最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编2:函数


最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 2:函数
一、选择题 1 .( 天 津 市 和 平 区
f(x)? x?

2013

届 高 三 第 一 次 质 量 调 查 理 科 数 学 ) 已 知 函 数
x

x ? 1, g( x ) ? x ? 2 ,h( x ) ? x ? ln x 的 零 点 分 别 为

x1 , x2 , x3 , 则 (

) A.x1<x2<x3

B.x2<x1<x3

C.x3<x1<x2

D.x2<x3<x1

2 . (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查理科数学) 己知函数 f ( x ? 1 ) 是偶函数, x ? ( ?? ,1 ) 当

时,函数 f ( x ) 单调递减,设 a ? f ( ?

1 2

),b ? f ( ?1 ),c ? f ( 2 ) ,则 a,b,c 的大小关系为

( ) A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a 满足

3 . (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题) 定义在 R 上的函数

,当 )

时,

,则(

) (

A. C.
4

B. D.

.( 天 津 市 蓟 县 二 中 2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

的图象如图所示则函数

的图象是(



·1·

5 . (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学 (理) 试题) 函数

的定义域为 ( (



) A. B. C. D.

6 . 天 津 市 十 二 区 县 重 点 中 学 2013 届 高 三 毕 业 班 联 考 ( 一 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数 (
f (x) ? 1 3 x ? ln x ( x ? 0 )

,







f ( x)

( )
(1, A.在区间 (0,1),   ? ? ) 内均有零点 (1, B.在区间 (0,1),   ? ? ) 内均无零点

C.在区间 (0 ,1) 内有零点,在区间 (1, ? ? ) 内无零点 D.在区间 (0 ,1) 内无零点,在区间 (1, ? ? ) 内有零点
7 . (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) 定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 )
?log(x ? 1 ),x ? [0, ) 1 1 ? 2 时,f(x)= ? ,则关于 x 的函数 F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为 ?1 - x - 3 x ? [1, ) ?? ?

( C.2 -1 D.1-2 8 (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷) f ( x ) 是定义在 R 上的周期函数,周期为 T ? 4 , . 设 B.1-2
?1? 对 x ? R 都有 f ( ? x ) ? f ( x ) ,且当 x ? [ ? 2 , 0 ] 时, f ( x ) ? ? ? ?2?
x

) a A.2 -1

a

-a

-a

? 1 ,若在区间 ( ? 2 , 6 ] 内关于 x 的

方 程 f ( x ) ? l o g ( x ? 2 ) =0 ( a ? 1) 恰 有 3 个 不 同 的 实 根 , 则 a 的 取 值 范 围 是 a ( ) A.(1,2) B. ( 2 , ?? ) C. ?1, 4 ? D. ?3 4 , 2 ?

本卷共 12 小题,共 110 分.
9 . (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) 已知函数 f (x)= ln x ,则函数 )

·2·

g (x )=f (x ) ? f '( x )















间 (



) A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,4)

10 . 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 数 学 试 题 ) 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 满 足 (
f ( x + 2 ) = 2f ( ,当 x ? [0,2)时, x )

? x - x , x ? [0 ,1) t 1 f ( x )= ? 若 x ? [-4 ,-2 ] 时, f ( x ) ? - 恒成立,则实数 t 的取值范围是 |x -1 .5 | 4 2t , x ? [1,2 ) ? -(0 .5 )
2

( ) A.[-2,0) ? (0,l) C.[-2,l] B . [-2 , 0) D.( -? ,-2] ? (0,l]
?

[l



+∞)

11. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)在下列区间中,函数 f ( x )= e + 4 x ? 3 的
x

零 ) A. (
1 4











间 (



,0)

B. (0,

1 4



C. (

1 4



1 2



D. (

1 2



3 4



12. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x∈[0,+∞)



,f(x)









,



f(-2),f(π ),f(-3)









系 是 (

) A.f(π )>f(-3)>f(-2) B C.f(π )<f(-3)<f(-2)



f(π )>f(-2)>f(-3) D.f(π )<f(-2)<f(-3)

13. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)偶函数 f(x)满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,
10 ? 1 ? ] 上根的个数是 且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)= ? ? 在 [0, 3 ? 10 ?
2
x

( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.5 个

14 .( 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ) 设 a ? lo g 5 4 ,
b ? (lo g 5 3)
2

,

c ? lo g 4 5

, (



·3·

) A.a<c<b

B.b<c<a

C.a<b<c

D. b ? a ? c
( x ? 1) (x = 1 )
2 2 3

? 1 ? f 15. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)设函数 ( x )= ? | x -1| ?1 ?
2



若 关 于 x 的 方 程 [ f ( x ) ] +b f (x ) + c = 0 三 个 不 同 的 实 数 根 x1 , x 2 , x 3 , 则 x1 + x 2 + x 有 ) A.13 B.5 C.
3c +2 c
2 2

2

等于



D.

2b +2 b
2

2

) 1 16.天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 ( (理) 试题) 函数 f ( x ) 的定义域为 R, f ( x ? 若



f ( x ? 1)











, (



) A. f ( x ) 是偶函数 B. f ( x ) 是奇函数 C D. f ( x ? 3) 是奇函数
17. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 (理) 试题) 给定函数① y = x
? 1 2



f ( x) ? f ( x ? 2)

, y=2 ②

x ?3x +3

2



③ y = lo g 1 |1 - x | , ④ y = s in
2

?x
2

, 其 中 在 (0 ,1 )

上 单 调 递 减 的 个 数 为 (

) A.0

B.1 D.3 个



C.2



18. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题) 已知定义在区间[0,2]上的函数
y = f ( x ) 的图象如图所示,则 y = f (2 - x ) 的图象为

·4·

19.天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 ( (理) 试题) 已知函数 f

?x? ?


?m
m

2

? m ? 1? x

?5 m ? 3













? 0, ? ? ?















值 (



) A.2

B.-1

C.-1 或 2

D.0

20 . 天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 2013 届 高 三 联 考 试 题 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (
x
2

f (x) ? 1 ? x ?

?

x

3

?

x

4

??? ?

x

2013

, g (x) ? 1 ? x ?

x

2

?

x

3

?

x

4

??? ?

x

2013

,设

2

3

4

2013

2

3

4

2013

函数 F ( x ) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4 ) ,且函数 F ( x ) 的零点均在区间 [ a , b ]( a ? b , a , b ? Z ) 内,则 b ? a 的 最 小 值 ( ) A. 8 B. 9 C. 1 0 D. 1 1
? 2 ? 1( x ? 0 ) f (x) ? ? ? f ( x ? 1) ( x ? 0 )
?x



21. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题) 函数

若方程

f (x) ? x ? a 有 且 只 有 两 个 不 等 的 实 数 根 , 则 实 数

a

的 取 值 范 围 为 (

) A.(-∞,0)

B.[0,1)

C.(-∞,1)

D.[0,+∞)
2

22. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? log

x 的零点所

在 )









间 (



·5·

A. ?

?1 1? , ? ?8 4?

B. ?

?1 1? , ? ?4 2?

C. ?

?1

? ,1 ? ?2 ?

D. (1, 2 )

23. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷)若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足条

件: ①P、 都在函数 y ? f (x) 的图像上; Q ②P、 关于原点对称, Q 则称点对[P,Q]是函数 y ? f (x) 的 一 对 “ 友 好 点 对 ” 注 : 点 对 [P,Q] 与 [Q,P] 看 作 同 一 对 “ 友 好 点 对 ” . 已 知 函 数 ( )
?log 2 x ( x ? 0) f ( x) ? ? 2 ?? x ? 4 x ( x ? 0)























” (



) A.0 对
二、填空题

B.1 对

C.2 对

D.3 对

24. (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)定义一种运算

,令

,且



则函数

的最大值是______.
2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

25 .( 天 津 市 蓟 县 二 中

______.
26. (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) 函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意的 )

x1,x2∈D,当 x1<x2 时都有 f(x1)≤f(x2),则称函数 f(x)为 D 上的非减函数.设 f(x)为定义在[0,1] 上的非减函数,且满足一下三个条件: (1)f(0)=0; (2)f(1-x)+f(x)=1 x∈[0,1]; (3)当 x∈[0,
1 3

]时,f(x)≥

3 2

x 恒成立,

则 f(

3 7

)+f(

5 9

)=

.

27. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题) 设 f(x)= ?

?lgx,x>0, ? ? ?10 ,x≤0,
x



f(f(-2))=________.
28. (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) 已知函数 y ? m x 的图像与函数 )
·6·

y ?

x ?1 x ?1

的图像没有公共点,则实数 m 的取值范围是

29. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题) 已知 a>0, a ? 1, 且 若函数 f ( x )= a

lg (x - 2 x + 3 )

2

有最大值,则不筹式 lo g a ( x -5 x + 7 )> 0 的解集为

2


x

30. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)函数 f(x)=a +

a ?2
x

的值域为_________.
? ( a ? 2 ) x ? 1, x ? 1, ? log
a

31. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)已知函数 f (x) ? =

x, x ? 1.



f(x)在(- ? ,+ ? )上单调递增,则实数 a 的取值范围为________。
32. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)定义:如果函数 y ? f ( x ) 在定义

域内给定区间 [ a , b] 上存在 x 0 ( a ? x 0 ? b ) , 满足 f ( x 0 ) ?

f (b ) ? f ( a ) b ? a
4

, 则称函数 y ? f ( x ) 是

[ a , b] 上的“平均值函数”, x 0 是它的一个均值点,如 y ? x 是 [ ? 1, 1] 上的平均值函数,0 就是

它的均值点.现有函数 f ( x ) ? ? x ? mx ? 1 是 [ ? 1, 1] 上的平均值函数,则实数 m 的取值范围
2



.

33. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知 ? x ? R , f (1 + x )= f (1 - x ) ,

当 x ? 1 时, f ( x )= ln ( x + 1) ,则当 x <1 时, f ( x )=

.
2

34. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知函数 y = x + ax -1+2 a 的值

域为 [0,+ ?) ,则 a 的取值范围是

.
2

35. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)函数 f ( x )= lo g 1 ( x -2 x -3 ) 的单调
2

递减区间为

.

36. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知 f ( x + 1 )= x - 1 ,则 f ( x )=

(x?

).
1 lo g 1 (2 x + 1 )
2

37. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学 (理) 试题)若 f ( x )=

, f (x ) 则

的定义域为

.

38 .( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 函 数
·7·

? 1 1 ? 1? ? ? x ? , x ? ? 0, ? 6 π ? 2? ? 3 ,函数 g ( x ) ? a sin ( x ) ? 2 a ? 2 , ( a ? 0 ) ,若存在 x1 , x 2 ? ? 0 ,1 ? , f (x) ? ? 3 6 ? 2 x , x ? ? 1 ,1 ? ? ? ? x ?1 ?2 ? ?

使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是____________.
39 . 天 津 耀 华 中 学 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 月 考 理 科 数 学 试 卷 ) 定 义 在 (?1,1) 上 的 函 数 (
? x? y ? ? f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? ? ? 1 ? xy ?





x ? (?1,0)



f ( x) ? 0

.



?1? ? 1 ? ?1? P ? f ? ? ? f ? ?, Q ? f ? ?, R ? f (0) ,则 P,Q,R 的大小关系为_____________. ?5? ? 11 ? ?2?

三、解答题 40. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)对于函数 f ( x ) 若存在 x 0 ? R ,
f ( x 0 )= x 0 成立,则称 x 0 为 f ( x ) 的不动点.已知 f ( x )= a x ? ( b ? 1) x ? b - 1( a ? 0 )
2

(1)当 a =1, b = -2 时,求函数 f ( x)的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y = f ( x ) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f ( x ) 的不动点,且 A 、 B 两点关于直线 y ? k x ?
1 2a ? 1
2

对称,求 b 的最小值.

41. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知函数 f ( x ) 对任意实数 x , y 恒

有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,且当 x>0 时, f ( x ) ? 0 又 f (1) ? ? 2 . (1)判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)求证: f ( x ) 是 R 上的减函数; (3)求 f ( x ) 在区间[-3,3]上的值域; (4)若 ? x ? R ,不等式 f ( a x ) ? 2 f ( x ) ? f ( x ) ? 4 恒成立,求 a 的取值范围.
2

·8·

最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 2:函数参考答案 一、选择题 1.

D 2. A
3.

【答案】D 【解析】由题意可知,函数 图所示:∵ ∴ ,选 D. 的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图象,如 且 ,而函数 在 是减函数,

4.

【答案】A 【解析】由函数的两个根为 x ? a.x ? b ,图象可知 0 ? a ? 1, b ? ?1 。所以根据指数函数的图象 可知选 A.

5.

【答案】D
?? x ? 3x ? 4 ? 0 ? x +3 x ? 4 ? 0 ? ? x?0 ?x ? 0 【解析】 要使函数有意义, 则有 , ? 即 , 解得 ?4 ? x ? 1 且 x ? 0 ,
2 2

6. 7. 8. 9.

选 D. D B. D B

10. 【答案】D

【解析】当 x ? [-4 ,-2 ] ,则 x ? 4 ? [0 ,2 ] ,所以 f ( x ) ? f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 4 ) 2 4

1

1

·9·

?1 ?1 2 2 [( x ? 4 ) ? ( x ? 4 )], x ? [ ? 4, ? 3) ( x ? 7 x ? 1 2 ), x ? [ ? 4, ? 3) ?4 ?4 ? ? =? =? ,当 x ? [ ?4, ?3] 时, ? ? 1 (0 .5) x ? 4 ? 1 .5 , x ? [ ? 3, ? 2 ) ? ? 1 (0 .5) x ? 2 .5 , x ? [ ? 3, ? 2 ) ? 4 ? 4 ? ?
f ( x)= 1 4 ( x ? 7 x ? 12) ?
2

1 4

[( x ?

7 2

) ?
2

1 4

] 的对称轴为 x = ?
1 4 ( 0 .5 )
x ? 2 .5

7 2

,当 x ? [ ?4, ?3] 时,最小值为
1 4

f (?

7 2

)= ?

1 16

,当 x ? [ ? 3, ? 2 ), f ( x ) = ?

,当 x ? ? 2 .5 时,最小,最小值为 ?
1 4 ? t 4 ? 1 2t



所以当 x ? [ -4 ,-2 ] 时,函数 f ( x ) 的最小值为 ?

1 4

,即 ?

,所以 t
4

?

1 2t

?

1 4

,即
? 0

t ?t?2
2

t

?t ? 0 ?t ? 0 或? 2 ,解得 0 ? t ? 1 或 t ? ? 2 ,即 ? 0 ,所以不等式等价于 ? 2 ?t ? t ? 2 ? 0 ?t ? t ? 2 ? 0

t 的取值范围是 ( ? ? , ? 2 ] ? (0,1] ,选 D.

11. 【答案】C

【解析】

f(

1 4

1 4

1 4

1 4

)= e ? 2 = e ? 1 6

? 0



f(

1 2

1

)= e ? 1=
2

e ?1 ? 0

,所以函数的零点在 ( , ) ,
4 2

1 1

选 C.
12. 【答案】A

【解析】因为函数是偶函数,所以 f ( ? 2 ) ? f ( 2 ), f ( ? 3) ? f (3) ,又函数在 [0, ? ? ) 上是增函数, 所以由 f ( 2 ) ? f (3) ? f ( ? ) ,即 f ( ? 2 ) ? f ( ? 3) ? f ( ? ) ,选 A.
13. 【答案】C

【解析】由 f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 1 )得 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) 所以函数的周期又函数为偶函数,所以

f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) ,所以函数关于 x ? 1 对称,

,在同一坐
10 3 ] 上,方程根的个数

标系下做出函数 f ( x ) 和 y ? ( 为 3 个,选 C.

1 10

) 的图象,如图,由图象可知在区间 [ 0 ,

x

·10·

14. 【答案】D

【 解 析 】 因 为 lo g 4 5 ? 1 , 0 ? lo g 5 4 ? 1 , 0 ? lo g 5 3 ? 1 , 因 为 0 ? lo g 5 3 ? 1 , 所 以
(lo g 5 3) ? lo g 5 3 ? lo g 5 4 ,所以 b ? a ? c ,选 D.
2

15. 【答案】B

【解析】做出函数 f ( x ) 的图象如图,要使方程[ f ( x )] + bf ( x)+c=0 有三个不同的实数根,结合图 象可知, f ( x ) ? 1 ,所以三个不同的实数解为 0 ,1, 2 ,所以 x1 ? x 2 ? x 3 ? 5 ,选 B.
2 2 2

2

16. 【答案】D

【 解 析 】 函 数 f ( x ? 1 ), f ( x ? 1) 都 为 奇 函 数 , 所 以 f ( ? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,
f ( x ? 1) ? ? f ( ? x ? 1) ,所以 函数 f ( x ) 关于点 (1, 0 ) , ( ? 1, 0 ) 对称,所以函数的周期 T ? 4 ,

所以 f ( x ? 1 ? 4 ) ? ? f ( ? x ? 1 ? 4 ) ,即 f ( x ? 3) ? ? f ( ? x ? 3) ,所以函数 f ( x ? 3) 为奇函数, 选 D. 17. 【答案】C 【解析】①为幂函数, ? 递 减 , 所 以 函 数 y=2 增.④ y ? s in
18. 【答案】A
?
2 1 2
x ?3x +3
2

? 0 ,所以在 (0 ,1) 上递减.② x ? 3 x ? 3 ? ( x ?
2

3 2

) ?
2

3 4

,在 (0 ,1) 上

) 在 (0 ,1) , 递 减 .③ y ? lo g 1 1 ? x ? lo g 1 x ? 1 , 在 ( 0 , 1 递
2 2

x 的周期, T ? 4 ,在 (0 ,1) 上单调递增,所以满足条件的有 2 个,选 C.

【解析】当 x ? 0 时, y ? f ( 2 ? 0 ) ? f ( 2 ) ? 1 ,排除 B,C,D,选 A.
19. 【答案】B

【解析】因为函数为幂函数,所以 m ? m ? 1 ? 1 ,即 m ? m ? 2 ? 0 ,解得 m ? 2 或 m ? ? 1 .
2 2

·11·

因为幂函数在 (0, ? ? ) ,所以 ? 5 m ? 3 ? 0 ,即 m ? ?
20. 【答案】 函数的导数为 f ' ? x ? ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? ? x C
2 3

3 5

,所以 m ? ? 1 .选 B.
1 ? (? x)
2013

2012

?

1 ? (? x)
1 2 ? 1 3 ?? ?

?

1? x

2013

1? x
1

, f (' )x 0? 由

得 x ? ?1 , 即函数的极小值为 f ( ? 1) , 所以 f ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ?

? 0 。 x ? ? 1 时, 当

2013

f ( x ) ? 0 ,又 f (0 ) ? 1 ,所以在 ( ? 1, 0 ) 上函数有且只有一个零点,即 f

? x ? 3 ? 在 ( ? 4, ? 3) 上函
2013

数 有 且 只 有 一 个 零 点 . g '? x ? ? ?1 ? x ? x ? x ??? ? x
2 3

2012

?

?1 ? (? x)

1 ? (? x)
1 2 ? 1 3

?

?1 ? x

2013

1? x
1 2013

,由

g ' (x )?

0 x ? 1 ,即函数的极小值为 f (1 ) ,所以 g ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 得

?? ?

? 0 。当

x ? ? 1 时, g ( x ) ? 0 ,又 g ( 0 ) ? 1 , g (1) ? 0 , g ( 2 ) ? 0 ,所以在 (1, 2 ) 上函数 g ( x ) 有且只有

一个零点, 即 g ? x ? 4 ? 在 (5, 6 ) 上函数有且只有一 个零点,又函数 F ( x ) 的零点 均在区间
[ a , b ]( a ? b , a , b ? Z ) 内,所以 b ? 6, a ? ? 4 ,即 b ? a ? 1 0 ,所以 b ? a 的最小值为 10,选 C.

21. 【答案】C

解:做出函数 f ( x ) 的图象如图,由图象可知,当 a ? 1 时,直线 f ( x ) ? x ? 1 ,与 f ( x ) 只有 1 个交 点,要使两个函数有 2 个交点,则有 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为

( ? ? ,1) ,选 C.

22. 【答案】C

解:因为 f (1) ? 2 ? 1 ? lo g2 1 ? 1 ? 0, f ( ) ? 2 ?
2

0

1 2

? 1 ? lo g 2
1 2

1 2

? ? 1 ? 0 ,所以根据根的存在性

定理可知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? log
23. 【答案】C

2

x 的零点所在的区间为 (

,1) ,选 C.

·12·

2 2 解:解:根据题意:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? 4 ( ? x ) ? ? x ? 4 x , 若 P、Q 关于

0) 原点对称,可知,函数为奇函数,可有 f ( ? x ) ? ? x ? 4 x ? ? f ( x ) ,即 f (x ) ? x ? 4x ,( x ?
2 2 2 2



则函数 y ? ? x ? 4 x , ( x ? 0 ) 的图象关于原点对称的函数是 f ( x ) ? x ? 4 x , ( x ? 0 ) ,由题意知, 作出函数 f ( x ) ? x ? 4 x , ( x ? 0 ) 的图象,看它与函数 f ( x ) ? lo g 2 x , ( x ? 0 ) 交点个数即可得到
2

友好点对的个数.由图象可知它们的图象交点个数为 2 个,所以此函数的“友好点对”有 2 对,

选 C.
二、填空题 24. 【答案】 5
4

【解析】令

,则

∴由运算定义可知,
?

sin x ?

1 2 ,即

x?

5

∴当

6 时,该函数取得最大值 4 .

由图象变换可知,

所求函数
25. 【答案】 5
2

的最大值与函数

在区间

上的最大值相同.

【解析】令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? f (2) ,即

f (2) ? f (1) ? f (?1) ? 2 f (1) ? 2 ?

1 2

?1

。令

x ?1

f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ?

1 2

?1 ?

3 2







x?3



·13·

f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ?

3 2

? 1=

5 2。

26. 1 27.

-2

28. ? 1 ? m ? ? 3 ? 2 2 29. 【答案】 ( 2 , 3)

【解析】所以 x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? 2 有最小值 2, lg ( x 2 ? 2 x ? 3) ? lg 2 ,要使函数 f ( x ) 有最大值,则指数函数单调递减,则有 0 ? a ? 1 ,由
2

lo g a ( x -5 x + 7 )> 0

2



0 ? x ? 5x+7 ? 1
2



? 即 ? 0 ? x ? 5 x + 7 ,解得 2 ? x ? 3 ,即不等式的解集为。 ? 2 ? x ? 5x+7 ? 1 ?

30. 【答案】 ( 2 , ? ? )

【解析】令 t ?
2

a ? 2 则t ?
x

2 且 t ? a ? 2 ,所以 a ? t ? 2 ,所以原函数等价为
2 x x 2

y ? g (t ) ? t ? 2 ? t ? (t ?

1 2

) ?
2

9 4

,函数的对称轴为 t ? ?

1 2

,函数开口向上。因为 t ?
2

2 ,
2 ,

所以函数在 ( 2 , ? ? ) 上函数单调递增, 所以 g ( t ) ? g ( 2 ) ? ( 2 ) ? 2 ? 所以函数的值域为 ( 2 , ? ? ) 。
31. 【答案】 ( 2, 3]

2 ?

2 , y ? 即

?a ? 1 ?a ? 1 ?a ? 1 ? ? ? 【解析】要使函数 f ( x ) 在 R 上单调递增,则有 ? a ? 2 ? 0 ,即 ? a ? 2 ,所以 ? a ? 2 ,解 ?a ? 2 ? 1? 0 ?a ? 3 ? f (1) ? 0 ? ? ?

得 2 ? a ? 3 ,即 a 的取值范围是 ( 2, 3] 。
32. 【答案】 ( 0 , 2 )
f (1) ? f ( ? 1) 1 ? ( ? 1)

【解析】因为函数 f ( x ) ? ? x ? mx ? 1 是 [ ? 1, 1] 上的平均值函数,所以
2

? m ,即

关于 x 的方程 ? x ? m x ? 1 ? m ,在 ( ? 1, 1) 内有实数根,即 m x ? m x ? m ? 1 ? 0 ,若 m ? 0 ,
2 2

·14·

方程无解 ,所以 m ? 0 ,解得方程的根 为 x1 ? 1 或 x 2 ? m ? 1 .所以必 有 ? 1 ? m ? 1 ? 1 , 即
0 ? m ? 2 ,所以实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 2 ,即 ( 0 , 2 ) .

33. 【答案】 ln (3 -x )

【 解 析 】 由 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) , 可 知 函 数 关 于 x ? 1 对 称 , 当 x ? 1 时 , 2 ? x ? 1 , 所 以
f ( x ) ? f ( 2 ? x ) ? ln [( 2 ? x ) ? 1] ? ln (3 ? x ) .

34. 【答案】 a ? 4 ? 2 3 或 a ? 4 ? 2 3

【 解 析 】 令 t ? g ( x) ? x ? ax ? 1 ? 2a , 要 使 函 数 y ?
2

t 的 值 域 为 [0, ? ? ) , 则 说 明
2

[ 0 ? ? ) ? y{ y ? g ( ) } , 即 二 次 函 数 的 判 别 式 ? ? 0 , 即 a ? 4 ( a ? , x 2
a ? 8 a ? 4?
2

1) ?

0 ,即 3或

0, 解 得 a ? 4 ? 2

3 或 a ? 4 ? 2 3 ,所以 a 的取值范围是 a ? 4 ? 2

a ? 4?2 3 .

35. 【答案】 (3, ? ? )
o 【解析】 t ? x ? 2 x ? 3 , y ? l g 令 则
2

1 2

t 在定义域上为减函数.由 t ? x ? 2 x ? 3 ? 0 得,x ? 3 或
2

x ? ? 1 , x ? 3 时, 当 函数 t ? x ? 2 x ? 3 递增, 根据复合函数的单调性可知, 此时函数 y ? f ( x )
2

单调递减,所以函数的递减区间为 (3, ? ? ) .
36. 【答案】 f ( x ) ? x ? 2 x , x ? [1, ? ? )
2

【解析】令 t ?
2

x ? 1 , 则 t ? 1 , x ? ( t ? 1) , 所 以 f ( t ) ? ( t ? 1) ? 1 ? t ? 2 t , 所 以
2 2 2

f ( x ) ? x ? 2 x x ? [1, ? ? ) . ,

37. 【答案】 ( ?

1 2

, 0)

1 ? ?2x ? 1 ? 0 1 ?x ? ? ? 【解析】要使函数有意义,则有 ? lo g ( 2 x ? 1) ? 0 ,即 ? 2 ,所以解得 ? ? x ? 0 ,即 1 2 ?2x ? 1 ? 1 ? ? 2 ?

不等式的定义域为 ( ?

1 2

, 0) .
·15·

38. 【答案】 [

1 4 , ] 2 3
0? x ? 1 2

解 : 当

时 ,
3

0? ?
2

1 3

x?

1 6

?

1 6

, 即
1 2

0 ? f (x) ?

1 6

. 当
3 2

1 2

? x ?1

时 , f (x) ?

2x

3

x ?1

, f '( x ) ?

4x ? 6x ( x ? 1)
2

,所以当

? x ? 1 , f '( x ) ?

4x ? 6x ( x ? 1)
2

? 0 ,函数

f (x) ?

2x

3

x ?1

单 调 递 增 ,此 时
?
6

1 6

? f ( x )?

1. 综 上 函 数 0 ? f ( ? x )

. 当 0 ? x2 ? 1 1

时, 0 ?

?
6

x2 ?

, 0 ? s in

?
6

x2 ?

1 2

,所以 0 ? a s in

?
6

x2 ?

1 2

a,

2 ? 2 a ? a sin (

π 6

x) ? 2a ? 2 ?

1 2

a ? 2 a ? 2 ,即 2 ? 2 a ? g ( x 2 ) ? 2 ?

3 2

a .若存在 x1 , x 2 ? ? 0 ,1 ? ,

使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成 立, 则有 g ( x 2 ) 的最大 值大于 等 于 0, g ( x 2 ) 的最小 值小于等 于 1,即
4 ? 3 a ? ? ? 1 4 1 4 ?2 ? a ? 0 ? 3 ,解得 ? ,即 ? a ? ,所以实数 a 的取值范围 [ , ] . 2 ? 2 3 2 3 ?2 ? 2a ? 1 ?a ? 1 ? ? ? 2

39. P ? R ? Q 三、解答题 40.解: (1)? a ? 1, b ? ? 2 时, f ( x ) ? x ? x ? 3 ,
2

f ( x ) ? x ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ? x ? ? 1, x ? 3
2

? 函数 f ( x ) 的不动点为-1 和 3;

(2) f ( x ) ? ax ? ( b ? 1) x ? b ? 1 ? x 有两个不等实根, 即 转化为 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 有两个不
2
2

等实根,需有判别式大于 0 恒成立 即 b ? 4 a ( b ? 1) ? 0 ? ? ? ( ? 4 a ) ? 4 ? 4 a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,? a 的取值范围为 0 ? a ? 1 ;
2 2

(3)设 A ( x1 , x1 ), B ( x 2 , x 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? A,B 的中点 M 的坐标为 (
x1 ? x 2 2
? A 、 B 两点关于直线 y ? kx ?

b a


b 2a ,? b 2a )

,

x1 ? x 2 2 1

) ,即 M (

2a ? 1
2

对称,

又因为 A,B 在直线 y ? x 上,
? k ? ? 1 ,A,B 的中点 M 在直线 y ? kx ?

1
2

2a ? 1 ·16·

上.

?

b 2a

?

b 2a

?

1 2a ? 1
2

?? ?

a 2a ? 1
2

? ?

1 2a ? 1 a



利用基本不等式可得当且仅当 a ?

2 2

时,b 的最小值为
2

1 2

.

41. (1)解:取 x ? y ? 0 , 则 f ( 0 ? 0 ) ? 2 f ( 0 )

? f (0) ? 0

取 y ? ? x, 则 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)
? f ( ? x ) ? ? f ( x ) 对任意 x ? R 恒成立

∴ f ( x ) 为奇函数.

·17·


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