第三讲 不等式证明方法讲义


2014 秋季高一数学辅导

2014.10.6

第三讲 不等式的证明方法 一、比较法
1. 求证:x2 + 3 > 3x

2. 已知 a, b, m 都是正数,并且 a < b,求证:

a?m a ? b?m b

变式:若 a > b,结果会怎样?若没有“a < b”这个条件,应如何判断? 3. 已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

4. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间 以速度 n 行走;有一半路程乙以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如果 m ? n,问: 甲乙两人谁先到达指定地点?

作商法
1.设 a, b ? R+,求证: a a b b ? (ab)
a ?b 2

? a bb a

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二、综合法
1.综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不 等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法
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2.用综合法证明不等式的逻辑关系是: A ? B1 ? B2 ?

? Bn ? B

3.综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质 和公式,推出结论的一种证明方法
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例 1 已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证:

a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc

例2

已知 a,b,c 都是正数,且 a,b,c 成等比数列,

求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2

练习: 1. 设 a, b, c ? R, (1)求证: a ? b ?
2 2

2 ( a ? b) 2

2 2 2 2 (2)求证: a ? b ? b ? c ?

c 2 ? a 2 ? 2 (a ? b ? c)

(3)若 a + b = 1, 求证: a ?

1 1 ? b? ? 2 2 2

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2.a , b, c?R, 求证: (1)

1 1 1 (a ? b ? c)( ? ? ) ? 9 a b c

(2) (a ? b ? c)(

1 1 1 9 ? ? )? a?b b?c c?a 2

(3)

a b c 3 ? ? ? b?c c?a a?b 2

三、分析法
1 分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条 件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备, 那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法
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2.用分析法证明不等式的逻辑关系是: B ? B1 ? B2 ? 3.分析法的思维特点是:执果索因 4.分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真,
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? Bn ? A

只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? ?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故命题 B 必为真
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例 1 求证 3 ? 7 ? 2 5

例 2 证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水 管比截面是正方形的水管流量大
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练习:
2 2 2 2 1. 已知 a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤ ( a ? b )( c ? d )

2 选择题 (1)设 x1 和 x2 是方程 x2+px+4=0 的两个不相等的实数根,则( ) A |x1|>2 且|x2|>2 B |x1+x2|>4 C |x1+x2|<4 D |x1|=4 且|x2|=1 答案:B + (2)若 x,y∈R ,且 x≠y,则下列四个数中最小的一个是( )
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A

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1 1 1 ( ? ) 2 x y

B

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1 x? y

C

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1 xy

D

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1 2( x ? y 2 )
2

(3)若 x>0,y>0,且 x ?

y ≤a x ? y 成立,则 a 的最小值是(
2
C2
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A

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2 2
+

B

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D2 2
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(4)设 a,b∈R ,且 ab-a-b≥1,则有( A a+b≥2( 2 +1) B a+b≤+1
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2
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C a+b≥( 2 +1)

D a+b≤2( 2 +1)
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2 用分析法证明: 2 4 2 2 3(1+a +a )≥(1+a+a )
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3 用分析法证明:
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ab+cd≤ a 2 ? c 2 ? b2 ? d 2

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4 用分析法证明下列不等式:
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(1)求证: 5 ? 7 ? 1 ? 15 (2)求证: x ? 1 ?
+

x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 4 (x≥4)

(3)求证:a,b,c∈R ,求证:

2(

a?b a?b?c 3 ? ab ) ? 3( ? abc ) 2 3

5

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若 a,b>0,2c>a+b,求证: (1)c >ab (2)c- c 2 ? ab <a<c+ c 2 ? ab
2

6

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已知关于 x 的实系数二次方程 x +ax+b=0,有两个实数根α ,β ,证明: (1)如果|α |<2,|β |<2,那么 2|α |<4+b 且|b|<4 (2)如果 2|α |<4+b 且|b|<4,那么|α |<2,|β |<2
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2

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四、放缩法与反证法
例 1 若 a, b, c, d?R+,求证:

1?

a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

例 2 求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 2 1 2 3 n

例 3 设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于

1 4

例 4 已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0

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练习 1.设 x > 0, y > 0, a ?

x? y x y , b? ,求证:a < b ? 1? x ? y 1? x 1? y

2.若 a > b > c, 则

1 1 4 ? ? ?0 a?b b?c c?a

3.

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 1 (n ? R ? , n ? 2) n n ?1 n ? 2 n

4.

1 1 1 1 ? ? ??? ?1 2 n ?1 n ? 2 2n

5.已知 a, b, c > 0, 且 a2 + b2 = c2,求证:an + bn < cn (n≥3, n?R*)

6.设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1

7.若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2 x y

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五、构造法
例 1 已知 x > 0,求证: x ?

1 ? x

1 x? 1 x

?

5 2

例 2 求证:

x 2 ? 10 x2 ? 9

?

10 3

例 3 已知实数 a, b, c,满足 a + b + c = 0 和 abc = 2,求证:a, b, c 中至少有一个不小于 2

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例 5 已知 0 < a < 1,0 < b < 1,求证:

a 2 ? b 2 ? (a ? 1) 2 ? b 2 ? a 2 ? (b ? 1) 2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ? 2 2

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练习 1.证明:

1 x2 ? x ?1 ? ?3 3 x2 ? x ?1

2.已知关于 x 的不等式(a2 ? 1)x2 ? (a ? 1)x ? 1 < 0 (a?R),对任意实数 x 恒成立,求证:

?

5 ? a ?1 3

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3.若 x > 0, y > 0, x + y = 1,证明: ? x ?

? ?

1 ?? 1 ? 25 ?? y ? ?? x ?? y? ? ? 4

4.若 0 ? a ?

1 1 (k ? 2, k ? N * ) ,且 a2 < a ? b,证明: b ? k ?1 k

、 5.记 f ( x) ? 1 ? x 2 ,a > b > 0,证明:| f (a) ? f (b) | < | a ? b|

2 2 6.若 x, y, z > 0,证明: x ? y ? xy ?

y 2 ? z 2 ? yz ?

z 2 ? x 2 ? zx

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