高考求数列通项公式题的常用方法11


高考求数列通项公式题的常用方法
梁关化,2015,4,16
一.公式法。如果已知数列为等差或等比数列,则用等差或等比数列通项公式求解。 例 1 有两个各项都是正数的数列 ?an ? , ?bn ? 。如果 a1 =1, b1 =2, a2 =3.且 an , bn , an?1 成等差数列,

bn , an?1 , bn?1 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.(解略)

二.已知 s n ,求 an 。用 ?

?a1 ? s1 , n ? 1 求解 ?an ? sn ? sn?1 , n ? 2
?1? 1 n(n+1)(n+2),试求数列 ? ? 的前 n 项和.(解略) 3 ? an ?

例 2 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 s n =

三.已知 f (an , sn ) ? 0或f (an+1, sn ) ? 0 ,求 an 。可先求 s n , an 的递推式,再用递推式求通项 例 3 已知数列 {an } 的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 比数列,求数列 {an } 的通项公式。
? 解:∵对任意 n ? N 有 Sn ?

1 (an ? 1)(an ? 2) ,且 a2 , a4 , a 9 成等 6

1 (an ? 1)(an ? 2) 6



∴当 n=1 时, S1 ? a1 ? 当 n≥2 时, S n ?1 ?

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 6


1 (an ?1 ? 1)( an ?1 ? 2) 6

⑴-⑵整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0 ∵ {an } 各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 3 当 a1 ? 1 时, an ? 3n ? 2 ,此时 a4 ? a2a9 成立
2

当 a1 ? 2 时, an ? 3n ? 1 ,此时 a4 ? a2a9 不成立,故 a1 ? 2 舍去
2

所以 an ? 3n ? 2 练习。已知数列 {an } 中, an ? 0 且 S n ?

1 (a n ? 1) 2 ,求数列 {an } 的通项公式.( 2

an ? 2n ? 1 )

四.递推式求通项 四(1)累加法 。适用于递推式为 an?1 ? an ? f (n) (其中 f ( n) 为容易求和的数列通项) 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。

练 习 1. 已 知 数 列
2

?an ? 的 首 项 为

1,且

an?1 ? an ? 2n (n ? N * )写 出 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 .

( an = n ? n ? 1 )

练 习 2. 已 知 数 列

{an } 满 足 a1 ? 3 ,

a n ? a n ?1 ?

1 (n ? 2) n(n ? 1) ,求此数列的通项公式.



an ? 2 ?

1 n



四(二) 、累乘法 。适用于递推式为 an?1 ? f (n)an 例 2 设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 则它的通项公式是 an =________.

?n ? 1?an2?1 ? nan2 ? an?1an ? 0 ( n =1,2,

3,…) ,

解:已知等式可化为:

(an?1 ? an )?(n ? 1)an?1 ? nan ? ? 0
a n ?1 n ? a n ?1 即 n

? a n ? 0 ( n ? N )? (n+1) a n?1 ? nan ? 0 ,
*

an n ?1 ? n ? n ? 2 时, a n ?1
an ? an an?1 an?2 an?1 an?2 an?3 a2 n ?1 n ? 2 n ? 3 a1 ? a1 n n ?1 n ? 2 1 1 1? 2 n

四(三) 、构造法。 适用于递推式为 an?1 ? pan ? q 构造数列 ?a n ??? ,使 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) , (? ?

q ) p ?1

因此数列 ?a n ??? 构成以 a1 ? ? 为首项,以 p 为公比的等比数列,

所以 an ?

q q q q . ? (a1 ? ) ? p n ?1 即: an ? (a1 ? ) ? p n ?1 ? p ?1 p ?1 p ?1 p ?1

例 3 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:

an ? 2an?1 ? 1(n ? 2),

? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1)


a1 ?1 ? 2,??an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列

? an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ?1
a1 ? 2, a n ?1 ? 1 1 an ? , 2 2 求通项 a n 。

{a } 练习.已知数列 n 中,

四(四) 。同除法。递推式形如:

a n?1 ? p ? an ? q n

①若 p=1 时,即:

a n?1 ? an ? q n ,累加即可.
n

a ? p ? an ? q , ②若 p ? 1 时,即: n?1
a n ?1
两边同除以 q
n ?1

.,变为 q

n ?1

?

p an 1 ? ? q q n q 转化为构造法。

例 4 已知数列

{an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。
an ?1 2 an 4 ? ? n? 2 n ?1 3 3 3 ,下面解法略 得: 3

解: 两边同时除以 3

n ?1

练习.(2003 天津理)
n?1 设 a0 为 常 数 , 且 an ? 3 ? 2an?1 (n ? N ) . 证 明 对 任 意 n ≥ 1 ,

1 an ? [3n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 5 ;

四(五) 、倒数变换法 。 适用于递推式形如 an ?1 ?

pan qan ? r

例 5 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

解:求倒数得

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 1? ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? 为等差数列,首项 ? 1 ,公差为 , 2 a1 an ?1 2 an an ?1 an 2 ? an ?1 an ?

?

1 1 2 ? (n ? 1),? an ? an 2 n ?1

四(六) 、数学归纳法。 通过首项和递推关系式求出数列的前几项,猜出数列的通项公式,再用数 学归纳法加以证明。 例 6 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,下面用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ? ? ? ? ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*


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