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2.3.1《离散型随机变量的 均值与方差-期望值》

教学目标
? 1了解离散型随机变量的期望的意义,会根 据离散型随机变量的分布列求出期望. ? ⒉理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”,以及 “若ξB(n,p),则Eξ=np”.能熟练地应用它 们求相应的离散型随机变量的期望 ? 教学重点:离散型随机变量的期望的概念 教学重点: ? 教学难点:根据离散型随机变量的分布列 教学难点: 求出期望 ? 授课类型:新授课 课时安排:2课时 教 授课类型: 课时安排: 具:多媒体、实物投影仪

离散型随机变量的均值与方差( 离散型随机变量的均值与方差(一)
复习引入 问题提出

数学期望的 定义

练习一

期望应用, 期望应用 例2.例3 例

本课小结

离散型随机变量的均值与方差( 离散型随机变量的均值与方差(一)
ξ 取每一个值 xi ( i = 1, 2,?) 的概率 P(ξ = xi ) = pi 则称表 ξ x1 x2 ? x i ?
前面, 变量的分布列. 前面,我们 认识了随机变量的分布列. 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1 , x2 ,? , xi ,? ,

p1 p2 ? p i ? P 概率分布列, 分布列. 为随机变量ξ 的概率分布列,简称为ξ 的分布列.

对于离散型随机变量,确定了它的分布列, 对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中, 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中,我们还 常常希望直接通过数字 直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 最常用的有期望与方差 期望与方差. 征,最常用的有期望与方差.

思考下面的问题: 思考下面的问题 某射手射击所得环数

ξ

ξ

的分布列如下: 的分布列如下: 7 8 9 10

4

5

6

P

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

次射击之前,试估计该射手 次射击的平均环数. 在100次射击之前 试估计该射手 次射击之前 试估计该射手100次射击的平均环数. 次射击的平均环数 分析:平均环数=总环数÷100 分析:平均环数=总环数÷

由概率可知, 次射击之前,估计得 由概率可知, 在 100 次射击之前,估计得 i 环的次数为 P(ξ = i)×100 . 可知
所以, 所以,总环数约等于 (4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100. × × × × × 100次射击的平均环数约等于 故100次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32. × × × × 一般地, 一般地,

一般地: 一般地: 对任一射手, 的分布列, 对任一射手,若已知他的所得环数 ξ 的分布列,即已 则可以预计他任意n次射击的 知 P(ξ = i)(i = 0,1,2,?,10), 则可以预计他任意 次射击的

+ 平均环数是 0×P(ξ =0)+1×P(ξ =1)+? 10×P(ξ =10) 记为 Eξ
我们称

Eξ 为此射手射击所得环数的期望,它刻划了所 为此射手射击所得环数的期望 期望,

得环数随机变量

ξ

所取的平均值。 所取的平均值。

关于平均的意义,我们再看一个例子,思考:课本第69 关于平均的意义,我们再看一个例子,思考:课本第69 平均的意义 页的定价怎样才合理问题? 页的定价怎样才合理问题? 更一般地

数学期望的定义: 数学期望的定义

一般地, 一般地,随机变量 ξ 的概率分布列为

x1 x 2 ? x i ? xn P p1 p 2 ? pi ? pn 则称 Eξ = x p + x p + ? + x p + ? + x p 1 1 2 2 i i n n 数学期望或均值 简称为期望 或均值, 期望. 为ξ 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随
机变量取值的平均水平. 机变量取值的平均水平

ξ

根据定 根据定义可推出 下面两个结论: 结论1: 结论 : η = aξ + b, 则 Eη = aEξ + b ; 若

结论2: 结论 :若ξ~B(n,p),则Eξ= np. , ,
结论一证明 结论二证明

练习一 (巩固定义 巩固定义) 巩固定义

∵ P (η = axi + b ) = P (ξ = xi ), i = 1, 2, 3?
所以, 所以, 的分布列为

结论1: 结论 : η = aξ + b, 则 Eη = aEξ + b 若

η

η

ax1 + b ax2 + b

P

p1

p2

Eη = (ax1 + b) p1 + (ax2 + b) p2 +?+ (axn + b) pn = aEξ + b 即E(aξ + b) = aEξ + b

? ax +b ? ax + b ? pi ? pn
i
n

= a( x1 p1 + x2 p2 +?+ xn pn ) + b( p1 + p2 +?+ pn )

练习一 (巩固定义 巩固定义) 巩固定义

练习一 练习一
1、随机变量ξ的分布列是 随机变量ξ ξ P (1)则Eξ= 则 1 0.5 2.4 3 0.3 . 5.8 . 5 0.2

(2)若η=2ξ+1, (2)若η=2ξ+1,则Eη= 2、随机变量ξ的分布列是 随机变量ξ

ξ P

4 0.3

7 a
0.1 b=

9 b

10 0.2
0.4 .

Eξ=7.5,则a= 则

练习二

练习二 练习二
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从 1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球, 一个袋子里装有大小相同的 中同时取2 中同时取2个,则其中含红球个数的数学期望是 2.( E(- 2.(1)若 E(ξ)=4.5,则 E(-ξ)= -4.5 . E(ξ- (2)E(ξ-Eξ)= 0 . 3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 罚不中得0 已知某运动员罚球命中的概率为0.7 则他罚球1 0.7, 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次 的得分ξ . 的得分ξ的期望为 0.7 (详细解答过程见课本例1) 详细解答过程见课本例1) 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望, 么一般地 ,若ξ~B(n,p),则Eξ=? 若 , , 1.2 .

结论2: , , 结论 :若ξ~B(n,p),则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明: (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) 证明:∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k ∵ ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + × × × …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 k× n× =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np 期望在生活中的应用广泛,见课本第72页例2.例 期望在生活中的应用广泛,见课本第72页例2.例3 72页例2.

例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4 20个选择题构成 选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5 选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选 或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为 或选错不得分,满分100分 100 0.9,学生乙则在测验中对每题都从 学生乙则在测验中对每题都从4 0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选 择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是? 个数分别是?和η,则 ξ~B(20,0.9),η~B(20,0.25), B(20,0.9), B(20,0.25), 所以Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25=5. 所以Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25= Eξ 由于答对每题得5 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5ξ 5η.这样 5ξ和 这样, 中的成绩分别是5ξ和5η.这样,他们在测验中的成绩 的期望分别是 E(5ξ)=5Eξ=5×18=90, E(5ξ)=5Eξ= 18=90, E(5η)=5Eη=5×5=25. E(5η)=5Eη= 25. 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗? 90分吗 均值为90分的含义是什么? 90分的含义是什么 均值为90分的含义是什么? 不一定,其含义是在多次类似的测试中, 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成 绩大约是90 90分 绩大约是90分 思考1 思考 思考2 思考
思考 思考

思考1.某商场的促销决策: 思考1.某商场的促销决策: 1.某商场的促销决策 统计资料表明, 统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利 2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元; 万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元 万元; 如遇下雨可则损失4万元。 19日气象预报端午节下 如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 因为商场内的促销活动可获效益2 设商场外的促销活动可获效益ξ万元, 设商场外的促销活动可获效益ξ万元,则ξ的分布列

ξ 10 -4 所以Eξ × + P 0.6 0.4 所以 ξ=10×0.6+(-4) ×0.4=4.4
所以商场应选择在商场外进行促销. 因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销. 因为

学习小结: 学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式: 本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式: ξ+b)= (1)E(aξ+ )= ( ξ+ )=aEξ+b; ; ),则 ξ= ξ=np (2)若ξ~B(n,p),则Eξ= ( , ), 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。 会根据离散型随机变量的分布列求出期望。

思考2. 思考2 有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现1 你赢8 有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现1,你赢8 出现2 你输3 出现5 不输不赢. 元;出现2或3或4,你输3元;出现5或6,不输不赢.这场 赌博对你是否有利 对你是否有利? 赌博对你是否有利?

1 1 1 1 Eξ = × 10 + × ( ?3 ) + × 0 = ? . 6 2 3 6
对你不利!劝君莫参加赌博. 对你不利!劝君莫参加赌博.

课外思考: 思考:
彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与6个白球,除颜色 彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与6个白球, 准备一个布袋 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球, 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球,输赢的 规则为: 规则为: 赢得100 100元 6个全红 赢得100元 赢得50 50元 5 红1 白 赢得50元 赢得20 20元 4 红2 白 赢得20元 100元 3 红3 白 输100元 2 红4 白 赢得20元 赢得20元 20 赢得50 50元 1 红5 白 赢得50元 赢得100 100元 6个全白 赢得100元

你动心了吗? 你动心了吗?


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