【步步高】2014届高考数学大一轮复习 2.6 对数与对数函数配套课件 理 新人教A版


数学

R A(理)

§2.6 对数与对数函数
第二章 函数与基本初等函数 I

基础知识·自主学习
要点梳理
1.对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫 做以 a 为底 N 的对数, 记作 x=logaN,
难点正本 疑点清源

1. 对数值取正、 负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时,logab>0; 当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时 , logab<0.

a 叫做对数的底数, ____ 其中 ____ N 叫做
真数.

基础知识·自主学习
要点梳理
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)= logaM+logaN ; M ②loga N = logaM-logaN ; ③logaM = nlogaM (n∈R);
n

难点正本 疑点清源

2.对数函数的定义域及单 调性
对数函数 y=logax 的定 义域应为{x|x>0}.对数 函数的单调性和 a 的值 有关,因而,在研究对 数函数的单调性时,要 按 0<a<1 和 a>1 进行分 类讨论.

④ log a m M =

n

n mlogaM

.

基础知识·自主学习
要点梳理
(2)对数的性质 ①a
log a N

难点正本 疑点清源

2.对数函数的定义域及单 调性
对数函数 y=logax 的定 义域应为 {x|x>0}.对数 函数的单调性和 a 的值 有关,因而,在研究对 数函数的单调性时,要 按 0<a<1 和 a>1 进行分 类讨论.

= ___ N a>0 且 N ; ②logaaN = ___(

a≠1). (3)对数的重要公式

logaN logbN= logab ①换底公式:________________( a, b 均
大于零且不等于 1); 1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd= logba

logad _______.

基础知识·自主学习
要点梳理
3.对数函数的图象与性质
a>1 图 象 (1)定义域: (0,+∞) (2)值域: R 性 质 (3)过定点 (1,0) ,即 x= 1 时,y= 0 (4)当 x>1 时, y>0 (5)当 x>1 时, y<0 当 0<x<1 时, y<0 当 0<x<1 时, y>0 (6)在(0,+∞)上是 (7)在(0,+∞)上是

难点正本 疑点清源

动画展示
0<a<1

2.对数函数的定义域及单 调性
对数函数 y=logax 的定 义域应为 {x|x>0}.对数 函数的单调性和 a 的值 有关,因而,在研究对 数函数的单调性时,要 按 0<a<1 和 a>1 进行分 类讨论.

增函数

减函数

基础知识·自主学习
要点梳理
4.反函数
难点正本 疑点清源

3.关于对数值的大小比较
(1)化同底后利用函数的 单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1); (4)化同真数后利用图象

y=logax 指数函数 y=ax 与对数函数_________
互为反函数,它们的图象关于直线

y=x 对称. _________

动画展示

比较.

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
? 1? ?0, ?∪(2,+∞) 2? ?

解析

8
D

B

D

题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
计算下列各式:

【例 1】

2 ? lg 3 ? -lg 9+1· ?lg 27+lg 8-lg 1 000? 2 (1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2) ; (2) ; lg 0.3· lg 1.2

(3)(log32+log92)· (log43+log83).

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
计算下列各式:

【例 1】

2 ? lg 3 ? -lg 9+1· ?lg 27+lg 8-lg 1 000? 2 (1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2) ; (2) ; lg 0.3· lg 1.2

(3)(log32+log92)· (log43+log83).

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

(1)lg 2· lg 50 没有办法直接化简,可考虑提取公因数 lg 2.(2)将根号下配 成完全平方的形式,开根号.(3)利用换底公式,是本题的切入口.

题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
计算下列各式:

【例 1】

2 ? lg 3 ? -lg 9+1· ?lg 27+lg 8-lg 1 000? 2 (1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2) ; (2) ; lg 0.3· lg 1.2

(3)(log32+log92)· (log43+log83).

思 维 启 迪


解 析

探 究 提 高

(1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52
?3 ? lg 3+1· ?2

=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.

3? 3+3lg 2-2? ?lg 3? -2lg ? (2)原式= ?lg 3-1?· ?lg 3+2lg 2-1? 3 ?1-lg 3?·?lg 3+2lg 2-1? 2 3 = =- . 2 ?lg 3-1?· ?lg 3+2lg 2-1?
2

题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
计算下列各式:

【例 1】

2 ? lg 3 ? -lg 9+1· ?lg 27+lg 8-lg 1 000? 2 (1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2) ; (2) ; lg 0.3· lg 1.2

(3)(log32+log92)· (log43+log83).

思 维 启 迪
?lg (3)原式=?lg ? ?lg =?lg ?

解 析

探 究 提 高

2 lg 2? ?lg 3 lg 3? ?? ? + + 3 lg 9?· ?lg 4 lg 8?

2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ? 3lg 2 5lg 3 5 ?? +3lg 2?= · = . 3+2lg 3?· 2lg 2 ? ? 2lg 3 6lg 2 4

题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
计算下列各式:

【例 1】

2 ? lg 3 ? -lg 9+1· ?lg 27+lg 8-lg 1 000? 2 (1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2) ; (2) ; lg 0.3· lg 1.2

(3)(log32+log92)· (log43+log83).

思 维 启 迪

解 析

探 究 提 高

(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分 数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合 并,在运算中要注意化同底或指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数 计算、化简、证明常用的技巧.

题型分类·深度剖析
log89 变式训练 1 求值:(1) ;(2)(lg 5)2+lg 50· lg 2; log23 1 32 4 (3) lg - lg 8+lg 245. 2 49 3

log 23 32 2 (1)原式= = . log23 3
2

10 (2)原式=(lg 5) +lg(10×5)lg 5
=(lg 5)2+(1+lg 5)(1-lg 5) =(lg 5)2+1-(lg 5)2=1. 4 2 (3)原式=lg 7 -lg 4+lg(7 5)

4 2×7 5 1 =lg =lg 10=2. 7×4

题型分类·深度剖析
题型二 对数函数的图象与性质
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 2】已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数,且在(-∞, 0]上是增函数,设 a=f(log47), b=f( log 1 3), c=f(0.2-0.6), 则 a,
2

b,c 的大小关系是 A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c

(

)

题型分类·深度剖析
题型二 对数函数的图象与性质
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 2】已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数,且在(-∞, 0]上是增函数,设 a=f(log47), b=f( log 1 3), c=f(0.2-0.6), 则 a,
2

比较大小可充分利用函数的单调 性或找中间值; 利用函数图象可以 直观地得到各自变量的大小关系.

b,c 的大小关系是 A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c

(

)

题型分类·深度剖析
题型二 对数函数的图象与性质
思维启迪
2

【例 2】已知 f(x)是定义在(-∞,

解析

答案

探究提高
2

+∞)上的偶函数,且在(-∞, log 1 3=-log23=-log49,b=f( log 1 3) 0]上是增函数,设 a=f(log47), b=f( log 1 3), c=f(0.2-0.6), 则 a, =f(-log49)=f(log49),log47<log49,
2

b,c 的大小关系是 A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c

(

)

0.2

-0.6

?1? 3 5 ? ? ? 5 =5 = ? ?

125> 32=2>log49,

5

又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函 数, 且在(-∞, 0]上是增函数, 故 f(x) 在[0,+∞)上是单调递减的, ∴f(0.2-0.6)<f( log 1 3)<f(log47), 即 c<b<a.
2

题型分类·深度剖析
题型二 对数函数的图象与性质
思维启迪
2

【例 2】已知 f(x)是定义在(-∞,

解析

答案

探究提高
2

+∞)上的偶函数,且在(-∞, log 1 3=-log23=-log49,b=f( log 1 3) 0]上是增函数,设 a=f(log47), b=f( log 1 3), c=f(0.2-0.6), 则 a, =f(-log49)=f(log49),log47<log49,
2

b,c 的大小关系是 A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c

( B )

0.2

-0.6

?1? 3 5 ? ? ? 5 =5 = ? ?

125> 32=2>log49,

5

又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函 数, 且在(-∞, 0]上是增函数, 故 f(x) 在[0,+∞)上是单调递减的, ∴f(0.2-0.6)<f( log 1 3)<f(log47), 即 c<b<a.
2

题型分类·深度剖析
题型二 对数函数的图象与性质
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 2】已知 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数,且在(-∞,

0]上是增函数,设 a=f(log47), (1)函数的单调性是函数最重要的性 b=f( log 1 3), c=f(0.2-0.6), 则 a, 质,可以用来比较函数值的大小, 2 b,c 的大小关系是 A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c ( B )

解不等式等; (2)函数图象可以直观表示函数的所 有关系,充分利用函数图象解题也 体现了数形结合的思想.

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (1)(2012· 天津)已知 a=2
1.2

?1?- ,b=?2? 0.8,c=2log52, ? ?

则 a,b,c 的大小关系为 A.c<b<a
解析

( A ) C.b<a<c D.b<c<a

B.c<a<b

?1?- b=?2? 0.8=20.8<21.2=a, ? ?

c=2log52=log522<log55=1<20.8=b, 故 c<b<a.

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2)已知函数 f(x)=loga(x+b) (a>0 且 a≠1)的图象过

2 2 两点(-1,0)和(0,1),则 a=________ ,b=________.

解析 f(x)的图象过两点(-1,0)和(0,1).
则 f(-1)=loga(-1+b)=0 且 f(0)=loga(0+b)=1,
? ?b-1=1 ∴? ? ?b=a ? ?b=2 ,即? ? ?a=2

.

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有 意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得 函 数 f(x) 在 区 间 [1,2] 上 为 减 函 数, 并且最大值为 1?如果存在, 试求出 a 的值;如果不存在,请 说明理由.

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有 意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得 函 数 f(x) 在 区 间 [1,2] 上 为 减 函 数, 并且最大值为 1?如果存在, 试求出 a 的值;如果不存在,请 说明理由.

f(x)恒有意义转化为“恒成立” 问题,分离参数 a 来解决;探究 a 是否存在,可从单调性入手.

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的综合应用
思维启迪 解析

探究提高 【例 3】 已知函数 f(x)=loga(3-ax). 解 (1)∵a>0 且 a≠1, 设 t(x)=3- (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有 ax , 则 t(x) = 3 - ax 为 减 函 数 , x∈[0,2]时,t(x)最小值为 3-2a,当 意义,求实数 a 的取值范围; x∈[0,2],

(2)是否存在这样的实数 a,使得 f(x)恒有意义,即 x∈[0,2] 时, 3-ax>0 恒成立. 3 函 数 f(x) 在 区 间 [1,2] 上 为 减 函 ∴3-2a>0.∴a<2. ? 3? 数, 并且最大值为 1?如果存在,又 a>0 且 a≠1,∴a∈(0,1)∪?1, ?. 2
? ?

试求出 a 的值;如果不存在,请 (2)t(x)=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x) 为减函数, 说明理由. ∵f(x)在区间[1,2] 上为减函数,

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 已知函数 f(x)=loga(3-ax). ∴y=logat 为增函数, (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有 ∴a>1,x∈[1,2] 时,t(x)最小值为 3 意义,求实数 a 的取值范围;

-2a, f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a), ? 3 (2)是否存在这样的实数 a,使得 ? ?a<2 ?3-2a>0 ∴? ,即? , ? 函 数 f(x) 在 区 间 [1,2] 上 为 减 函 ?loga?3-a?=1 ?a=3 2 ? 数, 并且最大值为 1?如果存在,故不存在这样的实数 a,使得函数
试求出 a 的值;如果不存在,请 f(x) 在区间 [1,2] 上为减函数,并且 说明理由.
最大值为 1.

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 3】 已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有 意义,求实数 a 的取值范围;

解决对数函数综合问题时,无论是讨 论函数的性质,还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数 a∈(0,1),还

(2)是否存在这样的实数 a,使得 是 a∈(1,+∞);
无论研究函 函 数 f(x) 在 区 间 [1,2] 上 为 减 函 (2)确定函数的定义域, 数的什么性质或利用函数的某个 数, 并且最大值为 1?如果存在, 性质,都要在其定义域上进行; 试求出 a 的值;如果不存在,请 (3)如果需将函数解析式变形, 一定

说明理由.

要保证其等价性,否则结论错误.

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知函数 f(x)=loga(8-2x) (a>0 且 a≠1).

(1)若 f(2)=2, 求 a 的值; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值.
解 (1)f(2)=loga4,依题意 f(2)=2,则 loga4=2,∴a=2.


(2)由题意知 8-2x>0,解得 x<3, 由 8-2 x>0 知,x>-3,∴函数 y=f(x)+f(-x)的定义域为(-3,3).
又 y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2 x)=loga[65-8(2x+2 x)] ,
- -

65 x - ∵ 8 >2 +2 x≥2,当且仅当 x=0 时取等号,
∴0<65-8(2x+2-x)≤49,
∴当 a>1 时,函数 y=f(x)+f(-x)在 x=0 处取得最大值 loga49.

题型分类·深度剖析
思想与方法 4.数形结合思想在对数函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=loga(ax-1) (a>0 且 a≠1). 求证:(1)函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧; (2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法 4.数形结合思想在对数函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=loga(ax-1) (a>0 且 a≠1). 求证:(1)函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧; (2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)要证明 f(x)的图象总在 y 轴的一侧,说明 f(x)的自变量只能在(0, +∞)或(-∞, 0)内取值. (2)可以在 f(x)上任取两点 A(x1, y1), B(x2, y2), y2-y1 证明 k= >0 即可. x2-x1

题型分类·深度剖析
思想与方法 4.数形结合思想在对数函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=loga(ax-1) (a>0 且 a≠1). 求证:(1)函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧; (2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.

审 题 视 角 规 范 解 答 证明 (1)由 ax-1>0,得 ax>1,
∴当 a>1 时,x>0,即函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 此时函数 f(x)的图象总在 y 轴的右侧;

温 馨 提 醒
1分 3分

当 0<a<1 时,x<0,即函数 f(x)的定义域为(-∞,0), 此时函数 f(x)的图象总在 y 轴的左侧. 动画展示 ∴函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧.

5分

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数 f(x)图象上的任意两点,且 x1<x2,则直 y1-y2 线 AB 的斜率 k= . x1-x2
7分

题型分类·深度剖析
思想与方法 4.数形结合思想在对数函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=loga(ax-1) (a>0 且 a≠1). 求证:(1)函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧; (2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.

规 范 解 答 x1 -1 a x1 x2 y1-y2=loga( a -1)-loga( a -1)=loga x2 , a -1 审 题 视 角
当 a>1 时,由(1)知 0<x1<x2,∴1< a x1 < a x2 , a x1 -1 x1 x2 ∴0< a -1< a -1.∴0< x2 <1,∴y1-y2<0. a -1 又 x1-x2<0,∴k>0. 当 0<a<1 时,由(1)知 x1<x2<0,∴ a x1 > a x2 >1, ∴ a x1 -1> a x2 -1>0. a x1 -1 ∴ x2 >1,∴y1-y2<0.又 x1-x2<0,∴k>0. a -1 ∴函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.

温 馨 提 醒
8分

9分 10分

12分

题型分类·深度剖析
思想与方法 4.数形结合思想在对数函数中的应用
典例:(12 分)已知函数 f(x)=loga(ax-1) (a>0 且 a≠1). 求证:(1)函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧; (2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于 0.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

说到数形结合思想, 我们想到是更多的以“形”助“数”来解决问题. 事 实上,本题是以“数”来说明“形”的问题,同样体现着数形结合的思 想.本题的易错点:①找不到证明问题的切入口.如第(1)问,不知道求 其定义域.②不能正确进行分类讨论.若对数或指数的底数中含有参数, 一般要进行分类讨论.

思想方法·感悟提高

1.指数式 ab=N 与对数式 logaN=b 的关系以及这两种形

方 法 与 技 巧

式的互化是对数运算法则的关键.

2.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与 直线 y=1 交点的横坐标进行判定.

3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式 log a m b n n 1 =m· logab,logab=log a在解题中的灵活应用. b

思想方法·感悟提高
1.在运算性质 logaMn=nlogaM 中,要特别注意条件,在 无 M>0 的条件下应为 logaMn=nloga|M|(n∈N*,且 n 为偶数).
2. 指数函数 y=ax (a>0, 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面 理解它们之间的联系与区别.

失 误 与 防 范

3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)务必先研究函数的定义域; (2)注意对数底数的取值范围.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
?1 2

6

7

8

9

1.已知 x=ln π,y=log52,z= e ,则 A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x

(

)

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
?1 2

6

7

8

9

1.已知 x=ln π,y=log52,z= e ,则 A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x

( D )

解 析
∵x=ln π>ln e,∴x>1.
∵y=log52<log5
?1 2

1 5,∴0<y<2.
4

1 1 1 1 e ∵z= = > =2,∴2<z<1. e

综上可得,y<z<x.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

? ?log2x,x>0, 2.设函数 f(x)=? log ?-x?,x<0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取 1 ? ? 2 值范围是 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) ( )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

? ?log2x,x>0, 2.设函数 f(x)=? log ?-x?,x<0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取 1 ? ? 2 值范围是 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) ( C )

解 析
?a<0 ?a>0 f(a)>f(-a)??log2a> log 1 a 或? log 1 ?-a?>log ?-a? 2 ? ? 2 2
? ?a>0 ?? ? ?a>1 ? ?a<0 或? ? ?-1<a<0

?a>1 或-1<a<0.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是( ? 1? A.(1,+∞) B.(0,1) C.?0,3? D.(3,+∞) ? ?

)

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是( D ) ? 1? A.(1,+∞) B.(0,1) C.?0,3? D.(3,+∞) ? ?

解 析
由于 a>0,且 a≠1,∴u=ax-3 为增函数,

∴若函数 f(x)为增函数,则 f(x)=logau 必为增函数,
因此 a>1.又 y=ax-3 在[1,3] 上恒为正, ∴a-3>0,即 a>3,故选 D.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)= ln x,则有 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3 ( 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3 )

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)= ln x,则有 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3 ( C ) 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3

解 析
2-x+x 由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直线 x= =1 对称, 又当 2 x≥1 时,f(x)=ln x,所以离对称轴 x=1 距离大的 x 的函数值大,
1 1 1 1 ∵|2-1|>|3-1|>|2-1|,∴f(2)<f(3)<f(2).

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.(2012· 江苏)函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

(0, 6] . 5.(2012· 江苏)函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________

解 析
要使函数 f(x)= 1-2log6x有意义,
? ?x>0, 则? ? ?1-2log6x≥0.

解得 0<x≤ 6.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.若 f(x)=a x ? ,且 f(lg a)= 10,则 a=__________.
1 2

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.若 f(x)=a x ?

1 2

10 10 或 ,且 f(lg a)= 10,则 a=__________. 10

解 析
f(lg a)=a
∴lg(a
lg a ?
1 2

lg a ? 1 2

= 10,

1 )=lg 10=2,∴2lg2a-lg a-1=0,

1 10 ∴lg a=1 或 lg a=-2,∴a=10 或 a= 10 .

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的 取值范围是(c,+∞),其中 c=________.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的

4 取值范围是(c,+∞),其中 c=________. 解 析
∵A=(0,4],又 A?B,∴a>4.

即实数 a 的取值范围是(4,+∞),∴c=4.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x+b 8.(10 分)已知函数 f(x)=loga (a>0,a≠1,b>0). x-b (1)求 f(x)的定义域;(2)讨论 f(x)的奇偶性.

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x+b 8.(10 分)已知函数 f(x)=loga (a>0,a≠1,b>0). x-b (1)求 f(x)的定义域;(2)讨论 f(x)的奇偶性.

x+b 解 (1)要使 f(x)有意义,则 >0, x-b ∵b>0,∴x>b 或 x<-b,
∴f(x)的定义域为{x|x>b 或 x<-b}.
(2)由(1)知 f(x)的定义域关于原点对称,

解 析

?x+b? -x+b x-b x+b ? ?-1 ∵f(-x)=loga =loga =loga? ? =-logax-b=-f(x). x - b -x-b x+b ? ?

∴f(x)为奇函数.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)若函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M.当 x∈M 时,求 f(x)=2x 2-3×4x 的最值及相应的 x 的值.


解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)若函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M.当 x∈M 时,求 f(x)=2x 2-3×4x 的最值及相应的 x 的值.


解 ∵y=lg(3-4x+x2),∴3-4x+x2>0, 解 解得 x<1 或 x>3,∴M={x|x<1 或 x>3},

析 f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2.
令 2x=t,∵x<1 或 x>3,∴t>8 或 0<t<2. ? 2?2 4 2 ∴f(t)=4t-3t =-3?t-3? +3(t>8 或 0<t<2). ? ? ? 4? 由二次函数的性质可知,当 0<t<2 时,f(t)∈?-4,3?, ? ? 当 t>8 时,f(t)∈(-∞,-160), 2 2 4 x 当 2 =t=3,即 x=log23时,f(x)max=3. 2 4 综上可知,当 x=log23时,f(x)取到最大值3,无最小值.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

? 2 ? ? 1. 设 f(x)=lg?1-x+a? 则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ?是奇函数, ? ?

)

A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

? 2 ? ? 1. 设 f(x)=lg?1-x+a? 则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ?是奇函数, ? ?

A )

A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

解 析
由 f(x)是奇函数可得 a=-1,
1+x ∴f(x)=lg ,定义域为(-1,1). 1-x 1+x 由 f(x)<0,可得 0< <1,∴-1<x<0. 1-x

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

2.若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函数 f(x)的一个次不动点.设函 数 f(x)=ln x 与函数 g(x)=ex (其中 e 为自然对数的底数)的所有次 不动点之和为 m,则 A.m<0 B.m=0 C.0<m<1 D.m>1 ( )

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4
5

6

7

2.若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函数 f(x)的一个次不动点.设函 数 f(x)=ln x 与函数 g(x)=ex (其中 e 为自然对数的底数)的所有次 不动点之和为 m,则 A.m<0 B.m=0 C.0<m<1 D.m>1 ( B )

解 析
函数 f(x)=ln x 与函数 g(x)=ex 互为反函数,则它们的图象 关于直线 y=x 对称,而函数 f(x)=ln x 与函数 g(x)=ex 各 自的次不动点均在直线 y=-x 上,所以 m=0.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

3.已知函数 f(x)=ax+logax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小 值之和为 loga2+6,则 a 的值为 1 1 A. B. C.2 2 4 ( D.4 )

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

3.已知函数 f(x)=ax+logax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小 值之和为 loga2+6,则 a 的值为 1 1 A. B. C.2 2 4 ( C ) D.4

解 析
当 x>0 时,函数 y=ax,y=logax 的单调性相同,因此函数 f(x)=ax+logax 是(0,+∞)上的单调函数,f(x)在[1,2]上的 最大值与最小值之和为 f(1)+f(2)=a2+a+loga2,由题意 得 a2+a+loga2=6+loga2,即 a2+a-6=0,解得 a=2 或 a=-3(舍去).

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

4.函数 f(x)= log 1 (x2-2x-3)的单调递增区间是____________.
2

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

-∞,-1) . 4.函数 f(x)= log 1 (x2-2x-3)的单调递增区间是( ____________
2

解 析
设 t=x2-2x-3,则 y= log 1 t.
2

由 t>0 解得 x<-1 或 x>3, 故函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞). 又 t=x2-2x-3=(x-1)2-4 在(-∞,1)上为减函数, 在(1,+∞)上为增函数.
而函数 y= log 1 t 为关于 t 的减函数,
2

所以,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1).

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

1+a2 5.若 log2a <0,则 a 的取值范围是____________. 1+a

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4
?

5
?

6

7

1 1+a2 ? ,1? 5.若 log2a <0,则 a 的取值范围是____________ . ?2 ? 1+a
2 1 + a 解 析 当 2a>1 时,∵log2a <0=log2a1, 1 + a 1+a2 ∴ <1.∵1+a>0,∴1+a2<1+a, 1+a

1 ∴a -a<0,∴0<a<1,∴2<a<1. 1+a2 当 0<2a<1 时,∵log2a <0=log2a1, 1 + a 1+a2 ∴ >1.∵1+a>0,∴1+a2>1+a, 1+a ∴a2-a>0,∴a<0 或 a>1,此时不合题意. ?1 ? 综上所述,a∈?2,1?. ? ?
2

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

2 6.设函数 f(x)=logax (a>0,且 a≠1),若 f(x1x2?x2 015)=8,则 f(x1 )+ 2 f(x2 )+?+f(x2 2 015)=________.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

2 6.设函数 f(x)=logax (a>0,且 a≠1),若 f(x1x2?x2 015)=8,则 f(x1 )+ 2 16 f(x2 )+?+f(x2 2 015)=________.

解 析
f(x1x2?x2 015)=loga(x1x2?x2 015)=8,
2 2 2 2 2 f(x1 )+f(x2 2)+?+f(x2 015)=logax1+logax2+?+logax2 015

=loga(x1x2?x2 015)2=2loga(x1x2?x2 015)=16.

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升

7 4 6 5 1-x 7.(13 分)已知函数 f(x)=-x+log2 . 1+x ? 1 ? ? 1 ? (1)求 f?2 014?+f?-2 014?的值; ? ? ? ? (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存 在最小值?若存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.

解 析

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升

7 4 6 5 1-x 7.(13 分)已知函数 f(x)=-x+log2 . 1+x ? 1 ? ? 1 ? (1)求 f?2 014?+f?-2 014?的值; ? ? ? ? (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存 在最小值?若存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 1-x 1+x 解 解 (1)由 f(x)+f(-x)=log21+x+log21-x ? 1 ? ? 1 ? ?+f ?- ?=0. 析 =log21=0.∴f ? 2 014 2 014 ? ? ? ? 2 (2)f(x)的定义域为(-1,1), ∵f(x)=-x+log2(-1+ ), x+1 当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数,

∴当 a∈(0,1),x∈(-a,a]时 f(x)单调递减, 1-a ∴当 x=a 时,f(x)min=-a+log2 . 1+a


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