(第15课时)正弦定理、余弦定理(3)




题:正弦定理、余弦定理(3)

教学目的: 1 进一步熟悉正、余弦定理内容;? 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;? 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;? 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 ? 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求 ? 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法:启发引导式? 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦 定理的适用题型与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互 补角的正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数等;? 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、 余弦定理的边角互换作用 教学过程:
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一、复习引入: 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc c2 ? a2 ? b2 2ca

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, ? cos B ?

a2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC , ? cosC ? 2ab
2 2 2

二、讲授新课: 1 正余弦定理的边角互换功能? 对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到 它 其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们 两个定理的特殊功能 是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系 转化为边的关系,从而使许多问题得以解决 ?
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例 1 已知 a、 为△ABC 的边, 、 分别是 a、 的对角, b A B b 且 的值
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sin A 2 A? B ? , 求 sin B 3 B

a b sin A a sin A 3 ? ,? ? ,又 ? (这是角的关系), sin A sin B sin B b sin B 2 a 3 a ?b 3? 2 5 ? ? . ∴ ? (这是边的关系) 于是,由合比定理得 b 2 b 2 2
解:∵
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例 2 已知△ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别是 A、B、C,且 a、b、c 成等差 数列 求证:sinA+sinC=2sinB 证明:∵a、b、c 成等差数列, ∴a+c=2b(这是边的关系)①?
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a b c b sin A ? ? ,? a ? ② sin A sin B sin C sin B b sin C c? ③ sin B b sin A b sin C ? ? 2b 整理得 sinA+sinC=2sinB(这 将②、③代入①,得 sin B sin B
又 是角的关系) 2 正、余弦定理的巧用? 某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂 的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:
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例 3 求 sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°cos80°的值
2 2

2

2

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解:原式=sin 20°+sin 10°-2sin20°sin10°cos150° ∵20°+10°+150°=180°,? ∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角 ? 设这三个内角所对的边依次是 a、 、 , b c 由余弦定理得: 2+b2-2abcos150° a 2 =c (※)? 而由正弦定理知:a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°,代 入(※)式得:
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sin 20°+sin 10°-2sin20°sin10°cos150°=sin 150°= ∴原式=

2

2

2

1 4

1 4
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例 4 在△ABC 中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的 2 倍,求此三 角形的三边长 ( sin 2? ? 2 sin ? cos ? )? 分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建

立边角关系 其中 sin 2? ? 2 sin ? cos ? 利用正弦二倍角展开后出现了 cosα , 可继续利用余弦定理建立关于边长的方程,从而达到求边长的目的 ? * 解:设三角形的三边长分别为x,x+1,x+2,其中x∈N ,又设最小 角为α ,则?
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x x?2 x?2 ? ? sin ? sin 2? 2 sin ? ? cos ?
2 2

,? cos ? ?
2

x?2 ① 2x

又由余弦定理可得x =(x+1) +(x+2) -2(x+1) x+2)cosα ? ( 2 将①代入②整理得:x -3x-4=0 ? 解之得x1=4,x2=-1(舍)? 所以此三角形三边长为 4,5,6 ? 评述: 此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于 边长的方程
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例 5 已知三角形的一个角为 60°,面积为 10 3 cm ,周长为 20cm,求此三 角形的各边长 分析:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的 基本元素,但是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建 立方程,这样由于边长为三个未知数,所以需寻求三个方程,其一可利用余弦
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2

定理由三边表示已知 60°角的余弦,其二可用面积公式S△ABC= 面积,其三是周长条件应用 ? 解:设三角形的三边长分别为 a、b、c,B=60°,则依题意得
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1 absinC 表示 2

? a2 ? c2 ? b2 ?cos60? ? 2ac ?a ? b ? c ? 20 ? ? 2 ?1 2 2 ? ? ac sin 60? ? 10 3 ? ?b ? a ? c ? ac ?ac ? 40 ?2 ? ?a ? b ? c ? 20 ? ?
2 2 2 2

① ② ③

由①式得:b =[20-(a+c) =400+a +c +2ac-40(a+c) ④? ] 将②代入④得 400+3ac-40(a+c)=0 ? 再将③代入得 a+c=13 ? 由?

?a1 ? 5 ?a 2 ? 8 ?a ? c ? 13 解得? 或? ?ac ? 40 ?c1 ? 8 ?c2 ? 5

∴b1=7,b2=7 ?

所以,此三角形三边长分别为 5cm,7cm,8cm ? 评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要 注意含有正弦形式的面积公式的应用 ?
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(2)由条件得到的是一个三元二次方程组, 要注意要求学生体会其求解的方 法和思路,以提高自己的解方程及运算能力 ? 三、课堂练习:
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1 在△ABC 中,已知 B=30°,b=50 3 ,c=150,那么这个三角形是(
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)

A 等边三角形? B 直角三角形? C 等腰三角形? D 等腰三角形或直角三角形 2 2 2 2 2 在△ABC 中,若 b sin C+c sin B=2bccosBcosC,则此三角形为( )? A 直角三角形? B 等腰三角形? C 等边三角形? D 等腰直角三角形 3 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,则 secA= ?
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4 △ABC 中,
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tan A sin A ? ,则三角形为 tan B sin B

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?
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5 在△ABC 中,角 A、B 均为锐角且 cosA>sinB,则△ABC 是
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6 已知△ABC 中,
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a2 ? b2 ? c2 ? c 2且a cos B ? b cos A ,试判断△ABC 的形状 a?b?c
2 2 2
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7 在△ABC 中, a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B),判断△ABC 的形状 ??? ( 参考答案:1 D 2 A 3 8 4 等腰三角形? 5 钝角三角形 6 等边三角形 7 等腰三角形或直角三角形? 四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、 余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断 五、课后作业:?
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2

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1 在△ABC 中,已知
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sin A sin( A ? B) 2 2 2 ? ,求证:a ,b ,c 成等差数列 sin C sin(B ? C )

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证明:由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B) ·sin(A-B)? cos2B-cos2C=cos2A-cos2B ? ? 2cos2B=cos2A+cos2C

2?

1 ? cos 2 B 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 2 2 2 ? ? ∴2sin B=sin A+sin C ? 2 2 2
2 2 2 2 2 2
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由正弦定理可得 2b =a +c , 即 a ,b ,c 成等差数列 ? 2 在△ABC 中,A=30°,cosB=2sinB- 3 sinC
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(1)求证:△ABC 为等腰三角形;(提示 B=C=75°)? (2)设 D 为△ABC 外接圆的直径 BE 与 AC 的交点,且 AB=2,求 AD∶DC 的值
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答案: (1)略 (2)1∶ 3 六、板书设计(略) 七、课后记:


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