第四章


第四章

第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例 课下练兵场
命 题 报 告 难度及题号 知识点 两平面向量的夹角 求平面向量的模 两平面向量的 垂直与平行 向量的数量积 4 1、6 、 2、3 、 容易题 (题号 题号) 题号 中等题 (题号 题号) 题号 11 5、7 、 10 8、9 、 12 稍难题 稍难题 (题号 题号) 题号

一、选择题 1.已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin2x),其中 x∈(0,π).若|a·b|=|a|·|b|,则 tanx 的值等于 已知 = , 的值等于( ,= , , ∈ , 若 = , A.1 B.-1 - C. 3 D. 2 2 )

解析: 解析:由|a·b|=|a|·|b|知,a∥b. = 知 所以 sin2x=2sin2x, = , 即 2sinxcosx=2sin2x,而 x∈(0,π),所以 sinx=cosx, = , ∈ , , = , π 即 x=4,故 tanx=1. = = 答案: 答案:A 2.在△ABC 中, 是 BC 的中点, =1, P 在 AM 上且满足 AP =2 PM , PA ·( PB 在 M 的中点, AM= , 点 则 + PC )等于 等于 4 A.- - 9 4 B.- - 3 4 C. 3 4 D. 9 ( )

2 1 4 解析: 解析: PA ·( PB + PC )= PA 2 PM =3×2×3cosπ=-9. = =- 答案: 答案:A 3.设 a、b、c 是单位向量,且 a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为 设 、 、 是单位向量, = , - - 的最小值为 A.-2 - B. 2-2 - C.-1 - D.1- 2 - ( )

解析: - 解析:(a-c)·(b-c)=a·b-c·(a+b)+c2 - = - + + 〉+1 =0-|c|·|a+b|·cos〈c,(a+b)〉+ - + 〈 , + 〉+
2 ≥0-|c||a+b|+1=- (a+b) +1 - + + =-

2 2 2 2 =- a +b +2a·b+1=- a +b +1 + =-

=- 2+1. + 答案: 答案:D 4.一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿 的作用而处于平衡状态 已知 F1,F2 一质点受到平面上的三个力 单位: 的作用而处于平衡状态.已知 单位 牛顿)的作用而处于平衡状态 F 成 60°角, F1, 2 的大小分别为 2 和 4, F3 的大小为 角 且 , 则 A.6 B.2 C.2 5 D.2 7 ( )

解析: 是一个向量, 解析:因为力 F 是一个向量,由向量加法的平行四边形法则知 F3 的大小等于以 F1、F2
2 2 2 为邻边的平行四边形的对角线的长, 为邻边的平行四边形的对角线的长,故|F3| =|F1| +|F2| +2|F1|·|F2|·cos60°=4+16+8= = + + =

28,∴|F3|=2 7. , = 答案: 答案:D 5.已知向量 a=(cosθ,sinθ),向量 b=( 3,- ,则|2a-b|的最大、小值分别是 已知向量 = ,-1), 的最大、 , , = ,- - 的最大 A.4 2,0 , B.4,2 2 C.16,0 D.4,0 ( )

π 解析: 由于|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a·b=8-4( 3cosθ-sinθ)=8-8cos(θ+ ), - 解析: 由于 - = + - = - = - +6 , 易知 0≤8 ≤ π - 的最大值和最小值分别为 -8cos(θ+ )≤16,故|2a-b|的最大值和最小值分别为 4 和 0. + ≤ , 6 答案: 答案:D 6.在△ABC 中,( BC + BA )· AC =| AC |2,则三角形 ABC 的形状一定是 在 A.等边三角形 等边三角形 C.直角三角形 直角三角形 B.等腰三角形 等腰三角形 D.等腰直角三角形 等腰直角三角形
2

(

)

解析: 解析:由 ( BC + BA) i AC = AC ,

得 AC i( BC + BA ? AC ) = 0, 即 AC i( BC + BA = CA) = 0,
∴ AB + BC + CA = 0, ∴ AC ⊥ BA ,∴∠A=90°. ∴∠A=90° A=90 答案: 答案:C 二、填空题 7.已知向量 a=(2,- ,b=(x,- ,c=(3,y),若 a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y), 已知向量 = ,- ,-1), = ,- ,-2), = , , ∥ , + ⊥ - , , , N(y,x),则向量 MN 的模为 , , .

解析: ∥ , = , ,-2), 解析:∵a∥b,∴x=4,∴b=(4,- , = ,- ,-3), - = ,- ,-2- ∵ + ⊥ - , ∴a+b=(6,- ,b-c=(1,- -y).∵(a+b)⊥(b-c), + = ,- =-4, ∴(a+b)·(b-c)=0,即 6-3(-2-y)=0,∴y=- , + - = , - - - = , =- - , = 故向量 MN =(-8,8),| MN |=8 2.

答案: 答案:8 2 8.若平面上三点 A、B、C 满足 AB |=3,| BC |=4,| CA |=5,则 AB · BC + BC · CA 若平面上三点 、 、 满足| = , = , = , + CA · AB 的值等于 解析: 解析:由 AB + BC + .

CA =0 可得 ( AB + BC + CA)2 =0, ,
2

∴9+16+25+2 ( AB i BC + BC iCAi AB ) = 0,

AB i BC + BC iCAi AB = ?25.
答案: 答案:-25 9.关于平面向量 a,b,c,有下列三个命题: 关于平面向量 , , ,有下列三个命题: ①若 a·b=a·c,则 b=c. = , = ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=- = , , =- , ∥ , =-3. =- 满足|a|= = - , ③非零向量 a 和 b 满足 =|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°. + 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号 写出所有真命题的序号). 写出所有真命题的序号

解析:命题①明显错误 由两向量平行的充要条件得 =-3,故命题② 解析:命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得 1×6+2k=0,k=- ,故命题②正 + = , =- 确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得 a 与 a+b 的夹角为 30°,命题③错误 由 = = - , + ,命题③错误. 答案: 答案:② 三、解答题 10.已知向量 a=(1,2),b=(2,- 已知向量 = ,-2). , = ,- (1)设 c=4a+b,求(b·c)a; 设 = + , ; (2)若 a+λb 与 a 垂直,求 λ 的值; 若 + 垂直, 的值; (3)求向量 a 在 b 方向上的投影 求向量 方向上的投影. ,-2), 解:(1)∵a=(1,2),b=(2,- , ∵ = , = ,- ,-2)= ∴c=4a+b=(4,8)+(2,- =(6,6). = + = + ,- ∴b·c=2×6-2×6=0, = - = , ∴(b·c)a=0a=0. = = (2)a+λb=(1,2)+λ(2,- =(2λ+1,2-2λ), + = ,-2)= + - , + ,- 由于 a+λb 与 a 垂直, + 5 ∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=2. + + - = , = (3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ, 设向量 , 方向上的投影为|a|cosθ. 向量 a 在 b 方向上的投影为 + - a·b 1×2+2×(-2) ∴|a|cosθ= |b| = = 22+(-2)2 - 2 2 =- 2 . =- 2 2

11.在△ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cosA,sinA),向量 n 在 , , , , , = , , =( 2-sinA,cosA),若|m+n|=2. - , , + = (1)求角 A 的大小; 求角 的大小; (2)若 b=4 2,且 c= 2a,求△ABC 的面积 若 = 的面积. , = ,
2 解:∵(1)|m+n| + 2 2 =(cosA+ 2-sinA) +(sinA+cosA) + - +

π =4+2 2(cosA-sinA)=4+4cos(4+A), + - = + , π π ∴4+4cos(4+A)=4,∴cos(4+A)=0, + = , = , π π π ∵A∈(0,π),∴4+A=2,∴A=4. ∈ , , = = (2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccosA, 由余弦定理知: 由余弦定理知 , π 2 2 2 即 a =(4 2) +( 2a) -2×4 2× 2acos4, 解得 a=4 2,∴c=8, = , = , 2 1 1 ∴S△ABC=2bcsinA=2×4 2×8× 2 =16. = x x x 12.(2010·临沂模拟 已知向量 m=( 3sin ,1),n=(cos ,cos2 ). 临沂模拟)已知向量 = , = 临沂模拟 4 4 4 2π (1)若 m·n=1,求 cos( -x)的值; 若 的值; = , 的值 3 (2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 -c)cosB 记 = , , , , , ,且满足(2a- 的取值范围. =bcosC,求函数 f(A)的取值范围 , 的取值范围 x x x 解:(1)∵m·n=1,即 3sin4cos4+cos24=1, ∵ = , , 3 x 1 x 1 即 2 sin2+2cos2+2=1, , x π 1 ∴sin(2+6)=2. = 2π 2π π =-cos(x+ ) ∴cos( 3 -x)=cos(x- 3 )=- = - =- +3 x π =-[1- =- -2sin2(2+6)] 1 1 =2·(2)2-1=-2. =- (2)∵(2a-c)cosB=bcosC, ∵ - = , 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. - 由正弦定理得 = ∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, - = ,

∴2sinAcosB=sin(B+C), = + , ∵A+B+C=π, + + = , ∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0, + = , , π 1 ∴cosB=2,B=3, = = 2π ∴0<A< 3 . < < A π π A π π 1 ∴ 6< 2 +6<2,2<sin( 2 + 6)<1. < x π 1 又∵f(x)=m·n=sin(2+ 6)+2, = = + A π 1 ∴f(A)=sin( 2 + 6)+2. = + 3 的取值范围是(1, 故函数 f(A)的取值范围是 ,2). 的取值范围是


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