2011年广州市高三年级调研测试-数学(文科)试题word版


一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 函数 g ? x ? ? A. x x ? ?3 C. x x ? ?3

x ? 3 的定义域为

?

? ?

B. x x ? ?3 D. x x ? ?3

?

? ?

?

?

2.已知 i 为虚数单位, 则复数 z ? i (1? i ) 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.设向量 a ? (2,0) , b ? (1,1) ,则下列结论中正确的是 A. | a |?| b | B. a ? b ?

1 2

C. a // b

D. (a ? b) ? b

4.已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相切,切点在第四象限,则直线 l 的
2 2

方程为 A. y ? ? 3x B. y ? C. y ? ?

3x

3 x 3

D. y ?

3 x 3

5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 甲 平均环数 x 方差 s
2







8.6 3.5

8.9 3.5

8.9 2.1

8.2 5.6

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是 A.甲 B. 乙 C. 丙 D.丁

6.如果执行图 1 的程序框图,若输入 n ? 6, m ? 4 ,那么输出的 p 等于 A.720
2

B.360

C.240

D.120 图1

7.“ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3

3

8.定义 x ? y ? x ? y , 则 h ? ? h ? h ? 等于
3

A. ?h

B. 0
3

C. h D. h 9. 一空间几何体的三视图如图 2 所示, 该几何体的 体积为 12? ? A. 5 C. 3

8 5 ,则正视图中 x 的值为 3
B. 4 D. 2

10.若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位, 4

沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变),得到函数

y ? sin x 的图象,则 y ? f ? x ? 的解析式为
A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 4?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 2?

C. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 4? ?2

D. y ? sin ?

?? ?1 x ? ? ?1 2? ?2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知等比数列 ?an ? 的公比是 2 , a3 ? 3 ,则 a5 的值是 .

12.△ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 2, b ? 3 ,



sin A ? sin( A ? C )
?2? x , ? 2 ?x , ?

.

13.设函数 f ? x ? ? ?

x ? ?1, ?? ? .

x ? ? ??,1? ,

若 f ? x ? ? 4 ,则 x 的取值范围是
M B

.
A N D

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 3,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,

BC 是直径, MN 与⊙ O 相切, 切点为 A , ?MAB ? 35? ,
则 ?D ? .
-2-

O C 图3

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 2t , ( t 为参 ? y ? 1 ? 4t
.

数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin ? , 2) , b ? (cos ? ,1) , 且 a // b ,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos? 的值; (2)若 sin(? ? ?) ?

?
2

).

3 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 5 2

17.(本小题满分 12 分) 某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数 分布)如下表: 学历 本科 研究生 35 岁以下 80 35~50 岁 30 20 50 岁以上 20

x

y

(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本 看成一个总体, 从中任取 2 人, 求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁以 下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上 的概率为

5 ,求 x 、 y 的值. 39

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,

△PAD 是等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 4 , AB ? 2 DC ? 2 5 .
(1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积. A 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

P

D

C B 图4

x2 y 2 1 ? ? 1 a ? 3 的离心率 e ? . 直线 x ? t ( t ? 0 )与曲线 E 交于 2 a 3 2
-3-

?

?

不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 C ,圆心为 C . (1)求椭圆 E 的方程; (2)若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABC 的面积的最大值.

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 1 ? an (n ? N * ) .各项为正数的数列 {bn } 中, 对于一切 n?N * ,有

?
k ?1

n

1 bk ? bk ?1

?

n b1 ? bn ?1

, 且 b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 3 .

(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 2 .

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x . x

(1)求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间;

(2)若关于 x 的方程

g ? x? x2

? f ? x ? ? 2e (e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求 a 的值.

-4-

2011 年广州市高三调研测试 数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C
?

10 B

二、填空题:11. 12

12.

2 3

13. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ?

14. 125

15.相交

三、解答题: 16. (1)解:∵ a ? (sin ? , 2) , b ? (cos ? ,1) , 且 a // b ,

sin ? cos ? ,即 sin? ? 2 cos? . ? 2 1 ? ?? 2 2 ∵ sin ? ? cos ? ? 1, ? ? ? 0, ? , ? 2? 2 5 5 , cos? ? ∴ sin ? ? . 5 5
∴ (2)解:∵ 0 ? ? ?

?? 2 分 解得 sin ? ?

2 5 5 ,cos ? ? , 5 5
?? 6 分

?

2

,0 ?? ?

?
2

2

,∴ ?

?

2

? ? ?? ?

?
2

.

∵ sin(? ? ? ) ?

3 , 5

4 . 5 ∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ?)] ? cos ? cos(? ? ?) ? sin ? sin(? ? ?)
∴ cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?

?? 8 分 ?? 10 分 ?? 12 分

?

2 5 . 5

17. 解: 用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本, 设抽取学历为本科的人数为 m , (1) ∴

30 m ? , 解得 m ? 3 . 50 5

?? 2 分

∴ 抽取了学历为研究生 2 人,学历为本科 3 人,分别记作 S1、S2 ;B1、B2、B3 . 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),(S2, B2), (S2, B3), (S1, S2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3). 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1), (S2, B2), (S2, B3), (S1, S2). ?? 4 分 ∴ 从中任取 2 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 (2)解: 依题意得:

7 . 10

?? 6 分 ?? 8 分

10 5 ,解得 N ? 78 . ? N 39


∴ 35~50 岁中被抽取的人数为 78 ? 48 ?10 ? 20 . 解得 x ? 40,

48 20 10 ? ? . ?? 10 分 80 ? x 50 20 ? y
2 2 2

y ?5.

∴ x ? 40,

y ?5.

?? 12 分

18.(1)证明:在 △ABD 中,由于 AD ? 2 , BD ? 4 , AB ? 2 5 ,∴ AD ? BD ? AB . ? 2 分 ∴ AD ? BD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD , ∴ BD ? 平面 PAD . ?? 4 分
第 1 页 共 4 页

(2)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O . 又平面 PAD ? 平面 ABCD , ∴ PO ? 平面 ABCD . ∵ △PAD 是边长为 2 的等边三角形, ∴ PO ? 3 . 由(1)知, AD ? BD ,在 Rt△ABD 中, 斜边 AB 边上的高为 h ?

?? 6 分

P

AD ? BD 4 5 . ?? 8 分 ? AB 5 1 1 4 5 ∵ AB ∥ DC ,∴ S△ ACD ? CD ? h ? ? 5 ? ? 2 . ?? 10 分 2 2 5 O 1 1 2 3 ∴ VA? PCD ? VP ? ACD ? S△ ACD ? PO ? ? 2 ? 3 ? . ?? 14 分 A 3 3 3
19.(1)解:∵椭圆 E :

D

C

B

a2 ? 3 1 x2 y 2 1 ? . ?? 2 分 ? ? 1 a ? 3 的离心率 e ? , ∴ a 2 a2 3 2 2 2 x y ? ? 1. 解得 a ? 2 .∴ 椭圆 E 的方程为 ?? 4 分 4 3 ? x ? t, 12 ? 3t 2 ? 2 (2)解法 1:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 ? t ? 2) . 由 ? x2 y 2 得y ? . 4 ? ? 1, ? 3 ?4

?

?

12 ? 3t 2 . ?? 6 分 2 ∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t ,
∴ 圆 C 的半径为 r ?

12 ? 3t 2 2 21 ∴ 0?t? ,即 0 ? t ? . 2 7
∴ 弦长 | AB |? 2 r ? d ? 2
2 2

12 ? 3t 2 2 ? t ? 12 ? 7t 2 . 4

??8 分 ?? 9 分

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 ? t 12 ? 7t 2 2
2

?

1 2 7

?

? 7t ?? 12 ? 7t

?

1 2 7

? 7t ? ?

2

? 12 ? 7t 2 2

?

3 7 . ?? 12 分 7

42 时,等号成立. 7 3 7 ∴ ?ABC 的面积的最大值为 . ?? 14 分 7 ? x ? t, 12 ? 3t 2 ? 2 解法 2:依题意,圆心为 C (t , 0)(0 ? t ? 2) . 由 ? x2 y 2 得y ? . 4 ? ? 1, ? 3 ?4
当且仅当 7t ? 12 ? 7t ,即 t ?
2

12 ? 3t 2 . ?? 6 分 2 12 ? 3t 2 2 2 ∴ 圆 C 的方程为 ( x ? t ) ? y ? . 4 ∵ 圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,且圆心 C 到 y 轴的距离 d ? t ,
∴ 圆 C 的半径为 r ?

第 2 页 共 4 页

∴ 0?t?

12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 ? t ? . 2 7
2 2

在圆 C 的方程 ( x ? t ) ? y ? ∴ 弦长 | AB |? 12 ? 7t .
2

12 ? 7t 2 12 ? 3t 2 中,令 x ? 0 ,得 y ? ? , 2 4
?? 8 分 ?? 9 分
2

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 ? t 12 ? 7t 2 2
2

?

1 2 7

?

? 7t ?? 12 ? 7t

?
2

1 2 7

? 7t ? ?

? 12 ? 7t 2 2

?

3 7 . ??12 分 7

当且仅当 7t ? 12 ? 7t ,即 t ? ∴ ?ABC 的面积的最大值为 20.(1)解:∵ S n ? 1 ? an , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ? a1 , 解得 a1 ?

42 时,等号成立. 7
?? 14 分

3 7 . 7

1 . 2
an 1 ? . an ?1 2

??1 分 ?? 3 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ?1 ? an ? ? ?1 ? an ?1 ? ,得 2an ? an ?1 , 即
n ?1

∴数列 {a n } 是首项为

1 ?1? 1 1 1 , 公比为 的等比数列.∴ an ? ? ? ? ? n . 2 ?2? 2 2 2 n 1 n ? ∵ 对于一切 n?N * ,有 ? , ① bk ? bk ?1 b1 ? bn ?1 k ?1

?? 4 分

当 n ? 2 时, 有 ① ? ② 得: 化简得:

?
k ?1

n ?1

1 bk ? bk ?1

?

n ?1 b1 ? bn





1 n n ?1 ? ? bn ? bn ?1 b1 ? bn ?1 b1 ? bn
③ ④ ??6 分 ?? 8 分 ?? 10 分

(n ? 1)bn?1 ? nbn ? b1 ? 0 ,

用 n ? 1替换③式中的 n ,得: nbn ? 2 ? (n ? 1)bn ?1 ? b1 ? 0 , ∵ b3 ? b2 ? b2 ? b1 ? 1 ,∴ 数列 {bn } 为等差数列. ∵ b1 ? 1, b2 ? 2 (2)证明:∵数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,

③-④ 整理得: bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn , ∴当 n ? 2 时, 数列 {bn } 为等差数列. ∴数列 {bn } 的公差 d ? 1 . ∴ bn ? 1 ? ? n ? 1? ? n .

1 2 3 n 1 1 2 n ? 2 ? 3 ? ? ? n , ⑤ ∴ Tn ? 2 ? 2 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ⑤-⑥得: Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2
∴ Tn ?

⑥ ?? 12 分

第 3 页 共 4 页

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? ? ? 1 1? 2

n

? ? ? ? ? n ? 1 ? n ? 2 . ∴ T ? 2 ? n ? 2 ? 2 . ??14 分 n 2n ?1 2n?1 2n

21. (1)解: 函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? ∴ F ' ? x? ? 1 ?

a ? ln x 的定义域为 ? 0, ?? ? . x

a 1 x2 ? x ? a . ? ? x2 x2 x 1 ' 2 ① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? 时, 得 x ? x ? a ? 0 ,则 F ? x ? ? 0 . 4 ∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.
1 ' 2 时, 令 F ? x ? ? 0, 得 x ? x ? a ? 0 , 4 ?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a ? 0, x2 ? 解得 x1 ? . 2 2 ?1 ? 1 ? 4a 1 ?0. (ⅰ) 若 ? ? a ? 0 , 则 x2 ? 2 4 ' ∵ x ? ? 0, ?? ? , ∴ F ? x ? ? 0 , ∴函数 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.
② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ? (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0, ∴函数 F ? x ? 在区间 ? 0,

??2 分

?? 4 分

? ? ?

? ?1 ? 1 ? 4 a ? ?1 ? 1 ? 4 a ? ' , ?? ? 时, F ' ? x ? ? 0 , ? 时, F ? x ? ? 0 ; x ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ?

? ? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? ? 上单调递增.? 6 分 ? 上单调递减, 在区间 ? ? ? ? 2 ? ? ? 综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ; ?1 ? 1 ? 4 a 2 ? ?1 ? 1 ? 4 a ? ? ?1 ? 1 ? 4 a ? , ?? ? . ? 8 分 ? , 递增区间为 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? g ? x? ln x a ln x (2) 解: 由 2 ? f ? x ? ? 2e , 得 2 ? x ? ? 2e , 化为 ? x 2 ? 2ex ? a . x x x x ln x 1 ? ln x ' ' 令 h ? x? ? , 则 h ? x? ? .令 h ? x ? ? 0 , 得 x ? e . 2 x x ' ' 当 0 ? x ? e 时, h ? x ? ? 0 ; 当 x ? e 时, h ? x ? ? 0 .
当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的递减区间为 ? 0, ∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增, 在区间 ? e, ?? ? 上单调递减. ∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ? 而函数 m ? x ? ? x ? 2ex ? a ? ? x ? e ? ? a ? e ,
2 2 2

? ? ?

1 . e
2

?? 10 分

当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e ? ? a ? e . ∴ 当a ?e ?
2

?? 12 分 ?? 14 分

g ? x? 1 1 2 , 即 a ? e ? 时, 方程 2 ? f ? x ? ? 2e 只有一个根. x e e

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