2k ? 1 因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解, 故可得 x A = , 同理 xB = . 2 1? k 1? k2 y ? yA ? k ( xB ? 1) ? k ( x A ? 1) 2k ? k ( xB ? x A ) 所以 k AB = B = = =1= kOP . xB ? x A xB ? x A xB ? x A 所以直线 OP 和 AB 一定平行. … ………… ………… ………… ………13 分 20.证明: (1)由 an=2an-1+2, ∴ an ? 2 ? 2(an-1 ? 2) ∴

an ? 2 ? 2. a n ?1 ? 2

又 a1 ? 2 , ………… ………4 分 ……… ………6 分

∴ ?an ? 2? 是以a1 ? 2 ? 4为首项,以2为公比的等比数列 ∴ an ? 2=4 ? 2n ?1 ,∴ an ? 4 ? 2n ?1 ? 2 (2)证明:由 bn ? log 2 (a n ? 2) ? log 2 2
n ?1

? n ? 1, 得

bn n ?1 ? n ?1 , an ? 2 2





④ ③-④,得

1 2 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n?1 ? n? 2 2 2 2 2 2 2

……… ………8 分

……… ………10 分

Tn ?


3 n?3 ? 2 2 n ?1

所以:

Tn ?

3 bn n ?1 1 ? n ?1 ? 0 ∴{ Tn }递增, Tn ? T1 ? .又 2 an ? 2 2 2
……… ……………… ………13 分

1 3 ? Tn ? 2 2

20. f ? ? x ? ?

? 2 x ? a ? ? x2 ? 1? ? ? x 2 ? ax ? ? 2 x ?

?x

2

? 1?

2

?

?ax 2 ? 2 x ? a

?x

2

? 1?

2

--------2 分

?函数 y ? f ? x 在点 ? 2 , f ?
? f ? ? 2? ?

? 2? 处的切线的倾斜角为 ?

?4a ? 4? a 4 a ? 3 ? ?1 ? a ? ? ------------------4 分 7 25 25 ? 1 ? (Ⅱ) (法一)? 函数 y ? f ? x 在区间 ? ? ,1 ? 上为单调递增函数, ? ? 2 ? ?ax 2 ? 2 x ? a ? 1 ? ?当x ? ? ? ,1? 时,f ? ? x ? ? 0 恒成立,即 ? 0 恒成立, 2 2 ? 2 ? ? x ? 1?
?1 ? x 2 ? 0 ?即为a ? ?

? ,?切线斜率为 1, 4

2x ? 1 ? 在x ? ? ? ,1? 时恒成立 -------------------6 分 2 1? x ? 2 ?

设 h ? x? ? ?

2 ? ?1 ? x 2 ? ? ? 2 x ? ? ? ?2 x ? 1 2 x2 ? 2 ? ? ? x ? 1, ? h? ? x ? ? ? ?? ?0 2 2 2 1 ? x2 ? 1 ? x2 ? ? ?
?h ? x? ? ?
?a ?

2x ? 1 ? , x ? ? ? ,1? 2 1? x ? 2 ?

2x ? 1 ? ? 1 ? ? 1? 4 在区间? ? ,1? 上是减函数 ,-? x ? ? ? ,1? 时,h ? x ? ? h ? ? ? ? 2 1? x ? 2 ? ? 2 ? ? 2? 3

4 ------------------------------------------------------------9 分 3 ? 1 ? (法二)?函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ? ,1 ? 上为单调递增函数, ? 2 ? ?ax 2 ? 2 x ? a ? 1 ? ?当x ? ? ? ,1? 时,f ? ? x ? ? 0 恒成立,即 ? 0 恒成立, 2 ? 2 ? x 2 ? 1? ?
? 1 ? 即ax 2 ? 2 x ? a ? 0 , 当x ? ? ? ,1? 时,恒成立,------------------------6 分 ? 2 ? 2 设h ? x ? ? ax ? 2 x ? a ,
? ? 1? ?1 4 ?h ? ? ? ? 0 ? a ?1? a ? 0 ? ?4 ? a ? ,---(*) ? 2? 首先必须满足: ? ? 3 ? h ?1? ? 0 ? ? ?2 ? 0 ?
此时? a ? 0, h ? x ? ? ax ? 2 x ? a 是开口向上的二次函数,
2

? 1 ? ? 1? h ? x ? ? ax 2 ? 2 x ? a 在 ? ? ,1? 上的最大值为 h ? ? ? 或 h ?1? , ? 2 ? ? 2? ? ? 1? ?h ? ? ? ? 0 ? 2? ?只须 ? ? h ?1? ? 0 --------------------------------------------------8 分 ?

4 , 符合题意---------------------------------------9 分 3 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?ax 2 ? 2 x ? a , x2 ? (Ⅲ)由(Ⅰ) ,令 f ? ? x ? ? ? 0 ,得 x1 ? 2 a a ? x2 ? 1?
由(*)可知, a ?

4 ? a ? , 列表如下: 3 x
f ?? x? f ? x?

? ??, x1 ?
?


x1
0 极小值

? x1 , x2 ?
?


x2
0 极大值

? x2 , ?? ?
?


由表可知,当 x ? x0 时, f ? x ? 取得极大值

? x0 ? x2 ?

1 ? 1 ? a2 1 1 4? ? , 即x0 ? ? 1 ? 2 , ? a ? ? ------------------11 分 a a a 3? ? 可以判定,上述 x0 是关于 a 的减函数, 4 ? a ? 时, x0 的最大值为 2.-----------------------------------------13 分 3


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