高考文科数学总复习知识点


高三文科数学总复习
集合:

必修 1 数学知识点

1、集合的定义:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集。集合中的每个对象叫做 这个集合中的元素 2、集合元素的特征:①确定性 ②互异性 ③无序性 3、集合的分类:①有限集 ②无限集 ③空集,记作 ? 4、集合的表示法:①列举法 ②描述法 ③文氏图法 ④特殊集合 ⑤区间法 常用数集及其记法:①自然数集(或非负整数集)记为 N 正整数集记为 N 或 N ?
?

②整数集记为 Z ③实数集记为 R ④有理数集记为 Q 5、元素与集合的关系:①属于关系,用“ ? ”表示;②不属于关系,用“ ? ”表示 6、集合间的关系:①包含:用“ ? ”表示 ②真包含:用“? ③相等 ④不相等 ? ”表示 7、集合的交、并、补 交集的定义:由所有属于集合 A 且属于集合的元素组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A ? B , 即 A ? B ? x x ? A且x ? B

?

?

并集的定义:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A ? B , 即 A ? B ? x x ? A或x ? B

?

?

8、全集与补集:对于一个集合 A ,由全集 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于集合 U 的补集,记作 CU A ,即 CU A ? x x ? U , 且x ? A 9、交集、并集、补集的运算: (1)交换律: A ? B ? B ? A

?

?

A? B ? B ? A (2)结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C) (3)分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C) (4)0-1 律: ? I A ? ?, ? U A ? A,U I A ? A,U U A ? U (5)等幂律: A ? A ? A A? A ? A (6)求补律: A ? CU A ? ? A ? CU A ? U CU U ? ? CU ? ? U CU (CU A) ? A (7)反演律: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B)

10、文氏图的应用:交集、并集、补集的文氏图表示

A

A∩B A∪B

B

U CUA A

11、重要的等价关系: A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B 12、一个由 n 个元素组成的集合有 2 个不同的子集,其中有 2 ? 1 个非空子集,也有 2 ? 1 个真子集
n

n

n

函数:
1、映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任何一个元素 a ,在集合 B 中 都有唯一的元素 b 和它对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做 从集合 A 到集合的映射,记作 f : A ? B ,其中 b 叫做 a 的象, a 叫做 b 的原象 如果在这个映射下,对于集合 A 中的不同元素,在集合中有不同的象,而且 B 中的每一个元素 都有原象,那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射 2、 函数:设 A、B 是两个非空数集,那么从 A 到 B 的映射 f : A ? B 就叫做函数,记作 y ? f ( x) ,其 中 x ? A, y ? B , x 叫做自变量, y 是 x 的函数值.自变量的取值集合 A 叫做函数的定义域,函

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数值的集合 C 叫做函数的值域,值域 C ? B ,函数三要素:定义域、值域、对应法则;两个函数相同: 定义域和对应关系都分别相同 3、函数的表示方法: (1)列表法 (2)图象法 (3)解析法 4、分段函数:在自变量的不同取值范围内,其解析式不同,分段函数不是几个函数,是一个函数 5、 (1)函数的定义域的常用求法: ①分式的分母不等于零 ②偶次方根的被开方数大于等于零 ③对数的真数大于零 ④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1 ⑤三角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,余切函数 y ? cot x 中, x ? k? (k ? Z )

⑥如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围 (2)值域的求法:①直接法 ②分离常数法 ③图象法 ④换元法 ⑤判别式法 ⑥不等式与对勾函数 6、求函数解析式的方法: ①直代 ②凑配法 ③ 换元法 ④待定系数法 ⑤列方程组法 ⑥特殊值法 7、增减函数的定义:对于函数 f ( x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ①若当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是增函数 ②若 x1 ? x2 当时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是减函数 8、 (1)单调性的证明:讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二 差, 三判断”三个步骤 (2)函数单调性的常用结论: ①若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数 ②若 f ( x) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 ③若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性不同, 则 y ? f [ g ( x)] 是减函数,即复合函数的单调性是“同增异减” ④奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反 9、 (1)奇、偶函数的定义:对于函数 f ( x) ①如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做偶函数 ②如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做奇函数 注意:①函数为奇偶函数的前提是定义域在数轴上关于原点对称 ② f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) 是定义域上的恒等式 ③若奇函数 f ( x) 在 x ? 0 处有意义,则 f (0) ? 0 ④奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形 (2)函数奇偶性的常用结论: ①如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x) 既是奇函数又是 偶函数,则 f ( x) ? 0 (反之不成立) ②两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数 ③一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数 ④两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函 数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数

基本初等函数
1、 (1)一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根。其中 n ? 1, n ? N ?
n

①负数没有偶次方根
n n

②0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0
n n

③当 n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时, a ?| a |? ?
n

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)
?n

④我们规定:(1) a m ?

m

a n ?a ? 0, m, n ? N * , m ? 1?

(2) a

?

1 ?n ? 0? an

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(2)对数的定义:设 a ? 0 且 a ? 1 ,对于数 N ? 0 ,若能找到实数 b ,使得 a ? N ,那么数 b 称为以 a 为 底的 N 的对数,记作 b ? log a N ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数
b

注: (1)负数和零没有对数(因为 N ? a ? 0 )
b

(2) log a 1 ? 0, log a a ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )
loga N

(3) 将b ? o lg

a

N 代回 a b ? N 得到一个常用公式 a
a

?N

(4)a ? N ? log a N ? x
x

(3)幂函数的定义:一般地,我们把形如 y ? x 函数称为幂函数.其中 x 是自变量, ? 是常数 2、 (1)① a a ? a
r s

?a ? 0, r, s ? Q? r r r ③ ?ab? ? a b ?a ? 0, b ? 0, r ? Q?
r ?s

② a

? ?

r s

? a rs ?a ? 0, r , s ? Q ?

(2)当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ① log a ?MN ? ? log a M ? log a N ④换底公式: log a b ? ② log a ?

?M ? ? ? log a M ? log a N ?N?

③ log a M

n

? n log a M

log c b ?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? ,利用换底公式推导下面的结论: log c a 1 n (1) log a b n ? log a b (2) log a b ? log b a m
m

3、 (1)指数函数的定义:函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 叫做指数函数.函数的定义域是实数集 R
x

(2)对数函数的定义:一般把函数 y ? log a x?a ? 0且a ? 1? 叫做对数函数,它的自变量为 x ,其定义域 是 ?0,??? ,底数 a 为常数

表1
定义 域 值域

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R
y ? ? 0, ?? ?

对数数函数

y ? log a x ? a ? 0, a ? 1?
x ? ? 0, ?? ?
y?R

图象

过定点 (0,1) 减函数 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

x ? (??, 0)时,y ? (1, ??) x ? (??, 0)时,y ? (0,1) x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (0,1)时,y ? (??, 0) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??) x ? (1, ??)时,y ? (??, 0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)
性质

a?b

a?b
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a?b

a?b

表2

幂函数 y ? x? (? ? R)

??

p q

? ?0

0 ? ? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数

奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
第一象限性 质

偶函数

减函数

增函数

(0, 1 ) 过定点

零点、二分法:
1、 (1)函数的零点: ①对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数叫做函数 y ? f ( x) 的零点 ②如果函数 y ? f ( x) ? 0 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且 f (a) f (b) ? 0 ,那 么函数 y ? f ( x) 在区间 ?a, b? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点

f ( x) ? 0 的根
(2)函数零点的求法: ①(代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根 ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数 的性质找出零点 2、二分法: 定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法

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高中数学必修 2 知识点
立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平 行于底面的截面是与底面全等的多边形 (2)棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
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'

表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距 离与高的比的平方 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
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表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A B C D E 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆 ②母线与轴平行 ③轴与底面圆的半径垂直 ④侧面展开图是一个矩形 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆 ②母线交于圆锥的顶点 ③侧面展开图是一个扇形 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆 ②侧面母线交于原圆锥的顶点 ③侧面展开图是一个弓形 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆 ②球面上任意一点到球心的距离等于半径 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度
' ' ' ' '

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变 ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和
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(2)特殊几何体表面积公式( C 为底面周长, h 为高, h ? 为斜高, l 为母线) :

S 直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ?

S圆柱侧 ? 2?rh

S正棱锥侧面积 ?

1 ch' 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
V柱 ? Sh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?
1 V锥 ? Sh 3

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R 2
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式:

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h

1 1 V圆台 ? ( S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h 3 3 4 3 (4)球体的表面积和体积公式: V球 ? ?R S球面 ? 4?R 2 3
1 V台 ? ( S ' ? S ' S ? S )h 3

5、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 ① 平面的概念: A、 描述性说明 平面是无限伸展的 B、 ② 平面的表示:通常用希腊字母 ?、?、? 表示,如平面 ? (通常写在一个锐角内) ;也可以用两 个相对顶点的字母来表示,如平面 BC ③ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ?? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ?? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作: A ? l ;点 A 在直线 l 外,记作 A ? l 直线与平面的关系:直线 l 在平面 ? 内,记作 l ? ? ;直线 l 不在平面 ? 内,记作 l ? ? (2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ? (3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面 ? 和 ? 相交,交线是 a ,记作 ? ? ? ? a 符号语言: P ? A I B ? A I B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据 (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a? // a b? // b ,则把直线 a ? 和 b ? 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所 0 0 成角的范围是 0 ,90 ,若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直

?

?

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说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义 ②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关 (3)求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在 特殊的位置上 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点

a // ? (9) 平面与平面之间的位置关系: 平行——没有公共点:? // ? 相交——有一条公共直线:? ? ? ? b
6、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行 ? 面面平行) (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行 (线线平行 ? 面面平行) (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行(面面平行 ? 线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行(面面平行 ? 线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形)是直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另 一个平面 8、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0? ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O ,分别作与两条异面直线 a, b 平行的直线

三种位置关系的符号表示: a ? ?

a? ? ? A

a ?, b? ,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角
(2)直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角
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?

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖 掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线 (2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内 分别作垂直于 棱的两条射线,这两条 .. ... 射线所成的角叫二面角的平面角 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两 个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平 面角

直线与方程
1、直线的倾斜角 定义: x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平 行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0 ? ? ? 180 2、直线的斜率
0 0

①定义:倾斜角不是 90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率 常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0
? ?

0

?

?

当 ? ? 90 ,180 时, k ? 0
? ?

?

?

当 ? ? 90 时, k 不存在
?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90° (2) k 与 P 1, P 2 的顺序无关 (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 3、直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k ,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0 时, k ? 0 ,直线的方程是 y ? y1
o

②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k ,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:

当直线的斜率为 90 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示。但因 l 上每一点的横 坐标都等于 x1 ,所以它的方程是 x ? x1

o

y ? y1 x ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y ④截矩式: ? ? 1 ,其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距 a b 分别为 a, b
⑤一般式: Ax ? By ? C

? 0 ( A, B 不全为 0)

注意:①各式的适用范围 ②特殊的方程如:平行于 x 轴的直线: y ? b ( b 为常数) ;平行 于 y 轴的直线: x ? a ( a 为常数) 4、两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否
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5、两条直线的交点: l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

方程组有无数解 ?

l1 与 l 2 重合

6、两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, B x2 , y2)

7、点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Ax 0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

8、两平行直线距离公式:在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解

圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r ,圆心
2 2 2

?a, b? ,半径为 r

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时, 方程表示圆, 此时圆心为 (?
2 2

D E 1 半径为 r ? ,? ) , D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点;当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求 出 a、b、r ;若利用一般方程,需要求出 D、E、F ,另外要注意多利用圆的几何性质:如弦 的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为
2 2 2 2

d?

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 ,先将方程联立消元,得到一个
2 2

Aa ? Bb ? C ,则有 d A2 ? B 2

? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

一元二次方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离

? ? 0 ? l与C相切
表示切点坐标, r 表示半径 (3)过圆上一点的切线方程:

? ? 0 ? l与C相交

注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx 0

? yy 0 ? r 2 去解直线与圆相切的问题,其中 ?x0 , y0 ?
2

2 2 2 ①圆 x ? y ? r ,圆上一点为 ( x0 , y 0 ) ,则过此点的切线方程为 xx 0 ? yy 0 ? r

②圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,圆上一点为 ( x0 , y 0 ) ,则过此点的切线方程为
2 2 2

( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? b)( y0 ? b) ? r 2
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距( d )之间的大小比较来确定 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距( d )之间的大小比较来确定 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线 当 d ? R ? r 时,两圆内含 当d

? 0 时,为同心圆
-9-

高一数学必修 3 算法初步
1、秦九韶算法:通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值,对于一个 n 次多项式,只要作 n 次乘 法和 n 次加法即可。表达式如下:

an x n ? an?1 x n?1 ? ... ? a1 ? ????an x ? an?1 ?x ? an?2 ?x ? ...?x ? a2 ?x ? a1

2、理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,其意义具有广泛的 含义 (1)描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码) (2)算法的特征: ①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 ②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可以是一个 或多个。没有输出的算法是无意义的 ③可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间 内可以完成,在时间上有一个合理的限度 (3)算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等 ②控制结构:顺序结构,选择结构,循环结构 3、流程图: (flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图 形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改 注意: (1) 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯 (2)拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断框时 往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查这 个条件是否正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就可以有几种书写方法了 (3)在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起,一起终结到结 束框 4、 算法结构: 顺序结构、选择结构、循环结构

A N B

Y A

p N B

A p Y 直到型循环 p N

A

Y

N 当型循环

(1)顺序结构(sequence structure ) :是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重 复执行的操作,一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的 (2)选择结构(selection structure ) :或者称为分支结构。其中的判断框,书写时主要是注意临界条 件的确定。它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不能同时执行,其中的 A,B 两语 句可以有一个为空,既不执行任何操作,只是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时, 不执行该语句,也不执行其它语句 (3)循环结构(cycle structure) :它用来解决现实生活中的重复操作问题,分直到型( until )和当型 ( while )两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循环次数时)用 当型循环 5、基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo code) ,且是使用 BASIC 语言编写的,是介于自然语言 和机器语言之间的文字和符号,是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式,只要书 写清楚,易于理解即可,但也要注意符号要相对统一,避免引起混淆。如:赋值语句中可以用 x ? y , 也可以用 x ? y ; 表示两变量相乘时可以用“*” ,也可以用“ ? ”

- 10 -

(1)赋值语句(assignment statement) :用 ? 表示, 如: x ? y ,表示将 y 的值赋给 x ,其中 x 是一个变量, y 是一个与 x 同类型的变量或者表达式 一般格式: “ 变量 ? 表达式 ” ,有时在伪代码的书写时也可以用 “ x ? y ” ,但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号,而应理解为一个赋值号 注: 1)赋值号左边只能是变量,不能是常数或者表达式,右边可以是常数或者表达式 “ = ”具有计算功能。如: 3 ? a, b ? 6 ? a ,都是错误的,而 a ? 3 ? 5 ? 1 , a ? 2a ? 3 都是正确的 2)一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如: a ? b ? c ? 2 , a, b, c ? 2 都是错误的,而

a ? 3 是正确的 (2)输入语句(input statement): Read a, b 表示输入的数一次送给 a, b 输出语句(out statement) :Print x, y 表示一次输出 运算结果 x, y 注:1)支持多个输入和输出,但是中间要用逗号隔开! 2) Re ad 语句输入的只能是变量而不是表达式 3) Pr int 语句不能起赋值语句,意旨不能在 Pr int 语句中用 “ = ” 4) Pr int 语句可以输出常量和表达式的值 5)有多个语句在一行书写时用 “; ”隔开 例题:当 x 等于 5 时,Print “ x ? ” ; x 在屏幕上输出的结果是 x ? 5 (3)条件语句(conditional statement) : 1)行 If 语句: If A Then B 注:没有 End If 2)块 If 语句: 注:①不要忘记结束语句 End If ,当有 If 语句嵌套使用时,有几个 If , 就必须要有几个 End If ②Else If 是对上一个条件的否定,即已经不属于上面的条件, 另外 Else If 后面也要有 End If ③注意每个条件的临界性,即某个值是属于上一个条件里, 还是属于下一个条件 ④为了使得书写清晰易懂,应缩进书写。格式如下:

If Else

A Then B

If

C End If

A Then B Else If Then D End If

C

(4)循环语句( cycle statement) : 1)当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即使是 N 次也是已知次数的循环 2)当循环次数不确定时用 While 循环 3)Do 循环有两种表达形式,与循环结构的两种循环相对应.

For I From 初值 to … End For

终值 Step 步长 For 循环

While A … End While

While 循环

Do

While … Loop

p 当型 Do 循环

Do … Loop Until p 直到型 Do 循环

说明:1) while 循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一般在解决 有关问题时,可以写成 while 循环,较为简单,因为它的条件相对好判断 2)凡是能用 while 循环书写的循环都能用 For 循环书写 3)While 循环和 Do 循环可以相互转化 4)Do 循环的两种形式也可以相互转化,转化时条件要相应变化 5)注意临界条件的判定
- 11 -

高中数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ? 2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角 o o o 第一象限角的集合为 ?? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ??

?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ?180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第二象限角的集合为
o o o o o o o o o o o o o o o o o

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴 n
*

的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 区域 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?
o
o

? 终边所落在的 n

l r

? 180 ? o 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 1 ? 1? ? ? ? 57.3 180 ? ? ? 8、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则
1 1 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 2 2

?

o

9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离是

r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? r r x

y P T v O MA x


10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? 12

?1? sin ? ? cos ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? cos ? ,cos ? ? 1 ? sin ? ?
2 2
2 2 2 2

























? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

- 12 -

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? ? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ?
? 5? sin ? ?
? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

?

14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再 将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

口诀:奇变偶不变,符号看象限

1

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ?
倍 (横坐标不变) , 得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩 短)到原来的

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

? 个单位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图 ? 象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 A 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象
点向左(右)平移 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质:

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有 ?

1 ? ④相位: ? x ? ? ⑤初相: ? ? ? ? 2? 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则 1 1 T A ? ( y max ? y min ) , b ? ( y max ? y min ) , ? x2 ? x1 ( x1 ? x2 ) 2 2 2
①振幅: A ②周期: ? ?

2?

③频率: f ?

14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

性质

函 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ?

? ?1,1?
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,
ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ? ? ? 时,
?
2

最值

ymax ? 1;当 x ? 2k? ?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
- 13 -

周期性 奇偶性

2? 奇函数

2? 偶函数

?
奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?



? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2 ? ?

? ?? ? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? ? 2k? , 2k? ? ? ? ? k ? ? ? 上是增函数. ? k ? ? ? 上是减函数.

? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0 ?? k ? ? ? 对称性 对称轴 x ? k? ? 对 称 中 心
? k? ? 对称中心 ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

?
2

? k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量 数量:只有大小,没有方向的量 有向线段的三要素:起点、方向、长度 零向量:长度为 0 的向量 单位向量:长度等于 1 个单位的向量 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行 相等向量:长度相等且方向相同的向量 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连 ⑵平行四边形法则的特点:共起点

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

C

?r ?
r

r

r

r

?

r

r

?
r
?

r a

r r r r r ③a ?0 ? 0?a ? a
⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量 ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则① AB ? ( x2 ? x1 , y 2 ? y1 ) ②线段 AB 中点坐标为 (

r b

?

r

r

r uuu r uuu r r r uuu a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

r

r

r

r

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ) 2 2

③ ?ABC 的重心坐标为 (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ) 3 3

- 14 -

19、向量数乘运算: r r ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a

r r ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? r r r r r r 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a r r r r r r r r 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线 u r u u r 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 u r u u r u u r u r r r 量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向

?a ? ? a r r r r ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 r r ? ? 0 时, ? a ? 0 r r r r r r r r r ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ③ ? a ? b ? ? a ? ?b


r

r

?

?

?

?

?

?

22、分点坐标公式:设点 P 是线段 P 1P 2 上的一点, P 1、P 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当

量的一组基底)

? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? P1 P2 ? ? PP2 时,点 P 的坐标是 ? 1 , ? 1? ? ? ? 1? ?
23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0,0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0
o o

r r

r r

r r r r r r r r r r r r ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 ②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b r r r r r r2 r r r r r r r r r r r a ? a ? a2 ? a 或 a ? a ? a 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ③ a ?b ? a b r r r r r r r r r r r r r r r r r ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ③ a ? b ?c ? a ?c ? b ?c r r r r ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 r r r2 2 2 2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ? x ? y r r r r 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 r r r r r r 设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则 r r x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? r r ? 2 2 2 a b x1 ? y12 x2 ? y2

?r

r r

r

?

?

?

? ?

?

?

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ⑸ tan ?? ? ? ? ?

⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? (6) tan ?? ? ? ? ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) 1 ? tan ? tan ?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) 2 2

- 15 -

⑶ tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?
a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ,其中 tan ? ?
b a

26、 a sin ? ? b cos ? ?

高中数学必修 5 知识点
1、正弦定理:在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 的对边, R 为 ?ABC 的外接圆的半径,则

a b c ? ? ? 2R sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C 2R 2R 2R a?b?c a b c ④ ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4、余弦定理:在 ?ABC 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c2 ? b2 5、余弦定理的推论: cos ? ? cos ? ? cos C ? 2bc 2ab 2ac 2 2 2 o 6、设 a 、 b 、 c 是 ?ABC 的角 A、B、C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 2 2 2 o 2 2 2 o ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ③若 a ? b ? c ,则 C ? 90
有 7、数列:按照一定顺序排列着的一列数 8、数列的项:数列中的每一个数 9、有穷数列:项数有限的数列 10、无穷数列:项数无限的数列 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列 13、常数列:各项相等的数列 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这 个常数称为等差数列的公差 18、由三个数 a, A, b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 A 称为 a 与 b 的等差中项.若

b?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项 2
1

19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
? am ? ? n ? m? d
an ? am n?m

n

? a1 ? ? n ? 1? d

20、通项公式的变形:① an ④n ?

② a1

? an ? ? n ? 1? d

③d

?

an ? a1 n ?1

21、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等
*

an ? a1 ?1 d

⑤d ?

差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an ? a p ? aq
*

- 16 -

n ? n ? 1? n(a1 ? a n ) d ② Sn ? na1 ? 2 2 23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n ? n ? ?* ? ,则 S 2 n ? n(an ? an?1 ) ,且
22、等差数列的前 n 项和的公式:① S n ?

S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an a n ?1

②若项数为 2n ? 1 n ? ?* ,则 S2 n?1 ? ? 2n ? 1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

?

?

S奇 n (其中 ? S偶 n ? 1

S奇 ? nan , S偶 ? ? n ? 1? an )
24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这 个常数称为等比数列的公比 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab 则称 G 为 a 与 b 的等比中项
2

26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q 27、通项公式的变形:① an ? am ? ? n ? m ? d

n ?1

② a1 ? an ? ? n ? 1? d

③d ?

an ? a1 a ?a ⑤d ? n m ?1 d n?m * 28、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是
④n ?
* 等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a n ? a p ? a q

an ? a1 n ?1

2

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ? q ? 1? ? 1 ? q 1? q ? S偶 n * ?q 30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n ? n ? ? ? ,则 ② S n?m ? S n ? q ? S m S奇
③ S n , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列 31、求通项公式的方法:①套用公式法:适用于已知数列是等差或等比数列的题目 ②已知数列 {a n } 前 n 项和 S n ,则 a n ? ? 论 n ? 1) ③累加法:适用于 an ? an?1 ? f (n) ⑤辅助数列法: (1) a n ?1 ? (2) an?1

n ?1 ? S1 (注意:不能忘记讨 n?2 ?S n ? S n ?1
④累乘法: an ? an?1 ? f (n)

man (两边同时取倒数) an ? m ? pan ? q( p, q为常数) 用待定系数法:

a n?1 ? ? ? p(a n ? ?) (?为系数, 且? ?
①等差数列求和公式: Sn ?

q ) p ?1

数列求和的方法: (1)套用公式法:一般适用于直接求等差数列和等比数列的前 n 项和

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d 2 2 ? na1 ? q ? 1? ? ②等比数列求和公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ? q ? 1? ? 1 ? q 1? q ?

(2)倒序相加法
- 17 -

(3)分组求和法:一般适用于通项 an ? bn ? cn ,其中

(bn为等差或等比数列,cn为等差或等比数列)
(4)裂项相消法:一般适用于通项① ②

1 1?1 1 ? ? ? ? ? n?n ? k ? k ? n n ? k ?

1 1 ? n?k ? n n?k ? n k (5) 错位相减法: 一般适用于通项 an ? bn ? cn , 其中 ( bn 为等差数列, c n 为等比数列) 32、 a ? b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b 33、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ② a ? b, b ? c ? a ? c ③a ?b?a?c ?b?c ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d
⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? 34、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式 35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组 样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方 ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方 注:二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系 ⑦a ?b ? 0? a ?b
n n

?

?

? n ? ?, n ? 1?

37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y ? ,所有这

判别式 ? ? b2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0 ? 的图象
一元二次方程 有两个相异实数 根 x1,2 ?

ax2 ? bx ? c ? 0

?b ? ? 2a

? a ? 0 ? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0

? x1 ? x2 ?

有两个相等实数 b 根 x1 ? x2 ? ? 2a

没有实数根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

一元二次 不等式的 解集

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

- 18 -

39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ①若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示 直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域 ②若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示 直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? 可行域:所有可行解组成的集合 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数 2 a?b 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 ? ab 2 a 2 ? b2 2 2 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ② ab ? ? a, b ? R ? 2
41、设 a 、 b 是两个正数,则

? a?b? ? ? a ? 0, b ? 0 ? ? 2 ? 44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有
③ ab ? ?

2



a 2 ? b2 ? a ? b ? ?? ? ? a, b ? R ? 2 ? 2 ?

2

s2 4 ⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p
⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

选修 1-1、1-2 数学知识点
简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.真命题:判断为真的语句 假命题:判断为假的语句 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论 3、原命题: “若 p ,则 q ” 逆命题: “若 q ,则 p ” 否命题: “若 ?p ,则 ?q ” 逆否命题: “若 ?q ,则 ?p ” 4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性 (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) 利用集合间的包含关系: 例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A ? B , 则 A 是 B 的充要条件 6、逻辑联结词:⑴且( and ) :命题形式 p ? q ⑵或( or ) :命题形式 p ? q ⑶非( not ) :命题形式 ?p
- 19 -

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

7、⑴全称量词——“所有的” 、 “任意一个”等,用“ ? ”表示; 全称命题 p : ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ?p : ?x ? M , ?p( x) ⑵存在量词——“存在一个” 、 “至少有一个”等,用“ ? ”表示 特称命题 p : ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ?p : ?x ? M , ?p( x)

圆锥曲线
1、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2 )的点的轨迹称为椭圆 即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ,这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a

范围

?1 ? ?a, 0 ? 、 ?2 ? a, 0 ?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b, 0 ? 、 ?2 ? b, 0 ?
长轴的长 ? 2a

?1 ? 0, ?b ? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

- 20 -

3、 两种标准方程可用统一形式表示:Ax ? By ? 1( A ? 0, B ? 0, A ? B) 。 当 A ? B 时, 椭圆的焦点在 x
2 2

轴上, A ? B 时焦点在 y 轴上) ,这种形式用起来更方便

B
4、

F1
A

如图, C ?AF2 B ? 4a

S ?F1BF2 ? b 2 ? tan

F2

?F1 BF2 2

5、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F 1F 2 )的点的轨迹称为双曲线.即:

|| MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距
6、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

()标准方 程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? ?a, 0 ? 、 ?2 ? a, 0 ?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?
y?? b x a

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a
y?? a x b

渐近线方程

7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 8、

S ?F1MF2 ? b 2 ?

1 ?F MF tan 1 2 2

9、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦点,
- 21 -

定直线 l 称为抛物线的准线 10、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点 对称轴

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
p 2
y轴

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?

p? ? F ? 0, ? ? 2?

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

准线方程

x??

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率 范围

e ?1 x?0
2

x?0

y?0

y?0

11、焦点弦(了解):对于 y ? 2 py ,过焦点的弦 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 有

p2 2p 2 , AB ? x1 ? x2 ? p ? , y1 y2 ? ? p x1 x2 ? 4 sin 2 ?
通径:过焦点垂直于对称轴的弦长为 2 p 12、①涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题: (1)涉及相交弦的长,弦所在直线的方程等时,可利用“设而不求、 韦达定理、整体代入”求解 (2)涉及弦的中点及斜率时也可用“点差法”求解 ②弦长公式: 圆锥曲线与直线 y ? kx ? b 交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则弦长 AB ? ③求曲线方程(轨迹方程)常用方法:直接法,定义法,参数法,相关点法 注意:求轨迹方程后要检验某些特殊点是否可取

(1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

导数及其应用
1、求导数的概念:设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,如果 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比 函数的平均变化率)有极限即

?y 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? lim ?x ? 0 处的导数,记作 f / ( x0 ) ? lim ?x ?o ?x ?x ?o x ? x0 ?x x ? x0
- 22 -

?y (也叫 ?x

2、导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数的几何意义,就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , y 0 ) 处的切线 的斜率,即斜率为 f ?( x0 ) ,过点 P 的切线方程为: y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 3、求导数的方法: (1)求导公式 (2)导数的四则运算法则 (3)复合函数的求导公式 (4)导数定义 1、依定义求导数的方法: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x)

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ?y (3)取极限,得导数 y / = f ?( x) ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?x n n ?1 2、几种常见函数的导数: C ' ? 0 ( C 为常数) ( x )' ? nx ( n ? Q ) (sin x)' ? cos x 1 1 (ln x)' ? (log a x)' ? log a e (e x )' ? e x (a x )' ? a x ln a (cos x)' ? ? sin x x x ' ' ' 4、导数的四则运算法则: [u( x) ? v( x)] ? u ( x) ? v ( x) [u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x)
(2)求平均变化率

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) ? ? ? v2 ?v? ? 5、复合函数的导数:设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u ? x ? ? ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 的对应点 u 处有 ? ? f ?(u) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处也有导数,且 y' x ? y'u ?u' x 或 y ? ? ? 导数 yu x ? f (u ) ? ? ( x)
[Cu( x)]? ? Cu '( x)
6、判断函数的单调性: (1)函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减 函数 (2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法 ①确定函数 f ( x) 的定义区间 ②求 f ?( x) ,令 f ?( x) ? 0 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根 ③把函数 f ( x) 的间断点[即包括 f ( x) 的无定义点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排 列起来,然后用这些点把函数 f ( x) 的定义区间分成若干个小区间 ④确定 f ?( x) 在各小区间内的符号,根据 f ?( x) 的符号判定 f ( x) 在每个相应小开区间内的增减性 7、求可导函数的极值: (1)极值的概念:设函数 f ( x) 在点 x 0 附近有定义,且若对 x 0 附近所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或

'

f ( x) ? f ( x 0 ) ) ,则称 f ( x0 ) 为函数的一个极大(小)值,称 x 0 为极大(小)值点 (2)求可导函数 f ( x) 极值的步骤: ①求导数 f ?( x) ②求方程 f ?( x) ? 0 的根 ③检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 的根的左右的符号,如果根的左侧为正,右侧为负,则函数在此处
取得极大值;如果在根的左侧为负,右侧为正,则函数在此处取得极小值 8、求函数的最大值与最小值: (1)设 y ? f ( x) 是定义在区间 ?a, b? 上的函数,并在 (a, b) 内可导,求函数在 ?a, b? 上的最值可分两步 进行: ①求 y ? f ( x) 在 (a, b) 内的极值 ②将 y ? f ( x) 在各极值点的极值与 f (a)、f (b) 比较, 其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最 小值 (2)若函数 f ( x) 在 ?a, b? 上单调递增(或递减) ,则 f (a) 为函数的最小值(或最大值) , f (b) 为函数 的最大值(或最小值)

复数
1、虚数单位:我们把字母 i 称为虚数单位,并规定:① i ? ?1 ②实数可以与 i 进行四则运算,进行运 算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立 2、虚数:把形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫做复数,全体复数组成的集合叫做复数集,记作 C
2

3、实部、虚部:复数通常用 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) ,其中 a 叫做复数 z 的实部, b 叫做复数 z 的 虚部
- 23 -

4、复数的分类:①当 b ? 0 时, z ? a ,它是实数 ③当 a ? 0, b ? 0 时, z ? bi 叫做纯虚数

②当 a ? 0, b ? 0 时, z ? a ? bi 叫做虚数

实数(b ? 0) ? ? ? 纯虚数a ? 0 .由此可见,复数集比实数集多的新数是虚数,实 即:复数 z ? a ? bi ? 虚数(b ? 0) ? ? ?一般虚数a ? 0 ?
数集是复数集的真子集,这样实数集就扩充到了复数集 提升: (1)实数也是复数,虚数、纯虚数也都是复数 (2)对于纯虚数 bi ,一定要注意 b ? 0 (3)复数 a ? bi 的虚部是 b ,是实数,不是 bi (4)两个虚数是不能比较大小的 注意:实数集、虚数集、纯虚数集、复数集这四个集合的关系如下图:

虚 数 集

复 数 纯虚 集 数集

实 数 集

5、两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚部分别相等;特别地,若 a ? bi ? 0 ,则

a ? 0, b ? 0

6、复数加(减)法法则:设 z1 ? a ? bi, z 2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 是两个任意复数,则复数的加(减)法按 照下面的法则进行:z1 ? z 2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i .该法则类似于多项式的合并同类 项 7、复数的加法满足交换律与结合律,即: z1 ? z 2 ? z 2 ? z1 , ( z1 ? z 2 ) ? z 3 ? z1 ? ( z 2 ? z3 ) 8、复数减法是复数加法的逆运算 提升:当 b ? 0, d ? 0 时, z1 ? a, z 2 ? c 是实数, z1 ? z 2 ? a ? c, z1 ? z 2 ? a ? c ,这说明当 z1 , z 2 为 实数时,运算法则与以前是一致的 9、复数乘法法则:设 z1 ? a ? bi, z 2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 是任意两个复数,则复数的乘法按照下面的法 则进行: z1 z 2 ? (a ? bi)(c ? di) ? ac ? adi ? bci ? bdi ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i
2

归纳: (1)复数的乘法法则类似于多项式的乘法,只是在运算过程中要把 i 换成 ? 1 ,然后再合并同类项 (2)复数乘法满足交换律、结合律、分配律,即:
2

z1 z 2 ? z 2 z1 , ( z1 z 2 ) z3 ? z1 ( z 2 z3 ), z1 ( z 2 ? z3 ) ? z1 z 2 ? z1 z3
10、共轭复数:一般地,我们把实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.若 z ? a ? bi , 则记 z 的共轭复数为 z ,即: z ? a ? bi 11、共轭复数的性质:① z z ? R, z ? z ? R
n n

提升:当 b ? 0, d ? 0 时, z1 ? a, z 2 ? c 是实数, z1 z 2 ? ac ,运算法则与以前是一致的

②z ? z
?

③z ? z ? z?R

④ z1 ? z 2 ? z1 ? z 2

12、复平面:复数 z ? a ? bi(a,b ? R) 可以用点 Z (a, b) 表示,我们把建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数点;除原点外,虚轴 上的点都表示纯虚数点

⑤ z1 z 2 ? z1 z 2 , z ? ( z ) (n ? N , n ? 2) (我们可以用性质③来证明一个复数是实数)

?? 平面向量OZ 总结: 复数集 C 和复平面内的点所成的集合一一对应, 即: 复数 z ? a ? bi ???
一一对应

提升: (1) z 与 z 的对应点关于实轴对称

(2)相等的向量表示同一个复数

13、复数的模:设复数 z ? a ? bi(a,b ? R) ,在复平面内的对应向量为 OZ ,向量 OZ 的模叫做复数 z 的 模,也称复数 z 的距离,记作: z 或 a ? bi 复数模的计算: z ? a ? bi ? 复数模的性质: (1) z ? z

a2 ? b2
(2) z ? z ? z
2

(3) z1 z 2 ? z1 z 2

(4)

z1 z1 ? z2 z2

- 24 -

注意: (1)复数 z 的模 z 是一个非负实数,可以比较大小(两个复数之间不能比较大小) ,当且仅当

z ? 0 时, z ? 0
(2)复数 z 的模 z 的意义是: z 表示复平面内 z 的对应点到原点的距离 14、复数加(减)法的几何意义:设 z1 ? a ? bi, z 2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) ,在复 平面内 z1 , z 2 的对应点为 Z 1, Z 2 (如图所示) ,向量 OZ1 与 OZ 2 的和向量 OZ 是与复数 (a ? c) ? (b ? d )i 对应的向量 15、复数形式的基本轨迹 就是与复数 (a ? c) ? (b ? d )i 对应的向量;向量 OZ1 与 OZ 2 的差向量 Z 2 Z 1 就

y
Z2

Z
Z1

O

x

(1) z ? z1 ? r 表示复数 z 对应的点的轨迹是以 z1 对应的点为圆心,半径为 r 的圆,单位圆为 z ? 1 (2) z ? z1 ? z ? z 2 表示以复数 z1、z 2 的对应点为端点的线段的垂直平分线 (3) z ? z1 ? z ? z 2 ? 2a(2a ? Z1 Z 2 ? 0) 表示以复数 z1、z 2 的对应点为焦点的椭圆 (4) z ? z1 ? z ? z 2 ? 2a(0 ? 2a ? Z1 Z 2 ) 表示以复数 z1、z 2 的对应点为焦点的双曲线

统计案例
1、线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系 ②制作散点图,判断线性相关关系
n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ? ?b ? n 2 ③线性回归方程:y ? bx ? a(最小二乘法) ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx

注意: 线性回归直线经过定点 ( x, y )

2、相关系数(判定两个变量线性相关性) :r ?

? (x
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( y i ? y )
n

? ( xi ? x ) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r ? 0 时,变量 x, y 正相关 不存在线性相关关系 3、回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和:

r ? 0 时,变量 x, y 负相关 ⑵① | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强 ② | r | 接近于 0 时,两个变量之间几乎

? ( yi ? y) 2
i ?1 n

n

⑵残差: ei ? yi ? yi

?

?

⑶残差平方和:

? ( yi ? yi ) 2
i ?1
i

n

?

⑷回归平方和:

? ( yi ? y) 2 - ? ( yi ? yi ) 2
i ?1 i ?1

n

?

⑸相关指数 R ? 1 ?
2

?(y ?(y
i ?1 i ?1 n

n

? yi ) 2 ? yi ) 2

?

i

注:① R 得值越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好 ② R 越接近于 1,则回归效果越好 4、独立性检验(分类变量关系) : 随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱
2

2 2

- 25 -

推理与证明
1、推理: ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理 ①归纳推理: 由某类食物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征 的推理,称为类比推理,简称类比 注:类比推理是特殊到特殊的推理

⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理 注:演绎推理是由一般到特殊的推理 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论 研究的特殊情况 2、证明 (1)直接证明 ①综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最推导出所 要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法 ②分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明的方法叫分析法。 分析法又叫逆推证法或执果索因法 (2)间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命 题成立,这种证明方法叫反证法 ⑵小前提---------所

⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断

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