2016高考数学二轮复习 专题3 数列 第二讲 数列求和及综合应用配套作业 文


第二讲
配套作业

数列求和及综合应用

一、选择题 1.已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 a1+a2 012=1,a2 013=-1 006,则使 Sn 取最值时 n 的值为(D) A.1 005 B.1 006 C.1 007 D.1 006 或 1 007 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a3+a7=-6,则当 Sn 取最小值时,n =(D) A.9 B.8 C.7 D.6 3.等比数列{an}前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么数列 T10,T13,T17, T25 中也是常数的项是(C) A.T10 B.T13 C.T17 D.T25 2 5 17 8 3 3 解析:∵a3a6a18=a1q ·a1q ·a1q =(a1q ) =(a9) 为定值. 8 17 17 ∴T17=a1a2…a17=(a1q ) =(a9) 也是定值. 4.已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5·a2n-5=2 (n≥3) ,则当 n≥1 时, log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=(C) 2 A.n(2n-1) B.(n+1) 2 2 C.n D.(n-1) 2n 2 2n n 解析:由 a5·a2n-5=2 (n≥3)得 an=2 ,an>0,则 an=2 ,log2a1+log2a3+…+log2a2n 2 -1=1+3+…+(2n-1)=n .故选 C. 5.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S8=32, 则 S10=(C) A.18 B.24 C.60 D.90 2 2 解析:由 a4=a3a7,得(a1+3d) =(a1+2d) (a1+6d) ,得 2a1+3d=0,再由 S8=8a1 56 90 + d=32,得 2a1+7d=8,则 d=2,a1=-3,所以 S10=10a1+ d=60.故选 C. 2 2
2n

? ?2 -1,x≤0, 6.已知函数 f(x)=? 把函数 g(x)=f(x)-x 的零点按从小 ?f(x-1)+1,x>0, ?

x

到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为(B) A.an=

n(n-1)
2

B.an=n-1
n

C.an=n(n-1) D.an=2 -2 x-1 解析:若 0<x≤1,则-1<x-1<0,得 f(x)=f(x-1)+1=2 , 若 1<x≤2,则 0<x

1

-1≤1,得 f(x)=f(x-1)+1=2 +1,若 2<x≤3,则 1<x-1≤2,得 f(x)=f(x x-3 x-4 -1)+1=2 +2,若 3<x≤4,则 2<x-1<3,得 f(x)=f(x-1)+1=2 +3. x-n-1 以此类推,若 n<x≤n+1(其中 n∈N) ,则 f(x)=f(x-1)+1=2 +n, 下面 x 分析函数 f(x)=2 的图象与直线 y=x+1 的交点.很显然,它们有两个交点(0,1)和(1, x 2) ,由于指数函数 f(x)=2 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. x x ①将函数 f(x)=2 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位即得到函数 f(x)=2 -1 和 y=x 的图象,取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0). 即当 x≤0 时,方程 f(x)-x=0 有且仅有一个根 x=0. x ②取①中函数 f(x)=2 -1 和 y=x 图象-1<x≤0 的部分,再同时向上和向右各平移 x-1 一个单位,即得 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交 点(1,1).即当 0<x≤1 时,方程 f(x)-x=0 有且仅有一个根 x=1. x-1 ③取②中函数 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,继续按照上述步骤进行,即得 x-2 到f (x) =2 +1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象, 显然, 此时它们仍然只有一个交点 (2, 2) . 即当 1<x≤2 时,方程 f(x)-x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的交点依 次为(3,3) , (4,4) ,…, (n+1,n+1).即方程 f(x)-x=0 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的根依次为 3,4,…,n+1. 综上所述方程 f(x)-x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,…, n+1,其通项公式为 an=n-1.故选 B. 二、填空题 7.对正整数 n, 设曲线 y=x (1-x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an, 则?
n

x-2

?

? ?n+1?

an ?

的前 n 项和是 W. n n n+1 n-1 n 解析:曲线 y=x (1-x)=x -x ,曲线导数为 y′=nx -(n+1)x ,所以切线 n-1 n n-1 n n 斜率为 k=n2 -(n+1)2 =-(n+2)2 ,切点为(2,-2 ) ,所以切线方程为 y+2 n-1 n n n =-(n+2)2 (x-2) ,令 x=0 得,y+2 =(n+2)2 ,即 y=(n+1)2 ,所以 an= 2(1-2 ) (n+1) 2 ,所以 =2 , 是以 2 为首项, q=2 为公比的等比数列,所以 Sn= = n+1 1-2
n n

an

n

2

n+1

-2. n+1 答案:2 -2 8.等比数列{an}的公比 q>0, 已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4=

W. 解析:由 an+2+an+1=6an 得:q
n+1

+q =6q

n

n-1

,即 q +q-6=0,q>0,解得 q=2,又

2

1 4 (1-2 ) 2 1 15 a2=1,所以 a1= ,S4= = . 2 1-2 2 15 答案: 2 三、解答题 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2an=S2+Sn 对一切正整数 n 都成立. (1)求 a1,a2 的值.

2

(2)设 a1>0,数列?lg
?

?

10a1?

an ?

?的前 n 项和为 Tn,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的最

大值. 解析: (1)取 n=1,得 a2a1=S2+S1=2a1+a2,① 2 取 n=2,得 a2=2a1+2a2,② 由②-①,得 a2(a2-a1)=a2,③ 若 a2=0, 由①知 a1=0,若 a2≠0,易知 a2-a1=1.④ 由①④得:a1= 2+1, a2=2+ 2或 a1=1- 2,a2=2- 2; 综上所述,a1=0,a2=0 或 a1=1+ 2,a2=2+ 2或 a1=1- 2,a2=2- 2. (2)当 a1>0 时,由(1)知, a1= 2+1,a2=2+ 2; 当 n≥2 时,有(2+ 2)an=S2+Sn, (2+ 2)an-1=S2+Sn-1. 两式相减得(1+ 2)an=(2+ 2)an-1. 所以 an= 2an-1(n≥2). n-1 n-1 所以 an=a1( 2) =( 2+1)×( 2) . 10a1 1 100 n-1 令 bn=lg ,则 bn=1-lg( 2) = lg n-1. an 2 2 100 100? 1? 1 1 又 b1=1,bn-bn-1= ?lg n-1-lg n-2?=- lg 2,所以数列{bn}是以 1 为首项,- lg 2 ? 2? 2 2 2 2 为公差,且单调递减的等差数列.则 b1>b2>…>b7=lg 1 100 1 当 n≥8 时,bn≤b8= lg < lg 1=0. 2 128 2 所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 7(b1+b7) 21 =7- lg 2. 2 2 10 >lg 1=0. 8

T7=

? ?2an,an≤18, * 10.(2015·北京卷)已知数列{an}满足:a1∈N ,a1≤36,且 an+1=? (n ?2an-36,an>18 ?

=1,2,…).记集合 M={an|n∈N }. (1)若 a1=6,写出集合 M 的所有元素; (2)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明:M 的所有元素都是 3 的倍数; (3)求集合 M 的元素个数的最大值. 解析: (1)M={6,12,24}. (2)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数.
? ?2an,an≤18, 由 an+1=? 可归纳证明对任意 n≥k,an 是 3 的倍数. ?2an-36,an>18, ?

*

如果 k=1,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. 如果 k>1,因为 ak=2ak-1 或 ak=2ak-1-36,所以 2ak-1 是 3 的倍数,于是 ak-1 是 3 的倍 数.类似可得,ak-2,…,a1 都是 3 的倍数.从而对任意 n≥1,an 是 3 的倍数,因此 M 的所有 元素都是 3 的倍数.

3

综上,若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,则 M 的所有元素都是 3 的倍数.
?2an-1,an-1≤18, ? (3)由 a1≤36,an=? 可归纳证明 an≤36(n=2,3,…). ? ?2an-1-36,an-1>18, ?2a1,a1≤18, ? 因为 a1 是正整数,a2=? 所以 a2 是 2 的倍数.从而当 n≥3 时,an 是 ?2a1-36, a1>18, ?

2 的倍数. 如果 a1 是 3 的倍数, 由 (2) 知对所有正整数 n, an 是 3 的倍数.因此当 n≥3 时, an∈{12, 24,36},这时 M 的元素个数不超过 5.如果 a1 不是 3 的倍数,由(2)知对所有正整数 n, an 不是 3 的倍数.因此当 n≥3 时,an∈{4,8,16,20,28,32},这时 M 的元素个数不超过 8. 当 a1=1 时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有 8 个元素. 综上可知,集合 M 的元素个数的最大值为 8.

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