等差数列测试题(经典)


等差数列单元过关测试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 2 3 4 5 1.数列 1, , , , 的一个通项公式 an 是( 3 5 7 9 n A. 2n+1 n C. 2n-3 答案:B 2.等差数列{an}中,a5=10,a1+a2+a3=3,则( A.a1=-2,d=3 C.a1=-3,d=2 B.a1=2,d=-3 D.a1=3,d=-2 ) n B. 2n-1 n D. 2n+3 )

解析:∵a1+a2+a3=3,∴a2=1,∵a5=10,∴a5-a2=3d=9,d=3,a1=-2. 答案:A 1 3. (2012· 三明高二模拟)数列{an}满足 3+an=an+1(n∈N*), 且 a2+a4+a6=9, 则 log (a5 6 +a7+a9)的值是( A.-2 C.2 ) B.- 1 D. 2 1 2

解析:由 3+an=an+1(n∈N*),得 an+1-an=3. ∴数列{an}是以 3 为公差的等差数列. 由 a2+a4+a6=3a4=9,得 a4=3. ∴log 1 (a5+a7+a9)=log 1 (3a7)=log 1 [3(a4+3d)]
6 6 6

=-log6[3(3+9)]=-log636=-2. 答案:A 4.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于 x 的方程:x2+(a4+a6)x+10=0( A.无实根 C.有两个不等实根 B.有两个相等实根 D.不能确定有无实根 )

解析:由于 a4+a6=a2+a8=2a5, 即 3a5=9,∴a5=3, 方程为 x2+6x+10=0,无实数解.

答案:A

5.下列命题中正确的个数是(

)

(1)若 a,b,c 成等差数列,则 a2,b2,c2 一定成等差数列; (2)若 a,b,c 成等差数列,则 2a,2b,2c 可能成等差数列; (3)若 a,b,c 成等差数列,则 ka+2,kb+2,kc+2 一定成等差数列; 1 1 1 (4)若 a,b,c 成等差数列,则 , , 可能成等差数列. a b c A.4 个 C.2 个 B.3 个 D.1 个

解析:对于(1)取 a=1,b=2,c=3 ?a2=1,b2=4,c2=9,(1)错; 对于(2)a=b=c?2a=2b=2c,(2)正确; 对于(3)∵a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2b. ∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4 =2(kb+2),(3)正确; 1 1 1 对于(4),a=b=c≠0? = = , a b c (4)正确.综上可知选 B. 答案:B

6.等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间 项为( ) B.29 D.31

A.28 C.30

解析:可知中间项为第 n+1 项,

??n+1??a2+a ?=319, 依题意? n?a +a ? ? 2 =290.
1 2n+1 2 2n

n+1 319 ∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴ n = ,得 n=10. 290 又 S2n+1= ?2n+1?· ?a1+a2n+1? =(2n+1)· an+1=319+290, 2 609 =29. 21

∴an+1=a11=

答案:B 7.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则 a101 的值为( A.49 C.51 B.50 D.52 )

1 解析:∵2an+1-2an=1,∴an+1-an= . 2 1 ∴数列{an}是以 为公差的等差数列. 2 1 ∴a101=a1+(101-1)· d=2+100× =52. 2 答案:D 1 }为等差数列,则 an+1

8.(2012· 太原高二检测)已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若数列{ a11 等于( A.0 2 C. 3 ) 1 B. 2 D.-1

1 1 1 1 1 解析:设 bn= ,则 b3= = ,b7= = . an+1 a3+1 3 a7+1 2 ∵{bn}为等差数列,设其公差为 d, 1 1 - b7-b3 2 3 1 则 d= = = . 4 24 7-3 1 4 2 ∴b11=b7+4d= + = , 2 24 3 即 1 2 1 = ,解得 a11= . 2 a11+1 3

答案:B 3 1 9.(2012· 丰台模拟)已知数列{an}中,a1= ,an=1- (n≥2),则 a2 011=( 5 an-1 A.- 3 C. 5 1 2 B.- 5 D. 2 2 3 )

2 5 3 2 解析:由递推公式得 a2=- ,a3= ,a4= ,a5=- ,?,所以数列是周期数列,周 3 2 5 3 3 期为 3,于是 a2 011=a670×3+1=a1= . 5 答案:C

10.(2012· 沈阳市回民中学检测 )已知数列{an}为等差数列,若 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn>0 的 n 的最大值为( A.11 C.20 B.19 D.21 )

a11 <-1,且它们的前 n a10

解析:∵Sn 有最大值,∴{an}是递减等差数列. 又 由 a11 <0,∴a10>0,a11<0. a10 a11+a10 a11 <-1,得 <0. a10 a10

∴a11+a10<0. ∴S20= 20?a1+a20? =10(a11+a10)<0. 2

19?a1+a19? 而 S19= =19a10>0, 2 ∴使 Sn>0 的 n 的最大值为 19. 答案:B 11、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时, n 等于( A.6 C.8 ) B.7 D.9

解析:a4+a6=2a5=-6,得 a5=-3, ∴公差 d= a5-a1 -3+11 = =2. 4 5-1

法一:由 d=2>0 可知,数列{an}是递增数列. an=-11+2(n-1)=2n-13. 1 令 an=0,得 n=6 . 2 ∴a1<a2<?<a6<0<a7<? 故数列{an}的前 6 项和最小. n?n-1? 法二:Sn=na1+ d=n2-12n=(n-6)2-36. 2 ∴当 n=6 时,Sn 最小. 答案:A Sn 12、等差数列{an}的通项公式 an=2n+1 其前 n 项和为 Sn,则数列{ n }的前 10 项和为 ( ) A.120 B.70

C.75

D.100

Sn S1 解析:由等差数列前 n 项和的性质知,数列{ n }为等差数列,首项为 =a1=3, 1 S2 S1 1 公差为 - = (a1+a2)-a1 2 1 2 1 1 = (a2-a1)= ×2=1. 2 2 Sn ∴{ n }的前 10 项的和为 10×3+ 10×9 ×1=75. 2

答案:C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.(2011· 湖南高考)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5 =______. 解析:设数列的公差为 d,则 3d=a4-a1=6,得 d=2,所以 S5=5×1+ 答案:25 14.若 x≠y,两个数列:x,a1,a2,a3,y 和 x,b1,b2,b3,b4,y 都是等差数列,则 a2-a1 =________. b3-b2 解析:设这两个等差数列的公差分别为 d1,d2. 则 a2-a1 d1 = . b3-b2 d2 5×4 ×2=25. 2

由等差数列的性质,得 y-x=4d1=5d2, d1 5 ∴ = . d2 4 答案: 5 4

3 15.数列{an}的前 n 项和 Sn= an-3,则这个数列的通项公式为________. 2 3 解析:a1=S1= a1-3, 2 ∴a1=6. 3 又由题意得 Sn+1= an+1-3. 2 3 3 ∴Sn+1-Sn= an+1- an. 2 2

3 3 ∴an+1= an+1- an. 2 2 ∴an+1=3an,{an}是公比为 3 的等比数列, ∴an=6×3n 1=2×3n.


答案:2×3n 16. 已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为__________. 解析:不妨设角 A=120° ,c<b, 则 a=b+4,c=b-4, 于是 cos 120° = b2+?b-4?2-?b+4?2 1 =- , 2 2b?b-4?

1 解得 b=10,所以 S= bcsin 120° =15 3. 2 答案:15 3

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)

17.(本小题满分 12 分)已知{an}是一个等差数列且 a2+a8=-4,a6=2. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 的最小值. 解:(1)设{an}的公差为 d. ∵a2+a8=2a5,a2+a8=-4, ∴a5=-2.又∵a6=2, ∴d=a6-a5=4.∴a1=-18. ∴an=a1+(n-1)d=4n-22. (2)Sn=na1+ n?n-1? d=2n2-20n 2

=2(n-5)2-50,∴n=5 时 Sn 取得最小值-50. 18.设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. 解:(1)由已知 a3=5,a10=-9 得
? ? ?a1+2d=5, ?a1=9 ? 可解得? ?a1+9d=-9. ? ? ?d=-2.

数列{an}的通项公式为 an=11-2n.

(2)由(1)知,Sn=na1+

n?n-1? d=10n-n2. 2

因为 Sn=-(n-5)2+25, 所以当 n=5 时,Sn 取得最大值.

1

19、在数列{an}中,a1=1,an= 证明:∵an= ∴Sn-Sn-1= 2S2 n (n≥2), 2Sn-1

2S2 1 n (n≥2),证明数列{ }是等差数列,并求 Sn. Sn 2Sn-1

2S2 n , 2Sn-1

∴(2Sn-1)(Sn-Sn-1)=2S2 n, ∴Sn-1-Sn=2SnSn-1. 1 1 两边同除以 SnSn-1,得S - =2(n≥2). Sn-1 n 1 1 1 ∴数列{ }是以 = =1 为首项,2 为公差的等差数列. Sn S 1 a1 1 所以S =1+(n-1)· 2=2n-1.
n

∴Sn=

1 . 2n-1

2n 1an 20(本小题满分 12 分)(2011· 江西“八校”联考)数列{an}满足 a1=1,an+1= (n∈ an+2n


N*). 2n (1)证明:数列{ }是等差数列; an (2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an+1 an 解:(1)由已知可得 n+1= , 2 an+2n 2n 1 2n 2n 1 2n 即 =a +1,即 - =1. an+1 n an+1 an
+ +

2n ∴数列{ }是公差为 1 的等差数列. an 2n 2 (2)由(1)知a = +(n-1)×1=n+1, a1 n ∴an= 2n . n +1

(3)由(2)知 bn=n· 2n. Sn=1· 2+2· 22+3· 23+?+n· 2n, 2Sn=1· 22+2· 23+?+(n-1)· 2n+n· 2n 1,


相减得 -Sn=2+22+23+?+2n-n· 2n = 2?1-2n? + - n· 2n 1 1-2
+ + +1

=2n 1-2-n· 2n 1, ∴Sn=(n-1)· 2n 1+2.


21.已知四个数依次成等差数列,且四个数的平方和为 94,首尾两数之积比中间两数 之积少 18,求此四个数. 解:设所求四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,依题意可得,
??a-3d?2+?a-d?2+?a+d?2+?a+3d?2=94, ? ? ??a-d??a+d?-?a-3d??a+3d?=18. ? ?4a2+20d2=94, ? 化简可得? 2 ? ?8d =18

?d=2, ∴? 7 ?a=2,

3

?d=2, 或? 7 ?a=-2,

3

?d=-2, 或? 7 ?a=-2,

3

?d=-2, 或? 7 ?a=2.

3

∴所求四数为-1,2,5,8 或-8,-5,-2,1 或 8,5,2,-1 或 1,-2,-5,-8.

22、已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.

分析 等差数列前n项和S n = na 1 +

n( n ? 1) d,含有两个未知数a 1 , 2

d,已知 S3 和 S6 的值,解方程组可得 a1 与 d,再对数列的前若干项的正负性 进行判断,则可求出 Tn 来.

解 设公差为d,由公式S n =na 1 + ?3a 1 +3d = 21 得? ?ba 1 +15d = 24
解方程组得:d=-2,a1=9 ∴an=9+(n-1)(n-2)=-2n+11

n( n ? 1) d 2

由a n =- 2n+11> 0 得n<

11 = 5.5,故数列{a n }的前5项为正, 2

其余各项为负.数列{an}的前 n 项和为:

S n = 9n+

n( n ? 1) ( - 2) = -n 2 +10n 2

∴当 n≤5 时,Tn=-n2+10n 当 n>6 时,Tn=S5+|Sn-S5|=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn ∴Tn=2(-25+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50

?Tn = -n 2 +10n ? 即? 2 ? ?n -10n+50
说明

n≤5 n> 6

n∈N *

根据数列{an}中项的符号,运用分类讨论思想可求{|an|}的前 n 项和.


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