高三数学专项训练:平面向量小题基础练习题(一)


高三数学专项训练:平面向量小题基础练习题
1.(09?山东文)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA =2 BP ,则( A. PA + PB =0

??? ?

??? ?

??? ?

)

??? ?

??? ?

B. PB + PC =0

??? ? ??? ?

??? ?

C. PC + PA =0 D. PA + PB + PC =0 2.在△ABC 中,D、E、F 分别为 AB、BC、CA 的中点,则 DE + FC 等于( A. AB C. AC

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

??? ?

B. BC D. AE

??? ?

??? ?

??? ?
)

3.在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线的交点.下列结论正确的是( A. AB = CD , BC = AD B. AD + OD = DA C. AO + OD = AC + CD D. AB + BC + CD = DA 4.a、b 为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是( A.a 与 b 方向相同 B.a∥b C.a=-b D.a 与 b 的关系不确定 5.向量( AB + MB )+( BO + BC )+ OM 等于( A. BC )

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????

??? ?

????

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

???? ?

)

??? ?

B. AB D. AM

??? ?

C. AC

??? ?

???? ? ??? ? ????

6.在四边形 ABCD 中, AC = AB + AD ,则四边形 ABCD 一定是( A.矩形 C.正方形 B.菱形 D.平行四边形

??? ?

)

7. (2010?河北唐山)已知 P、 B、 是平面内四个不同的点, PA + PB + PC = AC , A、 C 且 则( ) A.A、B、C 三点共线 B.A、B、P 三点共线 C.A、C、P 三点共线 D.B、C、P 三点共线 8.G 为△ABC 内一点,且满足 GA + GB + GC =0,则 G 为△ABC 的( A.外心 B.内心
试卷第 1 页,总 7 页

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

)

C.垂心

D.重心

9.已知 P 是△ABC 所在平面内的一点,若 CS =λ PA + PB ,其中 λ ∈R,则点 P 一 定在( ) A.△ABC 的内部 B.AC 边所在直线上 C.AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上 10.在平面上有 A,B,C 三点,设 m= AB + BC ,n= AB - BC ,若 m 与 n 的长度 恰好相等,则有( ) A.A,B,C 三点必在一条直线上 B.△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角 D.△ABC 必为等腰直角三角形 11.(07?湖南)若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( A. EF = OF + OE

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???

B. EF = OF - OE

??? ? ??? ?

??? ?

C. EF =- OF + OE

??? ?

D. EF =- OF - OE

??? ?

??? ?

12.化简 OP - QP + PS + SP 的结果等于( A. QP C. SP

??? ?

??? ?

)

??? ?

B. OQ D. SQ

???? ??? ?

???

13.已知向量 a ? (1,1), b ? ?2, x ? ,若 a ? b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是( A.

?



?2

B. 0

C. 1

D. 2 ( )

??? ? ???? ???? ? 14.在△ABC 中,M 为 BC 中点,若 AB ? (4,1), AC ? (2,3), 则 AM ?
A. (6,4) B. (1,1) C. (3,2) D. (2,3)

15.如图,△ABC 中,AD=DB,AE=EC,CD 与 BE 交于 F,设 AB =a, AC =b, AF =xa+yb,则(x,y)为( )

??? ?

????

??? ?

A. ? , ?

?1 1? ?2 2?

B. ? , ?

?2 2? ?3 3?

试卷第 2 页,总 7 页

C. ? , ?

?1 1? ?3 3?

D. ? , ?

?2 1? ?3 2?

16.△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 C B =a,C A =b,|a|=1,|b|= 2,则 C D =( A.

??

??

??

) B.

1 2 a+ b 3 3 3 4 a+ b 5 5

2 1 a+ b 3 3 4 3 a+ b 5 5

C.

D.

17.设 a、b 是不共线的两个非零向量,已知 AB =2a+pb, BC =a+b, CD =a-2b. 若 A、B、D 三点共线,则 p 的值为( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 18.设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=( A.150° B.120° C.60° D.30°

??? ?

??? ?

??? ?

)

19.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD =2 DB , CD =r AB +s AC ,则 r+s 的 值是( A. ) B.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

2 3

4 3
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

C.-3

D.0

20.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且| OA + OB |=| OA - OB |, 其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为( )

A.2 C.2 或-2

B.-2 D.

6 或- 6

21.在?ABCD 中, AB =a, AD =b, AM =4 MC ,P 为 AD 的中点,则 MP =( A.

??? ?

????

???? ?

???? ?

????

)

4 3 a+ b 5 10

B.

4 3 a+ b 5 10

试卷第 3 页,总 7 页

C.-

4 3 a- b 5 10

D.-

3 1 a- b 4 4
????

22.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC =2 BD ,CE =2 EA ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ? AF =2 FB ,则 AD + BE + CF 与 BC (
A.反向平行 C.互相垂直 B.同向平行 D.既不平行也不垂直

)

23.在四边形 ABCD 中, AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,其中 a、b 不 共线,则四边形 ABCD 是( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 24.(09?广东文)已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b( ) A.平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 25.(09?北京文)已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d, 那么( ) A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 26.已知向量 a=(1,3),b=(2,1),若 a+2b 与 3a+λ b 平行,则 λ 的值等于( ) A.-6 B.6 C.2 D.-2 27.已知 a=(2,1),b=(x,-2)且 a+b 与 2a-b 平行,则 x 等于( ) A.-6 B.6 C.-4 D.4 28.(2010?湖南长沙)已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 OP = OA +λ ( AB + AC ), ∈[0, λ +∞), 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( A.外心 C.内心 B.垂心 D.重心

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

)

→ 29.已知点 A、B 的坐标分别为(2,-2)、(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7),且 p∥AB, 则 k 的值为( A.- ) B.

9 10 19 10

9 10 19 10
)

C.-

D.

30.(2010?烟台市诊断)已知向量 a=(4,2),b=(x,3),且 a∥b,则 x 的值是( A.6 B.-6
试卷第 4 页,总 7 页

C.9 D.12 31.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能 构成三角形,则向量 c 为( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 32.已知平面向量 a=(1,-1),b=(-1,2),c=(3,-5),则用 a,b 表示向量 c 为( ) A.2a-b B.-a+2b C.a-2b D.a+2b 33.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足 OC = α OA +β OB ,其中 α 、β ∈R 且 α +β =1,则点 C 的轨迹方程为( A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.3x+2y-11=0 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 34.(08?辽宁理)已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC +

??? ?

??? ?

??? ?

)

??? ?

??? ? ??? ? CB =0,则 OC =(
A.2 OA - OB

)

??? ?

??? ?

B.- OA +2 OB

??? ?

??? ?

C.

? ? 2 ??? 1 ??? OA - OB 3 3

D.-

? ? 1 ??? 2 ??? OA + OB 3 3 ??? ?

35.(08?辽宁文)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC = 2 AD ,则顶点 D 的坐标为( A. ? 2, ?

????
? ?

)

7? 2?

B. ? 2, ?

? ?

1? ? 2?

C.(3,2) D.(1,3) 36. (09?湖北理)已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1), m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R} 是两个向量集合,则 P∩Q=( ) A.{(1,1)} B.{(-1,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1)} 37. 原点 O 在正六边形 ABCDEF 的中心,OA =(-1, - 3 ),OB =(1, - 3 ), OC 则 等于( ) A.(2,0) C.(0,-2 3 )

??? ?

??? ?

??? ?

B.(-2,0) D.(0, 3 )

38.已知点 A(-1,-5)和向量 a=(2,3),若 AB =3a,则点 B 的坐标为( A.(6,9) B.(5,4) C.(7,14) D.(9,24) 39.若非零向量 a、b 满足|a+b|=|b|,则(

??? ?

)

)

试卷第 5 页,总 7 页

A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 40.(2010?河北省正定中学模拟 )已知向量 a=(2cosθ ,2sinθ ),b=(0,-2), θ ∈?

?? ? , ? ? ,则向量 a,b 的夹角为( ?2 ?
B.θ -

)

A.

3? -θ 2

? 2

C.

? +θ 2

D.θ

41. (2010?四川理, 5)设点 M 是线段 BC 的中点, A 在直线 BC 外,BC 2=16, AB 点 | + AC |=| AB - AC |,则| AM |=( A.8 C.2 B.4 D.1 )

??? 2 ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

)

42. 已知向量 a=( 3 , b 是不平行于 x 轴的单位向量, a?b= 3 , b 等于( 1), 且 则 A. ? ?

? 3 1? , ? 2 2? ? ?

B. ? ?

?1

3? ? ? ?2 2 ? ,

C. ? , ?

?1 3 3? ? ? ?4 4 ?

D.(1,0)

43.已知△ABC 中, AB =a, AC =b,a?b<0,S△ABC=

??? ?

??? ?

15 ,|a|=3,|b|=5,则 a 4

与 b 的夹角是( ) A.30° B.150° C.210° D.30°或 150° 44.(2010?重庆南开中学)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则 a?b =( ) A.

1 2
3 2

B.1

C.

D.

3

45.(08?海南文)已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λ a+b 与 a 垂直,则 λ = ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 46.若|a|=2,|b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 45°,要使 kb-a 与 a 垂直,则 k=( A.±2 B.± 2
试卷第 6 页,总 7 页

)

C. 2

D.2 )

47.已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a?b=2,则 a 与 b 的夹角为( A.

? 6 ? 3

B.

? 4 ? 2
??? ?

C.

D.

48.(09?陕西文)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 AP =

? ??? ? ??? ??? ? ? 1 ???? PM ,则 PA ?( PB + PC )等于( 2
A.-

)

4 9

B.-

4 3

C.

4 3

D.

4 9

49.(2010?湖南理,4)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则 AB ? AC 等于( A.-16 B.-8 C.8 D.16 50.已知 a、b 是非零向量,且(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是( A.

??? ?

??? ?

)

)

? 6
2? 3

B.

? 3
5? 6

C.

D.

试卷第 7 页,总 7 页

专项训练:平面向量小题基础练习题参考答案
1.C 【解析】∵ BC + BA =2 BP , ∴由平行四边形法则,点 P 为线段 AC 的中点, ∴ PC + PA =0.故选 C. 2.C 【解析】∵D、E、F 分别为 AB、BC、AC 中点, ∴DE∥AF 且 DE=AF,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

∴ DE = AF , ∴ DE + FC = AF + FC = AC . 3.C 【解析】因为 AO + OD = AD , AC + CD = AD ,所以 AO + OD = AC + CD .

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????

??? ?

??? ?

????

????

????

??? ?

??? ?

4.A 【解析】 当两个非零向量 a 与 b 不共线时, a+b 的方向与 a、 的方向都不相同, b 且|a+b|<|a| +|b|;向量 a 与 b 同向时,a+b 的方向与 a、b 的方向都相同,且|a+b|=|a|+|b|;向 量 a 与 b 反向且|a|<|b|时,a+b 的方向与 b 的方向相同(与 a 方向相反),且|a+b|=|b|- |a|. 5.C 【解析】原式= AB + BC + MB + BO + OM = AC +0= AC . 6.D 【解析】在四边形 ABCD 中, AC = AB + BC , 又 AC = AB + AD ,∴ BC = AD , ∴四边形 ABCD 是平行四边形.
答案第 1 页,总 11 页

??? ?

??? ?

????

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

7.B 【解析】∵ AC = PC - PA ,∴原条件式变形为:

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? PB =-2 PA ,∴ PB ∥ PA ,∴A、B、P 三点共线.
8.D 【解析】由于 GA + GB + GC =0,所以 GA =-( GB + GC ),即 GA 是与 GB + GC 方 向相反, 长度相等的向量. 如图, GB ,GC 为相邻的两边作?BGCD, GD = GB + GC , 以 则 所以 GD =- GA ,在?BGCD 中,设 BC 与 GD 交于点 E,则 BE = EC , GE = ED ,故 AE 是△ABC 中 BC 边上的中线且| GA |=2| GE |.

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

????

??? ?

????

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

从而点 G 是△ABC 的重心.选 D. 9.B 【解析】由 CB =λ PA + PB 得 CB - PB =λ PA ,∴ CP =λ PA .则 CP 与 PA 为共线 向量,又 CP 与 PA 有一个公共点 P,∴C、P、A 三点共线,即点 P 在直线 AC 上.故选 B. 10.C

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

BC 【解析】 以 BA , 为邻边作平行四边形 ABCD, m= AB + BC = AC , AB - BC 则 n=

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

= AB - AD = DB ,由 m,n 的长度相等可知,两对角线相等,因此平行四边形一定是矩 形.∴选 C.

??? ?

????

??? ?

11.B 【解析】因为选项 A 中应该是 EF = OF - OE

??? ?

??? ??? ? ?

,选项 C 应该是 FE =- OF + OE

??? ?

??? ?

??? ?

选项

D,也不成立,根据向量的减法法则可知正确的选项为 B. 12.B 【解析】原式=( OP + PQ )+( PS + SP )

??? ?

??? ?

??? ?

???

答案第 2 页,总 11 页

= OQ +0= OQ . 13.D 【解析】 试题分析:因为 a ? b 与 4b ? 2a 平行, a ? b ? (3, x ? 1), 4b ? 2a ? (6, 4 x ? 2) ,所以

????

????

?

?

?

?

3(4x ? 2)? 6( ? 1) 0 x ? ,解得 x ? 2.
考点:本小题主要考查向量共线的坐标表示,考查学生的运算求解能力. 点评:向量共线与垂直是两种特殊的位置关系,也是考查的重点内容,要熟练掌握,灵活应 用. 14. C 【 解 析 】 AM ? 15.C 【解析】 设 CF =λ CD , ∵E、 分别为 AC、 的中点, BE = BA + AE =-a+ D AB ∴

???? ?

? 1 ??? ???? 1 ( AB ? AC ) ? (6, 4) ? (3, 2) . 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 b, 2

??? ??? ??? ? ? ? 1 BF = BC + CF =(b-a)+λ ( a-b) 2
=?

?1 ? ? ? 1? a+(1-λ )b, ?2 ?

1 ? ?1 1 ? ? ??? ??? ? ? 2 2 ∵ BE 与 BF 共线,∴ = ,∴λ = , 1 3 ?1 2
∴ AF = AC + CF =b+

??? ?

????

??? ?

? 2 ??? 2 CD =b+ 3 3

?1 ? ? a ?b? ?2 ?



1 1 1 1 a+ b,故 x= ,y= . 3 3 3 3

16.B 【解析】如图所示,由题设条件知∠1=∠2,



BD DA



CB CA



1 , 2

答案第 3 页,总 11 页

∴ BD =

??? ?

? ? ? 1 ??? 1 ??? ??? 1 1 BA = ( CA - CB )= b- a, 3 3 3 3
??? ?

∴ CD = CB + BD =a+ ? b ?

??? ?

??? ?

?1 ?3

1 1 ? 2 a ? = a+ b. 3 ? 3 3

17.D 【解析】 BD = BC + CD =2a-b, AB =2a+pb,由 A、B、D 三点共线知,存在实数 λ , 使 2a+pb=2λ a-λ b, ∵a、b 不共线,∴ ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 2? ? 2 ,∴p=-1. ? P ? ??

18.B 【解析】∵|a|=|b|=|c|≠0,且 a+b=c ∴如图所示就是符合题设条件的向量, 易知 OACB 是菱形, △OBC 和△OAC 都是等边三角形. ∴〈a,b〉=120°.

19.D 【解析】∵ CD = AD - AC , DB = AB - AD .

??? ?

????

????

??? ?

??? ?

????

∴ CD = AB - DB - AC = AB -

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

? 1 ??? ???? CD - AC . 2



? ? 3 ??? ??? ???? CD = AB - AC , 2
??? ?

∴ CD =

? 2 ??? 2 ???? AB - AC . 3 3 ??? ?
????

又 CD =r AB +s AC ,∴r= ∴r+s=0.

??? ?

2 2 ,s=- , 3 3

答案第 4 页,总 11 页

20.C 【解析】以 OA、OB 为边作平行四边形 OACB,则由| OA + OB |=| OA - OB |得,平行四 边形 OACB 为矩形, OA ⊥ OB .由图形易知直线 y=-x+a 在 y 轴上的截距为±2,所以选 C. 21.C 【解析】如图, MP = AP - AM =

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

???? ?

1 ???? 4 ???? AD - AC 2 5



? ? 1 ???? 4 ??? ??? 1 4 AD - ( AB + BC )= b- (a+b) 2 5 2 5
4 3 a- b. 5 10

=-

22.A 【解析】

???? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ??? AD + BE + CF = AB + BD + BC + CE + BF - BC = AB + BC + BC - AB 3 3


? ? ? ? ? ? ? 1 ??? ??? 2 ??? ???? 1 ??? 2 ??? 1 ??? 1 ??? AB - BC = ( AB - AC )+ BC = CB + BC =- BC ,故选 A. 3 3 3 3 3 3 ???? ??? ?
??? ? ??? ?

23.A 【解析】∵ AD = AB + BC + CD =a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b)= 2 BC , ∴ AD ∥ BC 且| AD |=2| BC |, 故四边形是梯形. 24.C 【解析】a+b=(0,1+x2),由 1+x2≠0 及向量的性质可知,C 正确.
答案第 5 页,总 11 页

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

25.D 【解析】c=(k,0)+(0,1)=(k,1), d=(1,0)-(0,1)=(1,-1), c∥d?k?(-1)-1?1=0,∴k=-1. ∴c=(-1,1)与 d 反向,∴选 D. 26.B 【解析】a+2b=(5,5),3a+λ b=(3+2λ ,9+λ ), 由条件知,5?(9+λ )-5?(3+2λ )=0, ∴λ =6. 27.C 【解析】∵(a+b)∥(2a-b). 又 a+b=(2+x,-1),2a-b=(4-x,4), ∴(2+x)?4-(-1)?(4-x)=0, 解得 x=-4. 28.D 【解析】设 AB + AC = AD ,则可知四边形 BACD 是平行四边形,而 AP =λ AD 表明 A、 P、D 三点共线.又 D 在 BC 的中线所在直线上,于是点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心. 29.D 【解析】 由 A(2,-2),B(4,3)得, AB =(2,5), 而 p=(2k-1,7),由平行的条件 x1y2-x2y1=0 得, 2?7-(2k-1)?5=0,∴k=

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

19 ,选 D. 10

30.A 【解析】∵a∥b,∴

x 3 = ,∴x=6. 4 2

31.D 【解析】设 c=(x,y),∵a=(1,-3),b=(-2,4),∴4a=(4,-12),3b-2a=(-8,18). 又由表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则有 4a+(3b-2a)+c=0, 即(4,-12)+(-8,18)+(x,y)=(0,0), ∴x=4,y=-6,∴c=(4,-6). 32.C 【解析】设 c=xa+yb,∴(3,-5)=(x-y,-x+2y), ∴?

?x ? y ? 3 ?x ? 1 ,解之得 ? , ? ? x ? 2 y ? ?5 ? y ? ?2
答案第 6 页,总 11 页

∴c=a-2b,故选 C. 33.D 【解析】解法 1:设 C(x,y),则 OC =(x,y),OA =(3,1),OB =(-1,3).由 OC =α OA +β OB 得 (x,y)=(3α ,α )+(-β ,3β )=(3α -β ,α +3β ).

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? x ? 3? ? ? , (1) ? 于是 ? y ? ? ? 3? , (2) ?? ? ? ? 1.(3) ?
由(3)得 β =1-α 代入(1)(2)消去 β 得, ? 再消去 α 得 x+2y=5, 即 x+2y-5=0.∴选 D. 解法 2:由平面向量共线定理,当 OC =α OA +β OB ,α +β =1 时,A、B、C 三点共 线. 因此,点 C 的轨迹为直线 AB, 由两点式直线方程得

? x ? 4? ? 1 . ? y ? 3 ? 2?

??? ?

??? ?

??? ?

y ?1 x ?3 = , 3 ? 1 ?1 ? 3

即 x+2y-5=0.∴选 D. 34.A 【解析】∵2 AC + CB =0, ∴2( OC - OA )+( OB - OC )=0, ∴ OC + OB -2 OA =0,∴ OC =2 OA - OB . 35.A 【解析】 BC =(3,1)-(-1,-2)=(4,3), 2 AD =2(x,y-2)=(2x,2y-4) ∵ BC =2 AD ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

?x ? 2 ?4 ? 2 x ? ∴? ,解得 ? 7 ,故选 A. y? ?3 ? 2 y ? 4 ? ? 2

答案第 7 页,总 11 页

36.A 【解析】根据题意知,a=(1,0)+m(0,1)=(1,m),b=(1,1)+n(-1,1)=(1-n,1+n), 令 a=b 得, ?

?1 ? 1 ? n ?n ? 0 ,解得 ? ,∴a=(1,1)=b. ?m ? 1 ? n ?m ? 1

∴P∩Q={(1,1)}. 37.A 【解析】∵正六边形中,OABC 为平行四边形, ∴ OB = OA + OC , ∴ OC = OB - OA =(2,0). 38.B 【解析】 OA =(-1,-5). AB =3a=(6,9), 故 OB = OA + AB =(5,4), 故点 B 坐标为(5,4). 39.C 【解析】由已知(a+b)2=b2,即 2a?b+|a|2=0. ∵|2a+b|2-|2a|2=4a?b+|b|2=|b|2-2|a|2 符号不能确定,∴A、B 均不对. ∵|a+2b|2-|2b|2=|a|2+4a?b =|a|2-2|a|2=-|a|2<0.故选 C. 40.A 【解析】解法一:由三角函数定义知 a 的起点在原点时,终点落在圆 x2+y2=4 位于第二象 限的部分上 (∵

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? <θ <π ),设其终点为 P,则∠xOP=θ , 2
3? -θ . 2

∴a 与 b 的夹角为

解法二:cos〈a,b〉=

?4sin ? a ?b = a?b 2? 2

答案第 8 页,总 11 页

=-sinθ =cos ?

? 3? ? ?? ? , ? 2 ?

∵θ ∈ ?

3? ?? ? ?? ? -θ ∈ ? , ? ? , , ? ? ,∴ 2 ?2 ? ?2 ?
3? -θ . 2

又〈a,b〉∈(0,π ),∴〈a,b〉=

41.C 【解析】∵| AB + AC |=| AB - AC |,∴△ABC 是以 A 为直角顶点的三角形, 又 M 是 BC 的中点,则| AM |=

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

? 1 ??? 1 | BC |= ?4=2. 2 2

42.B 【解析】方法 1:令 b=(x,y)(y≠0),

? x 2 ? y 2 ? 1① ? ? ? 3 x ? y ? 3② ?
将②代入①得 x2+( 3 - 3 x)2=1,即 2x2-3x+1=0,

∴x=1(舍去,此时 y=0)或 x=

1 3 ?y= . 2 2

方法 2:排除法,D 中 y=0 不合题意;C 不是单位向量,舍去;代入 A,不合题意,故选 B. 43.B 【解析】由 a?b<0 知,a、b 夹角是钝角, ∵S△ABC=

15 1 15 1 ,∴ ?3?5?sinA= ,∴sinA= , 4 2 4 2

∵A 为钝角,∴A=150°. 44.B 【解析】|a|=2,a?b=|a|?|b|?cos60°=2?1?

1 =1. 2

45.A 【解析】a=(1,-3),b=(4,-2), ∴λ a+b=λ (1,-3)+(4,-2)=(λ +4,-3λ -2), ∵λ a+b 与 a 垂直, ∴λ +4+(-3)(-3λ -2)=0, ∴λ =-1,故选 A.
答案第 9 页,总 11 页

46.D 【解析】若 kb-a 与 a 垂直,则(kb-a)?a=0, 即 ka?b-|a|2=0,∴k|a|?|b|cos45°-|a|2=0,解得 k=2. 47.C 【解析】根据向量数量积的意义,a?b=|a|?|b|?cosθ =4cosθ =2 及 0≤θ ≤π ,可得 θ =

? ,选 C. 3
??? ?
? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? 1 ???? 1 ???? 1 PM ,∴| AP |= | AM |= ,∴ PA ?( PB + PC ) 2 3 3

48.A 【解析】如图,∵ AP =

= PA ?( PA + AB + PA + AC ) = PA ?(2 PA +2 AM ) =2 PA 2+2 PA ? AM =2?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

1 1 +2? cos180° 9 3

=-

4 ,故选 A. 9

49.D 【解析】因为∠C=90°,所以 AC ? CB =0,所以 AB ? AC =( AC + CB )? AC = | AC |2+ AC ? CB =AC2=16. 50.B 【解析】由(a-2b)?a=0 及(b-2a)?b=0 得,a2=b2=2|a||b|cosθ ,∴cosθ =

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 ,θ = 2

? . 3
答案第 10 页,总 11 页

[点评] 数量积运算满足多项式乘法法则及以下乘法公式 (a+b)2=a2+2a?b+b2, (a-b)2=a2-2a?b+b2, a2-b2=(a+b)?(a-b), |a|2=a2=a?a.

答案第 11 页,总 11 页


相关文档

更多相关文档

高三数学专项训练:平面向量小题基础练习题
高三数学专项训练:平面向量小题基础练习题(三)
高三数学平面向量综合练习题
高三数学一轮单元练习卷-平面向量试题
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):4.2平面向量基本定理及坐标表示
高三数学单元练习题:平面向量(Ⅰ) 2
高三数学期末复习专项训练(15)平面向量(
2012高三数学一轮复习单元练习题:平面向量(Ⅰ)
2014届高三数学《三角函数与平面向量》专项训练
高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)4.2平面向量基本原理及坐标表示课件 新人教A版
高三数学一轮单元练习卷-解三角形
2012高三数学一轮复习单元练习题:平面向量(Ⅱ)
高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
高三数学专项训练:平面向量小题基础练习题
高三数学培优补差辅导专题讲座-平面向量单元易错题分析与练习
电脑版