2015-2016学年高中数学 2.2.4椭圆的简单几何性质(二)课件 新人教A版选修2-1


2.2.4

椭圆的简单几何性质(二)

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1.了解椭圆的简单应用.
2.理解数形结合的思想. 3.会处理简单的直线与椭圆关系问题.

研 题 型 学 习 法

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题型一 直线与椭圆的位置关系的判断
例 1 k 为何值时,直线 y=kx+2 和曲线 2x2+3y2=6 有两个公 共点,有一个公共点,没有公共点?
? ?y= kx+2, 2 2 解析:由? 2 得 2 x + 3( kx + 2) =6, 2 ? 2 x + 3 y = 6 , ?

即(2+3k2)x2+12kx+6=0, Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48. 6 6 当Δ=72k -48>0,即 k> ,或 k<- 时, 3 3
2

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直线和曲线有两个公共点; 当Δ=72k2-48=0,即 k= 6 6 ,或 k=- 时, 3 3

直线和曲线有一个公共点; 6 6 当Δ=72k -48<0,即- <k< 时, 3 3
2

直线和曲线没有公共点. 规律方法:直线与椭圆的位置关系用判别式法判断,即将直线的 方程代入椭圆方程中,整理成关于 x(或 y)的一元二次方程,其根的 判别式为Δ,若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆 相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.

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?变式训练 1.(2014· 北京高二检测)若直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没 x2 y2 有公共点, 则过点(a, b)的直线与椭圆 + =1 的公共点个数为( 9 4 A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.需根据 a,b 的取值来确定
2 2

)

解析:因为直线 ax+by+4=0 和圆 x +y =4 没有公共点,所以 原点到直线 ax+by+4=0 的距离 d= 4 2 2 >2 ,所以 a + b <4,所 2 2 a +b

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以点 P(a,b)是在以原点为圆心,2 为半径的圆内的点,因为椭圆的 长半轴为 3,短半轴为 2,所以圆 x2+y2=4 内切于椭圆,所以点 P 是椭圆内的点,所以过点 P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点个数为 2 个.故选 C. 答案:C

题型二

弦长问题

例 2 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,且焦点在 x 轴上,又椭圆截直线 y=x 16 2 +2 所得线段 AB 的长为 . 5 (1)求椭圆方程; (2)求△OAB 的面积. x+2, ? ?y= x2 y2 解析:(1)∵a=2b,∴设椭圆方程为 2+ 2=1,联立? x2 y2 4b b ? ?4b2+b2=1,
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? ?x +x =-16, 5 得 5x +16x+16-4b =0∴? ?x x =16-4b . 5 ?
2 2 1 2 2 1 2

Δ =162-20(16-4b2)=16(5b2-4)>0,

设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点, ∴|AB|= (x1-x2)2+(y1- y2)2= 1+k2|x1-x2| = 2 (x1+x2)2-4x1x2= 4 2 16 2 · 5b2-4= . 5 5

∴5b2-4=16,∴b2=4,即 b=2. ∴a=2b=4. x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 16 4 2 (2)点 O 到直线 y=x+2 的距离 d= = 2, 2 1 1 16 2 16 ∴S△AOB= ·|AB|·d= × × 2= . 2 2 5 5
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规律方法:直线 l 的斜率为 k,与椭圆的两个交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2 , y2) , 则 弦 AB 的 长 为 |AB| = 1+k2 · |x1 - x2| = 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2.

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?变式训练 x2 2 2.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A,B 两点,求|AB| 4 的最大值. x+t, ? ?y= 解析:设直线 l 的方程为 y=x+t,由?x2 2 ? ? 4 +y =1 x2 消去 y 得 +(x+t)2=1. 4 整理,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0. 因为Δ=64t2-80(t2-1)>0,所以- 5<t< 5. 设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点,

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4(t2-1) 8t 则 x1+x2=- ,x1·x2= . 5 5 所以|AB|= 2[(x1+x2)2-4x1x2] = =
?64 2 4×4(t2-1)? ? 2? t - 25 5 ? ?

-32t2+160 . 25

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4 10 当 t=0 时,|AB|为最大,即|AB|max= . 5

题型三

中点弦问题

?1 1 ? x2 2 例 3 已知椭圆 +y =1,求过点 P? , ?且被 P 平分的弦所在 2 ?2 2 ?

直线的方程. 解析:方法一 由题意可知,该直线的斜率存在,不妨设所求直 1 ? 1? 1 1 线方程为 y- =k?x- ?,即 y=kx+ - k,由 2 ? 2? 2 2 得(2+4k2)x2+4k(1-k)x+(1-k)2-4=0, 设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点,则 4k(1-k) x1+x2=- =1, 2+4k2
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? ? 1 1 y = kx + - k, ? 2 2

x2 2 +y =1, 2

1 解之得 k=- .∴直线方程为 2x+4y-3=0. 2 方法二 设直线与椭圆交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,由题意 知,所求直线的斜率存在,设为 k, 则 x1+x2=1,y1+y2=1, x2 1 +y2 =1, 2 1 1 2 2 2 2 由 2 得 y1-y2=- (x1-x2), 2 x2 2 +y =1, 2 2

? ? ?

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y1- y2 1 x1+x2 1 1 ∴ =- · =- ,即 k=- , 2 y1+ y2 2 2 x1-x2 1 1? 1 ? ∴直线方程为 y- =- ?x- ?,即 2x+4y-3=0. 2 2? 2? 规律方法:与中点弦有关的问题一般利用中点公式和韦达定理.

?变式训练 1 x2 3. (2014· 江西卷)过点 M(1, 1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2 a y2 =1(a>b>0)相交于 A,B,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离 b2 心率为________________.
2 2 2 x2 y x y 1 1 2 2 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由 2+ 2=1, 2+ 2=1,两 a b a b

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(x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+ y2) 式相减,变形得 + =0,∴ a2 b2 y1- y2 b2 x1+x2 =- 2· . a x1-x2 y1+ y2

y1- y2 1 ∵ =- ,x1+x2=2,y1+ y2=2, 2 x1-x2 b2 1 2 ∴- 2=- ,a2=2b2,从而 a2=2c2,e= . 2 2 a 答案: 2 2
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析疑难 提 能 力
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忽略 a,b,c 之间的大小关系致误. x2 y2 【典例】 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,若在椭 a b → ·PF → =0,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 圆上存在一点 P,使PF 1 2 ________. → ·PF → =0,得PF → ⊥PF →. 解析:由题意PF 1 2 1 2 ∴点 P 在以 F1F2 为直径的圆上, x2 y2 又 P 在椭圆上,∴圆 x + y =c 与椭圆 2+ 2=1 有公共点, a b
2 2 2

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由图知,b≤c<a, 即 b2≤c2<a2?a2-c2≤c2<a2? 2 c ≤ <1, 2 a

? 2 ? 2 即 ≤e<1,∴椭圆的离心率 e 的取值范围是? ,1?. 2 ?2 ? ? 2 ? 答案:? ,1 ? ?2 ?

【易错剖析】在上面的解析过程中,容易出现下面的错误:由图 2 c 2 知,b≤c,即 b ≤c ?a -c ≤c ? ≥ ?e≥ .这是忽略了 c<a 造 2 a 2
2 2 2 2 2

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成的.


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