极坐标及参数方程知识点及高考题汇编


极坐标及参数方程知识点及例题 一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O,从 O 引一条射线 Ox,选定一个单 位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一 个极坐标系,O 点叫做极点,射线 Ox 叫做极轴 ① 极点;② 极轴;③ 长度单位;④ 角度单位和它的正方向,构成了极坐标系 的四要素,缺一不可. 2. 点 M 的极坐标: 设 M 是平面内一点, 极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的 极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角, 记为 ? 。有序数对 ( ? , ? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? , ? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 3.极坐标与直角坐标的互化: (1)互化的前提条件 ① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ② 极轴与 x 轴的正半轴重合 ③ 两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

4.曲线的极坐标方程: 1.直线的极坐标方程:若直线过点 M ( ?0 ,?0 ) ,且极轴到此直线的角为 ? ,则它 的方程为: ? sin(? ? ?) ? ?0 sin(?0 ? ?) 几个特殊位置的直线的极坐标方程

? (1)直线过极点 (2)直线过点 M(a,0) 且垂直于极轴 (3)直线过 M (b, ) 且平 2
行于极轴 方程: (1)? ? ? ( ? ? R ) 或写成 及 (2) ?cos? ? a (3)ρsinθ=b

2.圆的极坐标方程: 若圆心为 M ( ?0 ,?0 ) ,半径为 r 的圆方程为:

? 2 ? 2?0 ? cos(? ??0 ) ? ?02 ? r 2 ? 0
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,r 为半径 (2)当圆心位于 C (a,0) (a>0),a 为半径 (3)

当圆心位于 C (a, ) (a ? 0) ,a 为半径 2 方程:(1) ? ? r (2) ? ? 2acos? (3) ? ? 2asin?

?

5.在极坐标系中,? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? ( ? ? R ) 表示 过极点的一条直线.

极坐标方程典型例题 考点一 极坐标与直角坐标的互化 1.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( )

? A. (2, ) 3

? B. (2, ? ) 3

C. (2, 。

2? ) 3

? D. (2, 2k? ? ), ( k ? Z ) 3

? 2? 的极坐标为 2.点 ?2,

3.点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为________. 3π? ? 答案:?2, 4 ? ? ? 4.(2012 宁夏)已知圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,则圆心 C 的极坐标为 _______ ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) 答案: ( (2,
2? ) 3



? ? 5.把点 A(?5, ), B (3,? ) 的极坐标化为直角坐标。 6 4
6.曲线的极坐标方程 ρ=4sinθ 化 成直角坐标方程为 A.x2+(y+2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 B.x2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+y2=4

解:将 ρ= x 2 ? y 2 ,sinθ=

y x ?y
2 2

代入 ρ=4sinθ,得 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4.

∴ 应选 B. 7.在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。求圆 C 的直角坐标方程;

8.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴 建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 解析 ∵ ρ=2sin θ+4cos θ,∴ ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ. ∴ x2+y2=2y+4x,即 x2+y2-2y-4x=0. 9.化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1 B. x ? 1 ) D. y ? 1

C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1

10.极坐标方程 ρ=sinθ+2cosθ 所表示的曲线是 A.直线 B.圆 C.双曲线 ) D.一个圆 D.抛物线

11.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 12.极坐标 ρ=cos( A.双曲线 B.两条直线

C.一条直线和一个圆

?
4

? ? )表示的曲线是

B.椭圆
1 2

C.抛物线

D.圆

解:原极坐标方程化为 ρ=

(cosθ+sinθ) ? 2? 2 =ρcosθ+ρsinθ,

∴ 普通方程为 2 (x2+y2)=x+y,表示圆.应选 D. 13.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?
4? ) 3

) D. ( ?5,
5? ) 3

? B. ( ?5, ) 3

? C. (5, ) 3

14.(江西 15)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立积坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为___________。

考点二 直线的极坐标方程的应用

1.过极点且关于极轴的倾斜角是

? 2.过点 (2, ) 且与极轴垂直的直线方程为( 3
A. ? ? ?4cos ? B. ? cos ? ? 1 ? 0

? 的直线的极坐标方程是___________ 3
) C. ? sin ? ? ? 3 ) D. ? cos? ? 3 ) 。 ) 。 D. ? ? ? 3 sin ?

? 3.过点 (2, ) 且与平行于极轴的直线的极坐标方程是( 3
A. ? sin ? ? 1 B. ? cos ? ? 1

C. ? sin ? ? 3

4.已知点 P 的极坐标是 (1, ? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( 5.已知点 P 的极坐标是 (1, ? ) ,则过点 P 且平行极轴的直线方程是(

? 6.过点 (2, ) 且与极轴所成的角为? 的直线的极坐标方程是 3 7.(佛山市 2013 届高三上学期期末)在极坐标系中,直线 l 过点 (1, 0) 且与直线
?? ?
3

( ? ? R )垂直,则直线 l 极坐标方程为



? ? 答案: 2 ? sin(? ? ) ? 1 (或 2 ? cos(? ? ) ? 1 、 ? cos? ? 3? sin ? ? 1 ) 6 3 ? 8.在极坐标系中,经过点 A( 2 , ) 且垂直于 OA ( O 为极点)的直线的极坐标方 3
程是 π? ? 9.(2011· 广州测试(二))设点 A 的极坐标为?2,6?, 直线 l 过点 A 且与极轴所成的角 ? ? π 为3,则直线 l 的极坐标方程为________________. [审题视点] 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程. π? ? 【解析】∵ 点 A 的极坐标为?2,6?,∴ 点 A 的平面直角坐标为( 3,1),又∵ 直线 ? ? π π l 过点 A 且与极轴所成的角为3,∴ 直线 l 的方程为 y-1=(x- 3)tan 3,即 3x -y-2=0,∴ 直线 l 的极坐标方程为 3ρcos θ-ρsin θ-2=0,可整理为 ? π? ?π ? ? 4π? ρcos?θ+6?=1 或 ρsin?3-θ?=1 或 ρsin?θ- 3 ?=1. ? ? ? ? ? ? ? π? ?π ? ? 4π? 答案 ρcos?θ+6?=1 或 3ρcos θ-ρsin θ-2=0 或 ρsin?3-θ?=1 或 ρsin?θ- 3 ? ? ? ? ? ? ? =1.

? ? 10.在极坐标中,求两点 P ( 2, ), Q ( 2,? ) 之间的距离以及过它们的直线的极坐标 4 4
方程。

11.极点到直线 ? ? cos? ? sin? ? ? 3 的距离是________ 解析:直线 l : ? ?

_____。

?
6

( ? ? R) ? x ? 3 y ? 0 ;点 C 到直线 l 的距离是

0?2 3 2

? 3
.

3 12.在极坐标系中,点 (2, ? ) 到直线 l: 3? cos? ? 4? sin ? ? 3 的距离为 2

? 2 13.已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? ,则点(0,0)到这条直线的距离 4 2
是 . π? ? 14.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρsin θ=3,则点?2,6?到直线 l 的距离为 ? ? ________. π? ? 解析:∵ 直线 l 的极坐标方程可化为 y=3,点?2,6?化为直角坐标为( 3,1), ? ? π? ? ∴ 点?2,6?到直线 l 的距离为 2. ? ?
π π 3 2 上的点的最短距离 15.在极坐标系中,点 P (1 , ) 到曲线 l : ? cos(? ? ) ? 2 4 2





16.在极坐标系下, 已知直线 l 的方程为 ? cos( ? ? 距离为__________.

?
3

)?

1 ? , 则点 M (1, ) 到直线 l 的 2 2
3

? 17.(广州市 2013 届 3 月测试题(一) )在极坐标系中,定点 A ? ? 2, ? ? ,点 B 在直 2 ? ?

线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标为



? 11? ? 答案: ?1, ? ? 6 ?
考点三 圆的极坐标方程的应用
? 6?

?? 1.求圆心为 C ? ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程。

a ? a 2.在极坐标系中, 以 ( , ) 为圆心, 为半径的圆的极坐标方程是 2 2 2



? x ? ? cos ? , 解析:由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 ? 得 ? y ? ? sin ? ,

x2 ? y 2 ? 2x ? ? 2 ? 2? cos? ? 0 ,又 ? ? 0 ,所以 ? ? 2 cos ? .
3.在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 的交点,求圆 C 的极坐标方程. 解析:∵ 圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3? 2 ? ∴ 在 ? sin ? ? ? ? ? ? 中令? =0 ,得 ? ? 1 。 3? 2 ? ∴ 圆 C 的圆心坐标为(1,0) 。 ∵ 圆 C 经过点 P
? ?? 3 ? ?? 3

?

2,

?? 3 ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴 3? 2 4 ?

?

?

2,

? ,∴ 圆 C 的半径为 PC ? 4

?

? 2?

2

? 12 ? 2 ? 1 ? 2 cos

?
4

=1 。

∴ 圆 C 经过极点。∴ 圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos ? 。 4.极坐标方程 ρ=cosθ 和 ρ=sinθ 的两个圆的圆心距是( A. 2 答案: (D) B. 2 C. 1 D.
2 2



? 5.在极坐标系中,点 (?, ) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为 _____ ? ? 6.(2012 安徽 13)在极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 的圆心到直线 ? ? ( ? ? R ) 的距 6
离是 _____

【解析】距离是

3 圆 ? ? 4sin ? ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心 C (0, 2)


7.在极坐标系下,圆 ? ? 2 的圆心到直线 ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 的距离是 8.点 M,N 分别是曲线 ? sin ? ? 2和? ? 2cos? 上的动点,则|MN|的最小值是 _______ 。
? ? ? ? 2? 9.已知在极坐标系下,点 A?1, ?, B? 3, ? 3? ? 3 ? ? ,O 是极点,则 ?ABC 的面积等 ?





10.(汕头市 2013 届高三上学期期末)已知直线 l : ? cos ? ? ? sin ? ? 4 , 圆 C : ? ? 4 cos ? , 则直线 l 与圆 C 的位置关系是________. (相交或相切或相离?) 答案:相交 11.在极坐标系中,已知圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切,求实数 a 的 值。 解析: ? 2 ? 2?cos? ,圆 ρ=2cosθ 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 2x,( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 的普通方程为: 3x ? 4 y ? a ? 0 , 又圆与直线相切,所以
| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? a | 32 ? 42 ? 1, 解得: a ? 2 ,或 a ? ?8 。

12.(梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)在极坐标系中,圆 ? =2 上的点到直

? 线 ? sin(? ? ) =3 的距离的最小值是____ 6
答案:1 13.(肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟)在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直 线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值为__▲__ 答案:1 14.(2011· 西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos θ =-1 的交点的极坐标为________. 解析 ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,ρcos θ=-1 的直角坐标方程

?

?

2 2 ?x +y -2y=0, ?x=-1, ? 为 x=-1,联立方程,得 解得? 即两曲线的交点为 ?x=-1, ?y=1,

3π? ? (-1,1),又 0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为? 2, 4 ?. ? ? 15.已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 ,

? ? 4cos ? ? ? ≥ 0, 0 ≤? ? ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 2
?

? ?

π?



?? ? 2 3 ? ? cos ? ? 3 ? ? 解析:联立解方程组 ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) 解得 ? ? ,即两曲线的交点为 2 ? ? ? 4cos ? ?? ? 6 ?
(2 3, ) 。 6

?

16.(肇庆市 2013 届高三上学期期末)在极坐标系 ? ? ,? ? ( ? ? 0, 0 ? ? ? 曲线 ? ? 2sin ? 与 ? ? 2 cos ? 的交点的极坐标为_____

? )中, 2

?? ? 解析: ? 2, ? 4? ? ?? ? 标为 ? 2, ? 4? ?

两式相除得 tan ? ? 1 ? ? ?

?
4

? ? ? 2sin

?
4

? 2 ,交点的极坐

在极坐标系中,若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ρ=4cos θ 于 A、B 两 17. 点,则|AB|=________. [审题视点] 先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程, 再利用圆的知识求|AB|. 【解析】注意到在极坐标系中,过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是 x=1, 曲线 ρ=4cos θ 的直角坐标方程是 x2+y2=4x, 即(x-2)2+y2=4, 圆心(2,0) 到直线 x=1 的距离等于 1,因此|AB|=2 4-1=2 3.

18.在极坐标中, 若过点 (3,0) 且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A 、 B 两点, 则 AB = 。

19.在极坐标系中,直线 ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦长为

20.(惠州市 2013 届高三上学期期末)直线 2? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦 长为 .

解析:直线 2? cos? ? 1 与圆 ? ? 2 cos? 的普通方程为 2 x ? 1和( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,圆 心到直线的距离为 1 ?

1 1 1 ? ,所以弦长为 2 1 ? ( ) 2 ? 3 2 2 2


21.(2012 陕西)直线 2? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为

?1 ? 【解析】 2? cos ? ? 1 是过点 ? ,0 ? 且垂直于极轴的直线, ? ? 2 cos ? 是以 ?1,0? 为 ?2 ?
?1? 圆心,1 为半径的圆,则弦长= 2 1 ? ? ? ? 3 . ?2?
2

22.(湛江市 2013 届高三上学期期末)在极坐标系中,直线 ? sin ? ?

2 与圆 2

? ? 2 cos ? 相交的弦长为____
答案: 2 ? π? 23.(2011· 广州调研)在极坐标系中,直线 ρsin?θ+4?=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为 ? ? ________. 2 ? π? 解析 由 ρsin?θ+4?=2,得 2 (ρsin θ+ρcos θ)=2 可化为 x+y-2 2=0.圆 ρ=4 ? ? 可化为 x2+y2=16,由圆中的弦长公式得:2 r2-d2=2 ?2 2?2 ? =4 3. 42-? ? 2?

24. (江门市 2013 届高三上学期期末) 以直角坐标系 Oxy 的坐标原点为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2? ) ,曲线 C 的极坐标方程是

? ? 2 ,正六边形 ABCDEF 的顶点都在 C 上,且 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 依逆时
针次序排列。若点 A 的极坐标为 ( 2 , 答案: (?1 ,

? ) ,则点 B 的直角坐标为 3



3)

考点四

极坐标方程的综合应用

25.如图,在圆心的极坐标为 A(4,0),半径为 4 的圆中,求过极点 O 的弦的中点 的轨迹. [审题视点] 在圆上任取一点 P(ρ0,θ0),建立 P 点与 P 的中点 M 的关系即可. 【解析】设 M(ρ,θ)是所求轨迹上任意一点.连接 OM 并延长交圆 A 于点 P(ρ0, θ0), 则有 θ0=θ, ρ0=2ρ.由圆心为(4,0), 半径为 4 的圆的极坐标方程为 ρ=8cos θ, 得 ρ0=8cos θ0.所以 2ρ=8cos θ,即 ρ=4cos θ.故所求轨迹方程是 ρ=4cos θ.它表 示以(2,0)为圆心,2 为半径的圆.

二、参数方程知识点 1.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,若曲线 C 上的点 P( x, y ) 满足 ? ? 该方程叫曲线 C 的参数方程,变量 t 是参变数,简称参数。
x ? f (t ) ? y ? f (t )



(在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值, 由这个方程所确定的点 M ( x, y) 都在这条 ? ? y ? g (t ),
曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做 参变数,简称参数。 )

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2.曲线的参数方程 (1)圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? ? y ? b ? rsin? .
x2 y2 (2)椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 a b

? x ? acos? , (?为参数) . ? ? y ? bsin?.

?x ? 2 pt2 , (3)抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为 ? (t为参数) . ? y ? 2 pt.
2

(4)经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为

? x ? xo ? tcos? , ( t 为参数). ? ? y ? y o ? tsin? .
3.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普 通方程的互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致.

规律方法指导: 1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法. 常 见的消参方法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法; 比值消参法;利用恒等式消参法;混合消参法等.

2、把曲线 的普通方程

化为参数方程的关键:一是适当选取参数;

二是确保互化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范围。 参数方程典型例题 考点一 参数方程与普通方程的互化

1.把下列参数方程化为普通方程: ?x=3+cos θ, (1)? ?y=2-sin θ; 1 x=1+2t, ? ? (2)? 3 y = 5 + ? ? 2 t.

?cos θ=x-3, 解析:(1)由已知? 由三角恒等式 cos2 θ+sin2θ=1, ?sin θ=2-y, 可知(x-3)2+(y-2)2=1,这就是它的普通方程. 3 (2)由已知 t=2x-2,代入 y=5+ 2 t 中, 3 得 y=5+ 2 (2x-2),即 3x-y+5- 3=0 就是它的普通方程. 2.经过点 M(1,5)且倾斜角为 数方程是( )
1 ? x ? 1? t ? 2 ? B. ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ? 1 ? x ? 1? t ? 2 ? C. ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ? ? 3 y ? 1? t ? ? 2 D. ? ?x ? 5 ? 1 t ? 2 ?

? 的直线,以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参 3

1 ? x ? 1? t ? 2 ? A. ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6

,写出直线 l 的参数方程;

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 . 解析:直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2

? x ? 1 ? 2t 4.若直线的参数方程为 ? (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
2 A. 3



B. ?

2 3

C.

3 2

D. ?

3 2

x ? 3 ? 4t 5.直线 ? (t为参数) 的斜率为______________________。 ? ? y ? 4 ? 5t

t ? x ? 2? ? ? 2 ( t 为参数) 6.设直线参数方程为 ? ,则它的斜截式方程为 3 ?y ? 3 ? t ? 2 ?



? x ? 3t 2 ? 2 7.曲线的参数方程为 ? (t 是参数),则曲线是( 2 y ? t ? 1 ?
A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线



?x=-1-t, 8.极坐标方程 ρ=cos θ 和参数方程? (t 为参数)所表示的图形分别是 ?y=2+t ( ). B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线

A.直线、直线

x x 解析:∵ ρcos θ=x,∴ cos θ=ρ代入到 ρ=cos θ,得 ρ=ρ,∴ ρ2=x,∴ x2+y2=x ?x=-1-t, ? 表示圆.又∵ 相加得 x+y=1,表示直线.答案 ?y=2+t, D

4 ? x ? 3? t ? ? 5 9.若直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),则过点(4,-1)且与 l 平行的直线 ? y ? ?2 ? 3 t ? 5 ?

在 y 轴上的截距为

.

?x=1-2t, 10.若直线? (t 为实数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k=________. ?y=2+3t ?x=1-2t, 解析:参数方程? 所表示的直线方程为 3x+2y=7,由此直线与直线 ?y=2+3t, 3 ? 4? ?- k?=-1,解得 k=-6. 4x+ky=1 垂直可得-2× ? ? 11.方程 ?
? x ? ?1 ? t cos ? (t 为非零常数, 表示的曲线是 ? 为参数) ? y ? 3 ? t sin ?

( D.双曲线

)

A.直线

B.圆

C.椭圆

12.(东莞市 2013 届高三上学期期末)在直角坐标系 xOy 中,圆以 C 的参数方程
? x ? 3 ? cos ? ? 是? ( ? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? ? y ? 1 ? sin ?

则圆心 C 的极坐标是



? 答案: (2, ) 6
考向二 直线与圆的参数方程的应用

? x ? 2 cos? 13.直线:3x-4y-9=0 与圆: ? ,(θ 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
A.相切 B.相离 C.直线过圆心

)

D.相交但直线不过圆心

?x=2t, 14.(2011· 广州调研)已知直线 l 的参数方程为:? (t 为参数),圆 C 的极 ?y=1+4t 坐标方程为 ρ=2 2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为________.

?x=2t, 解析:将直线 l 的参数方程:? 化为普通方程得,y=1+2x,圆 ρ=2 2 ?y=1+4t sin θ 的直角坐标方程为 x2+(y- 2)2=2,圆心(0, 2)到直线 y=1+2x 的距离 为 2-1 ,因为该距离小于圆的半径,所以直线 l 与圆 C 相交. 1+4

答案 相交 15.在平面直角坐标系中, 以坐标原点 O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系。已知直线 l 上两点 M , N 的极坐标分别为 (2,0), (
? x ? 2 ? 2 cos? (? 为参数) 。 ? y ? ? 3 ? 2 sin ? ?

2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程 3 2

(Ⅰ )设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ )判断直线 l 与圆 C 的位置关系。

【解析】 (Ⅰ )由题意知 M (2, 0), N (0,
3 x. 3

2 3 3 ) ,因为 P 是线段 MN 中点,则 P (1, ) 3 3

因此 OP 直角坐标方程为: y ?

(Ⅱ )因为直线 l 上两点 M (2, 0), N (0,

2 3 ) 3

∴l 垂直平分线方程为: 3x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,圆心 (2, ? 3) ,半径 r ? 2 .
?d ? 2 3 ?3 3 ?2 3 3?9 ? 3 ? r ,故直线 l 和圆 C 相交. 2

? x ? 4 ? at 16.若直线 ? ( (t 为参数)与圆 x2+y2-4x+1=0 相切,则直线的倾斜角为 ? y ? bt

? 2? ? 2? ? 5? B. C. 或 D. 或 3 3 3 3 3 3 17.已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4sin ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极
A.

? 2 t ?x ? ? 2 轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程是 ? (t为 2 ?y ? ? 4? t ? ? 2
参数) ,点 P 是曲线 C 上的动点,点 Q 是直线 l 上的动点,求| PQ |的最小值. 解:曲线 C 的极坐标方程 ? ? 4sin ? 可化为 ? 2 ? 4? sin ? , 其直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,即 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 . 直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 .所以,圆心到直线 l 的距离 d ? 所以, PQ 的最小值为 3 2 ? 2 .

?2 ? 4 2

?3 2

? x ? 2 ? cos? 18.(茂名市 2013 届高三上学期期末)已知曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为 ? y ? sin ?
参数),则曲线 C 上的点到直线 3x-4y+4=0 的距离的最大值为 答案:3 。

3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 19.已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? , 设直线 L 的参数方程是 ? ,( t 4 ?y? t 5 ?

为参数) . (Ⅰ )将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ )设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 解析: (1)曲线 C 的极坐标方程可化为: ? 2 ? 2? sin? 又 x2 ? y2 ? ? 2 ,

x ? ? cos? ,

y ? ? sin? . x2 ? y2 ? 2 y ? 0 .

所以,曲线 C 的直角坐标方程为:

4 (2)将直线 L 的参数方程化为直角坐标方程得: y ? ? ( x ? 2) 3

令 y ? 0 得 x ? 2 即 M 点的坐标为 ( 2,0) 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 (0,1) ,半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 ∴ MN ? MC ? r ? 5 ? 1

? x ? 3 cos? ?x ? 2 ? t 20.(北京 9).直线 ? (t 为参数)与曲线 ? (? 为参数)的交点个数 ? y ? 3 sin ? ? y ? ?1 ? t
为______。 【解析】直线的普通方程 x ? y ? 1 ? 0 ,圆的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 9 ,可以直线圆 相交,故有 2 个交点。 21.(湖南省 9)在直角坐标系 xoy中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos? , (? 为 ? y ? 1 ? sin ?

参数).在极坐标系(与直角坐标系 xoy取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 2 的方程为 ? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 ,则 C1 与 C 2 的 交点个数为 .[

? x ? t ? 1, 22.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ? (t 为参数)与曲线 C 2 : ? y ? 1 ? 2t ? x ? a sin ? , ( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ . ? ? y ? 3cos ?

? x ? t ? 1, 3 【解析】曲线 C1 : ? 直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x ,与 x 轴交点为 ( , 0) ; 2 ? y ? 1 ? 2t ? x ? a sin ? , x2 y 2 ? 1, 曲线 C 2 :? 直角坐标方程为 2 ? 其与 x 轴交点为 (?a, 0), (a, 0) , a 9 ? y ? 3cos ?
由 a ? 0 ,曲线 C1 与曲线 C 2 有一个公共点在 X 轴上,知 a ?
3 . 2

23.(2010 年高考陕西卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方

? x ? cos? 程? ( ? 为参数),以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 ? y ? 1 ? sin ?
l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 1 ,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 __________ __ .

【答案】 ?? 1,1?, ?1,1? 【解析】由题设知,在直角坐标系下,直线 l 的方程为 y ? 1 ,圆 C 的方程为

x 2 ? ? y ? 1? ? 1.
2

? x 2 ? ? y ? 1?2 ? 1 ? x ? ?1 ? x ? 1 又解方程组 ? ,得 ? 或? . y ?1 ?y ? 1 ? y ?1 ?

故所求交点的直角坐标为 ?? 1,1?, ?1,1? .
? ?x ? t (t 是参数) 24.在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 C1 : ? y ? t ? ?

? ? x ? 2 cos ? (? 是参数) 和 C2 : ? ,它们的交点坐标为_______. y ? 2 sin ? ? ?

【解析】 C1 : y2 ? x( y ? 0), C2 : x2 ? y 2 ? 2 解得:交点坐标为 (1,1)
? x?t 25.(增城市 2013 届高三上学期期末)曲线 ? ( t 为参数且 t ? 0 )与曲线 ?y ? t ?1

? x ? cos? ( ? 为参数)的交点坐标是 ? ? y ? cos 2? ? 1
答案: (1,2)



?x=1+t, 26.已知直线 l 的参数方程为? (参数 t∈ R),圆 C 的参数方程为 ?y=4-2t

?x=2cos θ+2, ? (参数 θ∈ [0,2π]),求直线 l 被圆 C 所截得的弦长. ?y=2sin θ ?x=1+t, 解 由? 消参数后得普通方程为 2x+y-6=0, ?y=4-2t ?x=2cos θ+2, 由? 消参数后得普通方程为(x-2)2+y2=4,显然圆心坐标为 ?y=2sin θ (2,0),半径为 2.由于圆心到直线 2x+y-6=0 的距离为 d= ?2 5?2 8 5 ?= 22-? 5 . ? 5 ? |2× 2+0-6| 2 5 = 5 , 22+1

所以所求弦长为 2

? x ? 1 ? 3t 27.已知直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 ? y ? 2 ? 4t
A(1, 2) ,则 AB ? _______________。
? 28.直线 ? ? 1 t 2 2 (t为参数) 被圆 x ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2 x ? 2?

? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。

29.(珠海市 2013 届高三上学期期末)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 :

?x ? t ? 2 ? x ? 3 cos ? , (为参数)与曲线 C2 : ? ,( ? 为参数)相交于两个点 A 、 ? ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3 sin ?
B ,则线段 AB 的长为

.

答案:4

? x ? cos ? , (? 30. (广州市 2013 届高三上学期期末) 已知圆 C 的参数方程为 ? y ? sin ? ? 2 , ?
为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程 为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1, 则直线 l 截圆 C 所得的弦长是 答案: 2 .

?x ? t ?1 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正方向为 31.已知直线 l 的方程为 ? ? y ? t ?1
极轴的极坐标中,圆的极坐标方程为 ? ? 2 ,则 l 与该圆相交所得弦的弦长





32.以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中 取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ? ?

?
4

( ? ? R ) ,它与曲线

? x ? 1 ? 2cos ? ( ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|=_______. ? y ? 2 ? 2sin ? ?

33.在直角坐标系 xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则
? x ? ?2 ? t 2 直线 ? (t为参数) 和截圆 ? ? 2? cos? ? 3 ? 0 的弦长等于_________. ? y ? 1? t

? x ? 1 ? s, 34.在平面直角坐标系中, 已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别为 l :? (s ? y ? 1? s

? x ? t ? 2, 为参数)和 C : ? ( t 为参数) ,若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 2 ?y ? t

AB ?



? x ? 3 ? 5cos ? ? x ? ?2 ? t (? 为参数,? ?[0,2? )) 所截得的 35.直线 ? (t为参数) 被圆 ? ? y ? ?1 ? 5sin ? ? y ? 1? t
弦长为 .

考点三 直线与圆锥曲线的参数方程 ?x=5cos θ, 1.二次曲线? (θ 是参数)的左焦点的坐标是________. ?y=3sin θ x2 y2 解析 题中二次曲线的普通方程为25+ 9 =1 左焦点为(-4,0).

? x ? 5cos ? 2. (江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? ( ? 为参数)的右焦 ? y ? 3sin ?

? x ? 4 ? 2t 点,且与直线 ? ( t 为参数)平行的直线的普通方程. ?y ? 3?t

3.(湖北 16)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系. 已知射线 ? ?
? x ? t ? 1, π 与曲线 ? (t 为参数)相交于 A,B 两点, 2 4 ? y ? (t ? 1)

则线段 AB 的中点的直角坐标为
π 4

.
? x ? t ? 1, ? y ? (t ? 1)

解析: 将参数方程 ? ? ? 在直角坐标系下的一般方程为 y ? x( x ? R) ,

2

(t

为参数) 转化为直角坐标系下的一般方程为 y ? (t ? 1) 2 ? ( x ? 1 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 表示 一条抛物线,联立上面两个方程消去 y 有 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点及其中点

P 的横坐标分别为 x A、xB、x0 ,则有韦达定理 x0 ?
5 5 直线 y ? x 上,因此 AB 的中点 P( , ) . 2 2

x A ? xB 5 ? ,又由于点 P 点在 2 2

2007-2013 年广东省高考真题《极坐标与参数方程》文科 2007 年文科 第14题. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? 3 ,

? 则点 (2, ) 到直线 l 的距离为 6
【答案】2



第15题. (几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,
BC ? 3 过 C 作圆的切线 l ,过A作 l 的垂线AD,垂足为D, 则∠ DAC=



【答案】 30?

2008 年文科

第 14 题. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为

? ? cos ? ? 3, ? ? 4cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) ,则曲线 C1 C2 交点的极坐标为 2



?? ? 2 3 ? ? cos ? ? 3 ? ? 【答案】 通过联立解方程组 ? 即两曲线的 ( ? ? 0,0 ? ? ? ) 解得 ? ? , 2 ? ? ? 4cos ? ?? ? 6 ?

? 交点为 (2 3, ) . 6
第 15 题. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切点,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于 B 点,PB=1,则圆 O 的半径 R= 【答案】 依题意, 我们知道 ?PBA ?PAC , 由相似三角形的性质我们有 即R? .
PA PB ? , 2 R AB

PA ? AB 2 ? 22 ? 12 ? ? 3. 2PB 2 ?1

2009 年文科

? x ? 1 ? 2t 第 14 题. (坐标系与参数方程选做题)若直线 ? ( t 为参数)与直线 ? y ? 2 ? 3t
4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k =________.

【答案】 ?6

? x ? 1 ? 2t 3 7 3 【解析】将 ? 化为普通方程为 y ? ? x ? ,斜率 k1 ? ? , 2 2 2 ? y ? 2 ? 3t
当 k ? 0 时,直线 4 x ? ky ? 1 的斜率 k2 ? ?
k ? ?6 ,

4 ? 3? ? 4? ,由 k1k2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 得 k ? 2? ? k ?

3 7 当 k ? 0 时,直线 y ? ? x ? 与直线 4 x ? 1 不垂直,综上可知, k ? ?6 . 2 2

第 15 题. (几何证明选讲选做题) 如图 3, 点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且 AB ? 4 ,
?ACB ? 30o ,则圆 O 的面积等于



【答案】 16? 【解析】连结 AO,OB,因为 ?ACB ? 30o ,所以 ?AOB ? 60o , ?AOB 为等

边三角形,故圆 O 的半径 r ? OA ? AB ? 4 ,圆 O 的面积 S ? ? r 2 ? 16? .

2010 年文科 第 14 题. (几何证明选讲选做题) 如图 3, 在直角梯形 ABCD 中, DC∥ AB, CB⊥ AB, AB=AD=a,CD= 【答案】
a 2
a ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= 2



第 15 题. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ, ? )( 0 ? ?<2? )中,曲线

? ? cos? ? sin ? ? ? 1 与 ? ?sin ? ? cos? ? ? 1的交点的极坐标为
? 【答案】 (1, ) 2
2011 年文科 第 14 题. (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为



5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? (0≤?<? ) 和 ? 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? ? ? y ? sin ? ? ?y ? t



?x ? 1 4 ? x2 2 2 【答案】化为普通方程分别为 ? y ? 1( x ? 0) , y ? x ,联立解得 ? 2 5, 5 5 ?y ? 5 ?
∴ 交点(1,
2 5 ) . 5

CD,AB=4, 第 15 题. (几何证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD=2,E、F 分别为 AD、BC 上点,且 EF=3,EF∥ AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 .
E A D C F

AB∥ CD,AB=4,CD=2, EF=3,EF∥ AB,∴ 2EF=AB+CD, 【答案】∵

∴ EF 是梯形 ABCD 的中位线, 设梯形 ABCD 的高为 2h , 则

S梯形ABEF S梯形EFCD

(4+3) h 7 2 = = . (3 ? 2) h 5 2

B

2012 年文科 第 14 题. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 和 C2 的

? 2 x ? 1? t ? ? x ? 5 cos ? ? ? ? 2 (? 是参数, 0 ? ? ? )和 C2 : ? (t 是 参数方程分别为 C2 : ? 2 ? ?y ? ? 2 t ? y ? 5 sin ? ? ? 2
参数) , 它们的交点坐标为 【答案】 (2,1) 第 15 题. (几何证明选讲选做题)如图 3 所示,直线 PB 与圆 O 想切于点 B ,D 是 弦 AC 上的点, ?PBA ? ?DBA ,若 AD ? m, AC ? n ,则 AB ? 【答案】 mn . .

2013 年文科 第14题. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? .以 极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程 为 .

? x ? 1 ? cos ? 【答案】 ? ( ? 为参数) y ? sin ? ?
第 15 题. (几何证明选讲选做题)如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 ,
BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ?



B

C

【答案】

21 2
E A 图 3 D


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