河南省豫南九校2015届高三上期第二次联考数学(文)试题 (解析版)


河南省豫南九校 2015 届高三上期第二次联考数学(文)试 题 (解析版)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2﹣i)的模|z|=( ) A. 1 B. C. 分析:根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论. 解答: 解:∵z=i(2﹣i)=2i+1, ∴|z|= ,

D.3

故选:C. 点评:本题主要考查复数的有关概念的计算,比较基础. 2.已知集合 A={x|x ﹣x﹣2≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=( ) A. [﹣1,2] B.[﹣2,﹣1] C.[﹣1,1] D.[1,2] 分析:求出 A 中不等式的解集确定出 A,再由 B,求出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x+1) (x﹣2)≥0, 解得:x≤﹣1 或 x≥2,即 A=(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) , ∵B=[﹣2,2) , ∴A∩B=[﹣2,﹣1]. 故选:B. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递减的是( A. y=sinx B.y=﹣x +
2 2

) D.y=e
|x|

C.y=﹣x

3

分析:对选项根据函数的奇偶性和单调性,一一加以判断,即可得到既是奇函数,又在(0, +∞)上单调递减的函数. 解答: 解:对于 A.y=sinx 是奇函数,在(2k 递减,故 A 错; 对于 B.y=﹣x
2

,2k

) (k 为整数)是单调

,定义域为{x|x≠0,且 x∈R},但 f(﹣x)=﹣x ﹣ ≠=﹣(﹣x

2

2

) ,则

不是奇函数,故 B 错; 3 2 对于 C.y=﹣x ,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,且 y′=﹣3x ≤0,则既是奇函数,又在(0,+∞)上 单调递减,故 C 对; 对于 D.y=e ,有 f(﹣x)=e =f(x) ,则为偶函数,故 D 错. 故选 C. 点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 判断单调性可用多种方法, 证明时只能用 单调性定义和导数法.
|x| |﹣x|

4.某班的全体学生参加某项技能测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为: [20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100],若不低于 80 分的人数是 8,则该班的学生人数 是( )

A. 45

B.50

C.55 ,求出样本容量来.

D.60

分析:根据频率分布直方图,利用频率= 解答: 解:根据频率分布直方图,得; 不低于 80 分的频率是 0.015×10=0.15, ∴该班人数是 =60.

故选:D. 点评:本题考查了频率分布直方图的应用问题, 解题时应根据频率、 频数与样本容量的关系 进行解答,是基础题. 5.下面几个命题中,真命题的个数是(
2


2

①命题“?x0∈R,x0 +1>3x0”的否定是“?x∈R,x +1≤3x; ②“方程 x+ =a 有解”是“a≥2”的必要不充分条件;

③设函数 f(x)=
2 2

,总存在 x∈(﹣∞,﹣1)使得 f(x)≥0 成立;

④若 a,b∈[0,2],则不等式 a +b < 成立的概率



A. 1 B.2 C.3 D.4 考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用;概率与统计;简易逻辑. 分析: ①特称命题的否定要特称改全称,同时否定结论,正确;②利用基本不等式求解 “方程 x+ =a 有解”然后判断充要条件;③x∈(﹣∞,﹣1)时,f(x)=﹣x +2x, 在(﹣∞,﹣1)上单调递增,f(x)≥0 不恒成立;④考察几何概型,若 a,b∈[0,2]围成 边长为 2 的正方形, 则不等式 a +b < 围成以原点为圆心, 半径为 的圆 (不包括圆周部分) 第一象限部分,求面积比. 2 2 解答: 解:①命题“?x0∈R,x0 +1>3x0”的否定是“?x∈R,x +1≤3x”,正确; ②当 x>0 时,x+ ≥2 =2;当 x<0 时,x+ =﹣[(﹣x)+ ]≤﹣2,
2 2 2

则“方程 x+ =a 有解”?“a≥2,或 a≤﹣2”是“a≥2”的必要不充分条件,正确;

③函数 f(x)=

,当 x∈(﹣∞,﹣1) ,f(x)=﹣x +2x 是二次函数,

2

图象开口向下,对称轴为 x=1,在(﹣∞,﹣1)上单调递增,f(x)∈(﹣∞,﹣3) ,③错 误; ④a,b∈[0,2],为直线 x=0,x=2,y=0,y=2 围成的正方形区域,面积为 4; a +b <1/4 为以原点为圆心,半径为 的圆(不包括圆周部分)而 a≥0,b≥0,只有第一象限,
2 2

它面积为

=

∴根据几何概型得 P=

=

,④错误;

故选:B. 点评:综合考察了特称命题的否定,不等式,充要条件,分段函数,二次函数,几何概型, 知识点较多,容易出错,属于难题. 6.在等比数列{an}中,a1=27,a4=a3a5,则 a6=( ) ﹣2 ﹣3 8 A. 3 B.3 C.3 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列.
3 2 4
﹣1

D.3

9

分析:由已知得 27q =27?q ×27?q ,从而 q=3 ,由此能求出 a6. 解答: 解:∵在等比数列{an}中,a1=27,a4=a3a5, 3 2 4 ∴27q =27?q ×27?q , ﹣1 解得 q=3 , ﹣5 ﹣2 5 ∴a6=27q =27?3 =3 . 故选:A. 点评:本题考查数列的第 6 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的通项 公式的合理运用.

7.将函数 h(x)=2sin(2x+ 函数 f(x)的图象,则 f(

)的图象向右平移 )=( )

个单位,再向上平移 2 个单位,得到

A. 4 B.2﹣ 考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:常规题型;三角函数的图像与性质. 分析:函数 h(x)=2sin(2x+ +

C.

﹣2

D.2+

)的图象向右平移

个单位,得到函数 y=2sin[2(x﹣ )+2 的图象;代入 x=



]的图象;再向上平移 2 个单位,得到函数 f(x)=2sin(2x﹣ )的值.

求出 f(

解答: 解:将函数 h(x)=2sin(2x+ ﹣ )的图象;

)的图象向右平移

个单位,得到函数 y=2sin(2x

再向上平移 2 个单位,得到函数 f(x)=2sin(2x﹣ ∴f( )=2sin(2× . ﹣ )+2=

)+2 的图象;

故答案为 2+

点评:本题的易错点是函数 h(x)=2sin(2x+ y=2sin[2(x﹣ )+

)的图象向右平移 +

个单位,得到函数

]的图象;而不是函数 y=2sin(2x﹣
2 3 4 5

)的图象.

8.如图,程序框图所进行的是求 2+2 +2 +2 +2 的和运算,则①处条件是(



A. n>6 B.n<5 C.n>5 D.n<6 考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,写出每次循环得到的 S,n 的值,当第 5 次执行循环体,有 2 3 4 5 S=2+2 +2 +2 +2 ,n=6,此时应该退出循环,故①处条件是 n<6. 解答: 解:执行程序框图,有 n=1,S=0 第 1 次执行循环体,有 S=2,n=2 2 第 2 次执行循环体,有 S=2+2 ,n=3 2 3 第 3 次执行循环体,有 S=2+2 +2 ,n=4 2 3 4 第 4 次执行循环体,有 S=2+2 +2 +2 ,n=5 2 3 4 5 第 5 次执行循环体,有 S=2+2 +2 +2 +2 ,n=6 由题意,此时退出循环,输出 S 的值, 综上,则①处条件是 n<6 故答案为:D. 点评:本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题. 9.已知双曲线 kx ﹣y =1(k>0)的一条渐近线与直线 2x+y﹣3=0 垂直,则双曲线的离心 率是( )
2 2

A.

B.

C.4

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析:已知双曲线 kx ﹣y =1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,可求出渐近线的斜率, 由此求出 k 的值,得到双曲线的方程,再求离心率. 解答: 解:由题意双曲线 kx ﹣y =1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,可得渐近线的 斜率为 , 又由于双曲线的渐近线方程为 y=± 故 = ,∴k= , ,由此得双曲线的离心率为 , x
2 2

∴可得 a=2,b=1,c=

故选:A. 点评:本题考查直线与圆锥曲线的关系,解题的关键是理解一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂 直,由此关系求 k,熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证.

10.已知函数 f(x)=( ) ﹣log

x

x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,

则 f(x1)的值( ) A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:作图题;函数的性质及应用. 分析:方程的解化为函数图象与 x 轴的交点,作图从而得到答案. 解答: 解:函数 f(x)=( ) ﹣log
x

D.不大于零

x 的图象如下图:

则由题意可知,f(x1)的值恒为负, 故选 A. 点评:本题考查了函数的零点与方程的根的关系及作图能力,属于基础题.

11.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直 观图,该几何体为圆锥的 . 解答: 解:由题意,该几何体为圆锥的 , 其底面面积为 ×π×2 =π,高为 4, 则其体积 V= ×π×4= ,
2

故选 B. 点评:三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直 观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力. 12.已知点 O 是平面上的一定点,△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若动 点 P 满足 ﹣ =λ(b +c ) ,λ∈(0,+∞) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的( D.外心 )

A.重心 B.垂心 C.内心 考点:向量加减混合运算及其几何意义;三角形五心. 专题:平面向量及应用. 分析:由题意,得出 =λ(b +c )=λbc( + ) , 、

是单位向量,

得出

是∠BAC 的平分线,即得结论. ﹣ =λ(b ) ; +c ) ,λ∈(0,+∞) ,

解答: 解:根据题意,在△ ABC 中,动点 P 满足 ∴ =λ(b +c )=λbc( + )=λbc( +





是单位向量,∴

+

在∠BAC 的角平分线上,

∴λbc(

+

)也在∠BAC 的角平分线上,



是∠BAC 的平分线,

∴动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心. 故选:C. 点评:本题考查了平面向量的应用问题, 解题时应根据平面向量的几何意义进行解答, 是中 档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.若函数 f(x)=cosx+2xf′( ) ,则 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程是 y=x+1 .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:利用导数先求 f′(0) ,即切线的斜率 k=f′(0) ,代入点斜式方程,即可求出对应的切 线方程. 解答: 解:∵f(x)=cosx+2xf′( ) , ) ,

∴f(0)=cos0=1,f′(x)=﹣sinx+2f′( 即 f′( 则 f′( )=﹣sin )= , +2f′( ) ,

即 f′(x)=﹣sinx+1, f′(0)=﹣sin0+1=1, ∴所求切线方程为 y﹣1=x,即 y=x+1, 故答案为:y=x+1 点评:本题主要考查导数的计算以及导数的几何意义的应用,比较基础. 14. 已知△ ABC 的内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c, 若 cosC= , 且 sinC= 的内角 A= . sinB, 则△ ABC

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:利用余弦定理表示出 cosC,代入已知第一个等式整理得到关系式,第二个关系式利 用正弦定理化简,代入上式得出的关系式整理表示出 a,再利用余弦定理表示出 cosA,把表 示出的 a 与 c 代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数. 解答: 解:由已知等式及余弦定理得:cosC= = ,即 a +b ﹣c =2a ①,
2 2 2 2

将 sinC=

sinB,利用正弦定理化简得:c=
2 2 2 2

b②,

②代入①得:a =b ﹣ b = b ,即 a= b,

∴cosA= 则 A= . .

=

=



故答案为:

点评:此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握定理是解本题的关键.

15.已知变量 x,y 满足约束条件

,目标函数 Z=e

2x+y

的最大值为 e

2



考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:设 z=2x+y,作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 设 z=2x+y,由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 D(1,0)时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大.代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×1+0=2. 2x+y 2 即 z=2x+y 的最大值为 2,则 Z=e 的最大值为 e . 2 故答案为:e .

点评:本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法.

16.设 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围

为 [0,2] . 考点:分段函数的应用. 专题:计算题;函数的性质及应用. 2 分析:由分段函数可得当 x=0 时,f(0)=a ,由于 f(0)是 f(x)的最小值,则(﹣∞, 0]为减区间,即有 a≥0,则有 a ≤x
2 2

+a,x>0 恒成立,运用基本不等式,即可得到右边的

最小值 2+a,解不等式 a ≤2+a,即可得到 a 的取值范围.

解答: 解:由于 f(x)=
2



则当 x=0 时,f(0)=a , 由于 f(0)是 f(x)的最小值, 则(﹣∞,0]为减区间,即有 a≥0, 则有 a ≤x 由x
2 2

+a,x>0 恒成立, =2,当且仅当 x=1 取最小值 2,

≥2

则 a ≤2+a,解得﹣1≤a≤2. 综上,a 的取值范围为[0,2]. 故答案为:[0,2]. 点评:本题考察了分段函数的应用, 考查函数的单调性及运用, 同时考查基本不等式的应用, 是一道中档题,也是易错题. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n,都有 an=5Sn+1 成立. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log4| |,求数列{ }前 n 项和 Tn.

考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)当 n=1 时,可求得 a1=﹣ ,由 an=5Sn+1,可得 an+1=5Sn+1+1,两式相减,

整理可得

=﹣ ,知数列{an}是首项为 a1=﹣ ,公比为 q=﹣ 的等比数列,于是可求

数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an= = = ﹣

;依题意可求得 bn=n,利用裂项法可得 ,从而可得答案.

解答: 解: (Ⅰ)当 n=1 时,a1=5S1+1,∴a1=﹣ ,…(2 分) 又 an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1, an+1﹣an=5an+1, 即 =﹣ ,…(4 分)

∴数列{an}是首项为 a1=﹣ ,公比为 q=﹣ 的等比数列, ∴an= (Ⅱ)bn=log4| 所以 = ; …(6 分) |=log4|(﹣4) |=n,…(8 分) = ﹣ …(10 分) )]= …(12 分)
n

所以 Tn=[(1﹣ )+(

)+…+( ﹣

点评:本题考查数列的求和,着重考查数列的递推关系的应用,求得数列{an}的通项公式是 关键,考查等比关系的确定与裂项法求和,属于中档题. 18. (12 分)欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料,禁止向中小学生销售可 口可乐等高热量碳酸饮料,原因是这些饮料被认为是造成儿童 肥胖问题日益严重的主要原 因之一.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名六年级学生进行了问 卷调查得到列联表:平均每天喝 500mL 以上为常喝,体重超过 50kg 为肥胖. 常喝 不常喝 合计 2 肥胖 18 不肥胖 30 合计 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为 .

(1)请将列联表补充完整 (2)是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由 (3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2 名女生) ,抽取 2 人参加电视节目,则正好抽到 一男一女的概率是多少? 参考数据: 2 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P(K ≥K) K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式:K =
2

,其中 n=a+b+c+d)

考点:独立性检验的应用. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)根据全部 30 人中随机抽取 1 人看营养说明的学生的概率为 ,做出看营养

说明的人数,这样用总人数减去看营养说明的人数,剩下的是不看的,根据所给的另外两个 数字,填上所有数字. (2)根据列联表所给的数据,代入求观测值的公式,把观测值同临界值进行比较,得到有 99.5%的把握说看营养说明与性别有关. (3)利用列举法,求出基本事件的个数,即可求出正好抽到一男一女的概率. 解答: 解: (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有 x 人, 常喝 不常喝 肥胖 6 2 不胖 4 18 合计 10 20 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)由已知数据可求得:K =
2

,∴x=6; 合计 8 22 30

≈8.522>7.879

因此有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (3)设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为 A、B、C、D,女生为 E、F,则任取两人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种.其 中一男一女有 AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF.故抽出一男一女的概率是 P= ﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评:本题考查画出列联表,考查等可能事件的概率,考查独立性检验,在求观测值时,要 注意数字的代入和运算不要出错. 19. (12 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE,DE=DA=3AF=6. (Ⅰ)求证:AC⊥BE (Ⅱ)求多面体 ABCDEF 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (I)在正方形 ABCD 中,可得 AC⊥BD.根据 DE⊥平面 ABCD,得 DE⊥AC, 由线面垂直的判定定理可得 AC⊥平面 BDE,从而可得 AC⊥BE;

(II) 证明 AB⊥平面 ADEF, BC⊥平面 CDE, 利用 V=VB﹣ADEF+VE﹣BCD, 求出多面体 ABCDEF 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵DE⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴DE⊥AC. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, 又∵BD、DE 是平面 BDE 内的相交直线, ∴AC⊥平面 BDE,结合 BE?平面 BDE,得 AC⊥BE; (Ⅱ)解:∵AB⊥AD,AB⊥DE,AD∩DE=D, ∴AB⊥平面 ADEF, 同理 BC⊥平面 CDE, ∵AF∥DE,DE=DA=3AF=6, ∴V=VB﹣ADEF+VE﹣BCD= =84﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣(12 分) 点评:本题给出四棱锥的一条侧棱与底面垂直且底面是正方形,求证线线垂直并求多面体 ABCDEF 的体积,着重考查了线面垂直的判定与性质等知识,属于中档题.

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的长轴左右端点 M,N 与短轴上端点 Q 构

成的三角形的面积为 2 (Ⅰ)求椭圆的方程.

,离心率 e= .

(Ⅱ)若过椭圆 C 右焦点 F2 作垂直于线段 MQ 的直线 L,交椭圆 C 于 A,B 两点,求四边 形 AMBQ 面积 S.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴左右端点 M,N 与短轴上端点 Q

构成的三角形的面积为 2

,离心率 e= ,建立方程,求出 a,b,即可求椭圆的方程.

(Ⅱ)求出直线 L 的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出|AB|,再计算四边形 AMBQ 面积 S.

解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的长轴左右端点 M,N 与短轴上端点

Q 构成的三角形的面积为 2

,离心率 e= ,

∴ ∴a=2,b=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ )﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6

∴椭圆的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2(1,0) ,M(﹣2,0) ,Q(0, 分) ∴直线 MQ 斜率为 ,

又∵L⊥MQ,∴直线 L 斜率 k=﹣ 直线 L:y=﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

(x﹣1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)
2

代入椭圆方程得 25x ﹣32x﹣20=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由韦达定理 x1+x2= ∴|AB|= ? ,x1x2=﹣ = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) = .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

∴四边形 AMBQ 面积 S=

点评:本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属 于中档题.

21. (12 分)已知函数 f(x)=﹣

+lnx﹣2

(1)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线与直线 y=x+2 垂直,求 a 的值. (2)若对任意 x∈(0,+∞)都有 f(x)>2a 成立,试求 a 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)求函数的导数,根据导数的几何意义,结合直线垂直的关系即可求出 a 的值. (2)根据不等式恒成立,将不等式转化为求函数 f(x)的最值,即可求出的取值范围. 解答: 解(1)∵f(x)=﹣ ∴f′(x)= +lnx﹣2,

,∴f′(1)=2a+1,

又∵曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线与直线 y=x+2 垂直 ∴2a+1=﹣1 ∴a=﹣1. (2)f(x)=﹣ +lnx﹣2 的定义域为(0,+∞) ,

∵对任意 x∈(0,+∞)都有 f(x)>2a 恒成立 ∴f(x)min>2a, f′(x)= = ,

当 a≥0 时,f′(x)≥0,即 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 此时 x→0 时,f(x)→﹣∞不合题意, 当 a<0 时 f(x)在(0,﹣2a)单调递减,在(﹣2a,+∞)单调递增 ∴f(x)min=f(﹣2a)=ln(﹣2a)﹣1>2a, 令 g(x)=lnx+x﹣1 则 g(x)在(0,+∞)上单调递增且 g(1)=0 ∴﹣2a>1, 综上 a<﹣ . 点评:本题主要考查导数的几何意义, 以及利用导数求出函数的最值, 综合考查导数的应用. 【选考题】请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,PA,PB 是圆 O 的两条切线,A,B 是切点,C 是劣弧 AB(不包括端点) 上一点,直线 PC 交圆 O 于另一点 D,Q 在弦 CD 上,且∠DAQ=∠PBC.求证: (1) ;

(2)△ ADQ∽△DBQ.

考点:相似三角形的性质;相似三角形的判定. 专题:几何证明. 分析: (Ⅰ)连接 AB.利用△ PBC∽△PDB,△ PAC∽△PDA 及 PA=PB 即可证明; (II)利用△ ABC∽△ADQ,及△ ADQ∽△BDQ.即可得出. 解答: 证明: (Ⅰ)连接 AB. ∵△PBC∽△PDB, ∴ 同理 . .

又∵PA=PB,



,即



(Ⅱ)∵∠BAC=∠PBC=∠DAQ,∠ABC=∠ADQ, ∴△ABC∽△ADQ,即 故 . .

又∵∠DAQ=∠PBC=∠BDQ, ∴△ADQ∽△BDQ.

点评:本题考查了圆的切线长定理、 切割线定理、 相似三角形的判定与性质定理等基础知识 与基本技能方法,属于基础题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 经过定点 P(3,5) ,倾斜角为 . (θ 为参数) ,直线 l

(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|PA|?|PB|的值. 考点:参数方程化成普通方程;圆的参数方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)消去参数 θ,把曲线 C 的参数方程化为普通方程;由直线 l 过定点 P,倾斜 角为 ,写出直线 l 的参数方程;
2

(Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程,得 t +(2+3 的关系以及 t 的几何意义求出|PA|?|PB|的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵曲线 C 的参数方程为
2 2

)t﹣3=0,由根与系数

(θ 为参数) ,

消去参数 θ,得曲线 C 的普通方程: (x﹣1) +(y﹣2) =16; ∵直线 l 经过定点 P(3,5) ,倾斜角为 ,

∴直线 l 的参数方程为:

,t 为参数.

(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程,

得 t +(2+3 )t﹣3=0, 设 t1、t2 是方程的两个根, 则 t1t2=﹣3, ∴|PA|?|PB|=|t1|?|t2|=|t1t2|=3. 点评:本题考查了参数方程与普通方程的互化以及应用问题, 解题时应明确参数方程中参数 的几何意义,并能灵活应用,是基础题. 选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (1)求不等式 f(x)≥3 的解集; 2 (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥t ﹣3t 在[0,1]上无解,求实数 t 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)通过对 x 范围的分类讨论,去掉绝对值符号,可得 f(x)

2

=

,再解不等式 f(x)≥3 即可求得其解集;

(2)当 x∈[0,1]时,易求 f(x)max=﹣1,从而解不等式 t ﹣3t>﹣1 即可求得实数 t 的取 值范围.

2

解答: 解: (1)∵f(x)=



∴原不等式转化为







解得:x≥6 或﹣2≤x≤﹣ 或 x<﹣2, ∴原不等式的解集为: (﹣∞,﹣ ]∪[6,+∞) ; (2)只要 f(x)max<t ﹣3t, 由(1)知,当 x∈[0,1]时,f(x)max=﹣1, 2 ∴t ﹣3t>﹣1, 解得:t> 或 t< . )∪( ,+∞) .
2

∴实数 t 的取值范围为(﹣∞,

点评:本题考查绝对值不等式的解法,通过对 x 范围的分类讨论,去掉绝对值符号是关键, 考查转化思想与运算求解能力,属于中档题.


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