【创新设计】2017年高考数学(人教)一轮复习配套讲义:第3篇 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用


第4讲 [最新考纲]

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω, φ对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问 题.

知 识 梳 理 1.“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个交点,作图时 的一般步骤为: (1)定点:如下表所示. x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) - φ ω π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

0 0

(2)作图: 在坐标系中描出这五个关键点, 用平滑的曲线顺次连接得到 y=Asin(ωx+φ)在一个 周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动时,A 叫做振幅,T= 1 周期,f= 叫做频率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相. T 辨 析 感 悟 1.对图象变换的认识 2π 叫做 ω

(1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中向左或向右平移的长 度一样. (×) π 2x- π (2)将 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位,得到 y=sin 3 的图象. 3

(×) (3)(2013· 湖北卷改编 )将函数 y = 3cos x + sin x(x∈ R)的图象向左平移 m(m > 0) 个单位长度 π 后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 . 6

(√) 2.对函数 f(x)=Asin(ωx+φ)性质的认识 (4)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A.

(×) (5)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.

(×) π ,0 (6)(2014·广州二模改编)若函数 y=cos ωx(ω∈N*)的一个对称中心是 6 ,则ω的最小值为 3. (√) [感悟·提升] 1.图象变换两种途径的区别 由 y=sin x 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特 别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿 x 轴的伸缩量的区别.先平移 变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再平移变换, |φ| 平移的量是 个单位,如(1)、(2). ω 2.两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为

同名函数; 二是解决三角函数性质时,要化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,但最大值、最小值与 A 的符号有 关,如(4);而 y=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期,如(5). 学生用书 第 57 页

考点一

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象画法与变换 ωx+ π 3 (ω>0) 的图象与 y=- 1

【例 1】 (1)(2013·广东六校教研协作体二联 )已知 f(x)= sin

的图象的相邻两交点间的距离为π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=cos 2x 的图象 ( π A.向左平移 个单位 12 C.向左平移 5π 个单位 12 B.向右平移 π 个单位 12 ).

5π D.向右平移 个单位 12

(2)已知函数 y=2sin

π 2x+ 3 .

①求它的振幅、周期、初相; ②用“五点法”作出它在一个周期内的图象; ③说明 y=2sin (1)解析 2x+ π 3 的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 2π π ,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+ ),∴只需 y=cos 2x=sin(2x ω 3

依题意 T=π,∴T=π=

π π + )=sin2(x+ ) 2 4 答案 (2)解 B ①y=2sin 2x+

π f(x)=sin(2x+ ). 3 π 2π π 3 的振幅 A=2,周期 T= =π,初相φ= . 2 3

π 2x+ π ②令 X=2x+ ,则 y=2sin 3 =2sin X. 3 列表,并描点画出图象: x X y=sin X - 0 0 π 6 π 12 π 2 1 π 3 π 0 7π 12 3π 2 -1 5π 6 2π 0

y=2sin

2x+

π 3

0

2

0

-2

0

③法一

π x+ π 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 y=sin 3 的图象;再把 y 3 π π 2x+ 1 3 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 3 的图 2 π 2x+ 即可得 3 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),

=sin

x+

象; 最后把 y=sin 到 y=2sin 2x+

π 3 的图象.

1 法二 将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标 x 缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 得到 y=sin 2x 2 π π x+ 2x+ π 的图象;再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到 y=sin 2 6 =sin 3 的图象; 6 再将 y = sin 2sin 2x+ 2x+ π 3 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 ( 横坐标不变 ) ,得到 y =

π 3 的图象.

规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法. (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 z=ωx+φ, π 3 由 z 取 0,,π, π,2π来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. 2 2 (2)三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数, 进行周期变换时, 需要将 x 的系数变为 原来的ω倍,要特别注意相位变换、周期变换的顺序,顺序不同,其变换量也不同. 【训练 1】 (1)(2013·合肥第一次质检)将函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象向左平 π 移 个单位,所得函数的图象与函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,则ω的值不可能是 2 ( A.2 B.4 C. 6 D.10 ).

(2)(2014·合肥模拟)设函数 f(x)=cos(ωx+φ) 3 . 2 ①求ω和φ的值;

π π ω>0,- <φ<0 的最小正周期为π,且 f 4 = 2

②在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. (1)解析 依题意,f x+ π π ωπ x+ ωx+ +φ 2 +φ =Asin 的图象与 y=f(x)的图象关 2 =Asin ω 2

ωπ 4π ωx+ +φ 4x+ + φ 于 x 轴对称,于是有 Asin +Asin(ωx+φ)=0;注意到ω=4 时,Asin 2 2 +Asin(4x+φ)=2Asin(4x+φ)不恒等于 0,故选 B. 答案 (2)解 B ①∵T= 2π =π,ω=2, ω

π π 2× + φ 3 3 又 f 4 =cos = ,∴sin φ=- , 4 2 2 π π 又- <φ<0,∴φ=- . 2 3 π 2x- ②由①得 f(x)=cos 3 ,列表: π 2x- 3 π - 3 π 2 3 π 2 5 π 3

0

π

x

0

π 6

5 π 12

2 π 3

11 π 12

π

f(x)

1 2

1

0

-1

0

1 2

图象如图.

考点二

由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例 2】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象 如图所示,则函数 f(x)的解析式为________. 解析 法一 由图可知 A= 2, T 7π π π = - = ,所以 T=π,故ω=2,因此 f(x)= 2sin(2x+φ), 4 12 3 4

π π ,0 2x+ π π 又 3 对应五点法作图中的第三个点, 因此 2× +φ=π, 所以φ= , 故 f(x)= 2sin 3 . 3 3 法二 π 7π ,0 ,- 2 以 3 为第二个“零点”, 12 为最小值点, π ω· +φ=π, 3 列方程组 ω· 7π 3π +φ= , 12 2 2x+ π 3 . 解得 ω=2, π φ= , 3

故 f(x)= 2sin 答案

f(x)= 2sin

π 2x+ 3

规律方法 已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比较容易看图 得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法: (1)由ω= 2π 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点” T

横坐标 x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ. (2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图 形解出ω和φ,若对 A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求. 学生用书 第 58 页

π π 【训练 2】 (2013·四川卷)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, - <φ< )的部分图象如图所示, 则ω, 2 2 φ的值分别是 A.2,- B.2,- C.4,- D.4, π 3 π 3 ( ).

π 6 π 6

解析

π 5π - - 3 4 2π 由图象知 f(x)的周期 T= 12 = π, 又 T= , ω>0, ∴ω=2.由于 f(x)=2sin(ωx 3 ω

5π ,2 π π 5π π π +φ)(ω>0, - <φ< )的一个最高点为 12 , 故有 2× +φ=2kπ+ (k∈Z), 即φ=2kπ- , 2 2 12 2 3 π π π 又- <φ< ,∴φ=- ,选 A. 2 2 3 答案 A 考点三 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质应用

π 【例 3】 (2014·济南模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω,A>0,0<φ< )的最大值为 2, 2 π 最小正周期为π,直线 x= 是其图象的一条对称轴. 6 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f 解 π π x- x+ 12 -f 12 的单调递增区间.

2π (1)由题意,得 A=2,ω= =2, π

π 2× + φ π 当 x= 时,2sin =±2, 6 6 π +φ π π 即 sin 3 =±1,所以 +φ=kπ+ , 3 2 π π π 解得φ=kπ+ ,又 0<φ< ,所以φ= . 6 2 6 故 f(x)=2sin π 2x+ 6 .

π π x- x+ π π 2 2 12 + 12 + (2)g(x)=2sin 6 -2sin 6 π 2x+ =2sin 2x-2sin 3 1 3 sin 2x+ cos 2x =2sin 2x-2 2 2 =sin 2x- 3cos 2x=2sin 2x- π 3 .

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 得 k π- π 5π ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12

π 5π kπ- ,kπ+ 所以函数 g(x)的单调递增区间是 12 12 ,k∈Z.

规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 π (1)奇偶性:φ=kπ时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+ (k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx 2 +φ)为偶函数. 2π (2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为 T= . ω π π (3)单调性: 根据 y=sin t 和 t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究, 由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k 2 2 π 3π ∈Z)得单调增区间;由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)得单调减区间. 2 2 (4)对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ(k∈Z),求得 x、 ω. π π 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ+ (k∈Z)得其对称轴. 2 2 【训练 3】 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y π =f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 π (1)求 f 8 的值; (2)求函数 y=f(x)+f 解 π x+ 4 的最大值及对应的 x 的值.

(1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)

3 1 sin?ωx+φ?- cos?ωx+φ? =2 2 2 =2sin π ωx+φ- 6 .

因为 f(x)为偶函数, π π 2π 2π 则φ- = +kπ(k∈Z),所以φ= +kπ(k∈Z),又因为 0<φ<π,所以φ= , 6 2 3 3 所以 f(x)=2sin 由题意得 ωx+ π 2 =2cos ωx.

2π π =2· ,所以ω=2. ω 2

π π 故 f(x)=2cos 2x.因此 f 8 =2cos = 2. 4 (2)y=2cos 2x+2cos 2 π x+ 4

π 2x+ =2cos 2x+2cos 2 =2cos 2x-2sin 2x

π - 2x =2 2sin 4 . π π 令 -2x=2kπ+ (k∈Z),y 有最大值 2 2, 4 2 π 所以当 x=-kπ- (k∈Z)时,y 有最大值 2 2. 8

1.在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常 出现在题目中, 所以也必须熟练掌握, 无论是哪种变形, 切记每一个变换总是对字母 x 而言, 即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少. 2.由图象确定函数解析式:由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A,ω,φ的题型,常常以“五 点法”中的五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位 置.要善于抓住特殊量和特殊点. 3.对称问题:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图 象上坐标为(x,±A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间 横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).

易错辨析 5——三角函数图象平移变换时因自变量系数致误 π 【典例】 (2013·山东卷改编)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后, 得到一 8 个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为 ( A. 3π 4 B. π 4 C. 3π 8 D.- π 4 ).

向左平移 [错解] y=sin(2x+φ) ――→ y=sin π 个单位 8 π π 3π 则由 +φ= 得φ= .故选 C. 8 2 8

π 2x+ +φ 8

[答案] C [错因] π 2x+ + φ π 函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位得到 y=sin 是错误的, 8 8

应注意警惕. 向左平移 [正解] y= sin(2x+φ) ――→ y= sin 2 π 个单位 8 x+ π π 2x+ +φ π π 8 +φ =sin ,则由 +φ = + kπ(k∈ 4 4 2

π Z),根据选项检验可知φ的一个可能取值为 .故选 B. 4 答案 B 对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右减”,并且 [防范措施]

在变换过程中只变换其中的自变量 x,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定 变换的单位和方向.另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把 ωx+φ变换成ω 【自主体验】 π (2014·湖州二模)将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象向左平移 个单位长度,所得图象对应的函 4 数解析式可以是 ( ). B.y=cos 2x-sin 2x D.y=sin xcos x A.y=cos 2x+sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x φ x+ φ ω ,最后确定平移的单位并根据 的符号确定平移的方向. ω

解析

π x+ π π 2x+ 向左平移 2 4 + π y=sin 2x+cos 2x= 2sin 4 ――→ 4 个单位 y= 2sin 4 π π 2x+ + 4 2 2x+ π 4

= 2sin = 2cos

=cos 2x-sin 2x. 答案 B

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.(2014·北京石景山二模)把函数 y=sin

π x+ 1 6 图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标 2 ).

π 不变),再将图象向右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( 3 A.x=- π 2 B.x=- π 4 C.x= π 8 π D.x= 4

解析

将 y = sin

π x+ 1 6 图象上各点的横坐标缩短到原来的 ( 纵坐标不变 ) ,得到函数 y = 2

π x- π π π 2x+ 2x- 2 3 + π π sin 6 ;再将图象向右平移 个单位,得到函数 y=sin 2 ,x=- 6 =sin 3 2 是其图象的一条对称轴方程. 答案 A

2.(2014·深圳二模)如果函数 f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为 T,且当 x=2 时, f(x)取得最大值,那么( π A.T=2,θ= 2 C.T=2,θ=π 解析 T= ).

B.T=1,θ=π D.T=1,θ= π 2

2π π 3π =2,当 x=2 时,由π×2+θ= +2kπ(k∈Z),得θ=- +2kπ(k∈Z),又 0<θ π 2 2

π <2π,∴θ= . 2 答案 A π π 3.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是 2 3 其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( A.y=4sin C.y=2sin 解析 4x+ π 6 B.y=2sin D.y=2sin 2x+ 4x+ π 3 +2 π 6 +2 ).

π 4x+ 3 +2

由题意得

A+k=4, -A+k=0,

解得

A=2, k=2.

π 又函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最小正周期为 , 2 2π 所以ω= π =4,所以 y=2sin(4x+φ)+2. 2 π 又直线 x= 是函数图象的一条对称轴, 3

π π 5π 所以 4× +φ=kπ+ (k∈Z),所以φ=kπ- (k∈Z), 3 2 6 故可得 y=2sin 答案 D |φ|< π π 2 向左平移 个单位后是奇函数,则函数 f(x) 6 4x+ π 6 +2 符合条件,所以选 D.

4. (2014·长春模拟 )函数 f(x)=sin(2x+ φ) π 0, 2 上的最小值为( 3 2 B.- 1 2 C. 1 2



). D. 3 2 |φ|< π π x+ π 2 向左平移 个单位后得到函数为 f 6 = 6

A.-

解析

函 数 f(x) = sin(2x + φ)

sin 2

π π x+ 2x+ + φ π 6 +φ =sin ,因为此时函数为奇函数,所以 +φ=kπ(k∈Z),所以φ= 3 3

π 2x- π π π π - +kπ(k∈Z).因为|φ|< ,所以当 k=0 时,φ=- ,所以 f(x)=sin 3 .当 0≤x≤ 时, 3 2 3 2 π π 2x- - π π 2π π π 3 - ≤2x- ≤ ,即当 2x- =- 时,函数 f(x)=sin 3 有最小值为 sin 3 =- . 3 3 3 3 3 2 答案 A

5.(2014·宁德质检)如图是函数 y=sin(ωx+φ)

π π 5π ω>0,0<φ< - , 2 在区间 6 6 上的图象, ).

π 将该图象向右平移 m(m>0)个单位后, 所得图象关于直线 x= 对称, 则 m 的最小值为( 4 A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3

解析

5 π 2π 令 f(x)=y=sin(ωx+φ),由三角函数图象知,T= π+ =π,所以 =π,所以ω=2. 6 6 ω π - ,0 π π π ,且 0 < φ < ,所以- ×2 + φ = 0 ,所以 φ = ,所以 f(x) = 6 2 6 3

因为函数 f(x) 过点

sin

π π 2x+ 2x+ -2m 将该函数图象向右平移 m 个单位后, 所得图象的解析式是 g(x)=sin , 3 , 3

π π π π π kπ 因为函数 g(x)的图象关于直线 x= 对称, 所以 2× + -2m= +kπ(k∈Z), 解得 m= - (k 4 4 3 2 6 2 π ∈Z),又 m>0,所以 m 的最小值为 . 6

答案

B

二、填空题 6.函数 y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示, 则ω=________. 解析 答案 3 2 2π 由图象可以看出 T=π,∴T= π= ,因此ω=3. 2 3 ω 3

7. (2014·山东省实验中学诊断)已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ <π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=________.

π π π π 解析 函数 f(x)=sin 2x 的图象在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2x= ,所以 x= , 关于 x= 2 4 8 4 3π 3π 17π 对称的直线为 x= ,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为 x= 的点平移到 x= , 8 8 24 所以φ= 答案 π 3 2x+ π 6 ,则下列命题: 17π 3π π - = . 24 8 3

8.设函数 f(x)=sin

π ,0 π ①f(x)的图象关于直线 x= 对称;②f(x)的图象关于点 6 对称;③f(x)的最小正周期为π, 3 且在 0, π π 12 上为增函数;④把 f(x)的图象向右平移 个单位,得到一个奇函数的图象. 12

其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上). π π π 2× + 5π 1 π 解析 对于①,f 3 =sin 3 6 =sin = ,不是最值,所以 x= 不是函数 f(x)的图象的 6 2 3 π π π π 2× + ,0 对称轴,该命题错误;对于②,f 6 =sin 不是函数 f(x)的图 6 6 =1≠0,所以点 6 π 0, 2π 象的对称中心,故该命题错误;对于③,函数 f(x)的周期为 T= =π,当 x∈ 12 时,令 2

π π π π π , , 0, π t=2x+ ∈ 6 3 , 显然函数 y=sin t 在 6 3 上为增函数, 故函数 f(x)在 12 上为增函数, 6 所以 该命 题正 确;对 于④ ,把 f(x) 的图 象向 右平 移 x- π 个单 位后 所对 应的函 数为 g(x) = 12

sin

2

π π 12 + 6 =sin 2x,是奇函数,所以该命题正确.故填③④.

答案

③④

三、解答题 9.(2014·苏州调研)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) 2π ,-3 图象上有一个最低点为 M 3 . (1)求 f(x)的解析式; 3 (2)求使 f(x)< 成立的 x 的取值集合. 2 解 (1)由题意知:A=3,ω=2, 4π +φ 由 3sin 3 =-3, 4π π 得φ+ =- +2kπ,k∈Z, 3 2 -11π 即φ= +2kπ,k∈Z. 6 π π 而 0<φ< ,所以 k=1,φ= . 2 6 π 2x+ 故 f(x)=3sin 6 . π 2x+ 3 3 (2)f(x)< 等价于 3sin 6 < , 2 2 即 sin 2x+ π 1 6 < , 2 π 其中 A>0,ω>0,0<φ< 2 的周期为π,且

于是 2kπ-

7π π π <2x+ <2kπ+ (k∈Z), 6 6 6

2π 解得 kπ- <x<kπ(k∈Z), 3 2π x|kπ- <x<kπ,k∈Z 3 故使 f(x)< 成立的 x 的取值集合为 . 3 2 10.(2013·济宁测试)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2 x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;

1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 ,再把所得到的图 2 π π - , π 象向左平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间 6 12 上的值 6 域. 解 (1)因为 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2x-1 2x- π 6 ,

= 3sin 2x-cos 2x=2sin

∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π, π π π 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π π ∴- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 6 3 π π - +kπ, +kπ ∴f(x)的单调递增区间为 6 ,k∈Z. 3 1 (2) 函 数 y = f(x) 的 图 象 上 各 点 的 纵 坐 标 保 持 不 变 , 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 , 得 到 y = 2 2sin π 4x- 6 ; x+ π π π 4x+ 6 - 2 =2cos 6 =2sin

4 π 再把所得到的图象向左平移 个单位长度,得到 g(x)=2sin 6 4x, π π 2π π - , - , 当 x∈ 6 12 时,4x∈ 3 3 , 所以当 x=0 时,g(x)max=2, π 当 x=- 时,g(x)min=-1. 6 ∴y=g(x)在区间 π π - , 6 12 上的值域为[-1,2]. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2014·长沙一模)定义

|a a

1 3

|=a a -a a ,若函数 f(x)=|1 a
a2
4 1 4 2 3

sin 2x

cos 2x 3

|,则将 f(x)的图

π 象向右平移 个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( 3 A.x= π 6 B.x= π 4 C.x= π 2 D.x=π

).

解析

由定义可知,f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin x-

π 2x- π 6 ,将 f(x)的图象向右平移 个单位得 3

到 y=2sin

2

π 5π π 2x- 3 - 5π π 2π kπ = 2sin 6 ,由 2x- = +kπ(k∈Z),得对称轴为 x= + (k 6 6 2 3 2

2π π π ∈Z),当 k=-1 时,对称轴为 x= - = . 3 2 6 答案 A

2.(2014·江南十校联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象 如图所示,下列结论: ①最小正周期为π; π ②将 f(x)的图象向左平移 个单位,所得到的函数是偶函数; 6 ③f(0)=1; 12π 14π ④f 11 <f 13 ; 5π -x ⑤f(x)=-f 3 . 其中正确的是( A.①②③ C.①④⑤ ).

B.②③④ D.②③⑤

T 7 π π 7 3π π 解析 由题图可知,A=2, = π- = ?T=π?ω=2,2× π+φ=2kπ+ ,φ=2kπ+ (k 4 12 3 4 12 2 3 ∈Z).所以 f(x)=2sin + π π π 2x+ x+ 2x+ 3 ?f(0)= 3,f 6 =2sin 3

π 2π 2x+ kπ π 3 =2sin 3 ,所以②,③不正确;f(x)的对称轴为直线 x= + (k∈Z),一个对 2 12

5π 13π ,0 13π 12π 13π 称中心为 6 , 所以 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 且 f(x)的最大值为 f 12 , - 12 11 12 12π 14π π π 13π 14π = > - = ,所以 f 11 < f 13 ,即④正确;设 (x , f(x)) 为函数 f(x) = 13 13×12 11×12 12 2sin π 5π 5π 2x+ ,0 -x,-f?x? 的对称点 3 也在函数 3 的图象上任意一点,其关于对称中心 6

f(x)=2sin

π 5π 5π 2x+ -x -x =-f(x)?f(x)=-f 3 ,故⑤正确.综上所述, 3 的图象上,即 f 3

①④⑤正确.选 C. 答案 C π π ω>0,- ≤φ≤ 2 2 的图象上的两个相邻的最高点和最低点的

二、填空题 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) 距离为 2 2,且过点 2,-

1 2 ,则函数解析式 f(x)=________. T 2 2+?1+1?2=2 2,解得 T=4,

解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2,可得 故ω=

πx 1 π +φ 2,- ×2+φ 2π π = , 即 f(x)=sin 2 , 又函数图象过点 故 f(2)=sin 2 =-sin φ 2 , T 2

πx π + 1 π π π =- ,又- ≤φ≤ ,解得φ= ,故 f(x)=sin 2 6 . 2 2 2 6 答案 πx π + sin 2 6

三、解答题 4.(2013·淄博二模)已知函数 f(x)= 3sin ωx·cos ωx+ 1 π cos 2ωx- (ω>0),其最小正周期为 . 2 2 (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 8 不变),得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间 实数解,求实数 k 的取值范围. 解 (1)f(x)= 3sin ωx·cos ωx+cos2ωx- 1 2 0, π 2 上有且只有一个



π 2ωx+ cos 2ωx+1 1 3 sin 2ωx+ - =sin 6 , 2 2 2

π 2π π π 由题意知 f(x)的最小正周期 T= ,T= = = , 2 2ω ω 2 所以ω=2,所以 f(x)=sin 4x+ π 6 .

π 4x- π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后,得到 y=sin 3 的图象;再将所得图象所有点的横 8

坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin

2x-

π π 2x- 3 的图象,所以 g(x)=sin 3 ,

3 - ,1 π π π 2π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ ,所以 g(x)∈ 2 2 3 3 3 又 g(x)+k=0 在区间 0, π π 0, 即函数 y=g(x)与 y=-k 在区间 2 上有且只有一个实数解, 2 上 3 3 ≤-k< 或-k=1, 2 2

有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知- 解得- 3 3 <k≤ 或 k=-1, 2 2 - 3 3 , 2 2 ∪{-1}.

所以实数 k 的取值范围是

步骤规范练——三角函数及三角函数的图象与性质 (建议用时:90 分钟)

一、选择题 1.若角α的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2α的值为( A.- 解析 4 3 tan α= B. 4 3 C. 3 4 D.- 3 4 ).

-2 =-2, 1

tan 2α= 答案

2×?-2? 4 2tan α = = . 2 3 1-tan α 1-4

B ). π 2 上单调递增

2.(2014·广州一测)函数 y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)是( A.奇函数且在 0,

π ,π B.奇函数且在 2 上单调递增 C.偶函数且在 0, π 2 上单调递增

π ,π D.偶函数且在 2 上单调递增 解析 y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=sin2x-cos2x=-cos 2x, ∴函数是偶函数且在 0, π 2 上

单调递增. 答案 C x+ π 2 的最小正周期为( ).

3.(2013·温岭中学模拟)函数 f(x)=sin xsin

A.4π

B.2π

C. π x+

D.

π 2

解析

f(x)=sin xsin

π 1 2 =sin xcos x= sin 2x, 2

2π 故最小正周期为 T= =π. 2 答案 C π 2x- 4 的图象,只要将函数 y = sin 2x 的图象

4 . (2014· 浙江五校联盟 ) 要得到函数 y = sin ( ). π B.向右平移 单位 4 π D.向左平移 单位 8 π A.向左平移 单位 4 π C.向右平移 单位 8 解析 答案 5.

π π x- 2x- 向右平移 y=sin 2x π――→ y = sin 2 = sin 8 4 . 个单位 8 C

已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为( 3 π x+ A.f(x)=2sin 2 4 3 5π x+ B.f(x)=2sin 2 4 4 2π x+ C.f(x)=2sin 3 9 4 25 x+ π D.f(x)=2sin 3 18 解析

).

π 3 5π - 4π 2π 3 由函数的部分图象可知 T= - 6 ,则 T= ,结合选项知ω>0,故ω= = , 4 6 3 T 2

5π ,2 排除 C,D;又因为函数图象过点 6 ,代入验证可知只有 B 项满足条件. 答案 B 4x+ π 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再

6.(2014·成都模拟)将函数 f(x)=3sin

π 向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的一条对称轴是( 6 A.x= π 12 π B.x= 6 D.x= 2π 3 4x+

).

π C.x= 3 解析

将函数 f(x) = 3sin

π 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y =

π x- π π π 2x+ 2x- 2 6 + π 3sin 6 ,再向右平移 个单位长度,得到 y=3sin 6 ,即 g(x)= 6 =3sin 6 3sin π 2x- π π π π π 6 .当 2x- =kπ+ 时,解得 x=kπ+ ,又当 k=0 时,x= ,所以 x= 是一条对 6 2 3 3 3

称轴,故选 C. 答案 C

7.已知函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距 离等于π,则 f(x)的单调递增区间是( A. B. k π- k π+ π 5π , k π+ 12 12 ,k∈Z ).

5π 11π ,kπ+ 12 12 ,k∈Z

π π kπ- ,kπ+ C. 3 6 ,k∈Z π 2π kπ+ ,kπ+ D. 6 3 ,k∈Z 解析 f(x)= 3sin ωx+cos ωx=2sin 2x+ ωx+ π 6 ,由题设知 f(x)的最小正周期为 T=π,所以ω=

2,即 f(x)=2sin C. 答案 C

π π π π π π 6 .由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)得,kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z),故选 2 6 2 3 6

8.设函数 f(x)=|sin A.f(x)是偶函数

2x+

π 3 |,则下列关于函数 f(x)的说法中正确的是(

).

B.f(x)的最小正周期为π π - ,0 C.f(x)的图象关于点 6 对称 π 7π , D.f(x)在区间 3 12 上是增函数

解析

π - π π π π π 2× + - 2× 3 + π 对于选项 A,由于 f 3 =|sin 3 3 |=0,而 f 3 = sin 3 =|sin |= 3

|

|

π π 2x+ 3 ≠f 3 ,所以 f(x)不是偶函数;对于选项 B ,由于 f(x) =sin 3 的周期为 π,而 f(x) = 2

|sin 2x+π 3 |的图象是将 f(x)=sin

2x+

π x 轴下方的图象关于 x 3 的 x 轴上方的图象保持不变, 2x+ π 故选项 B 3 的周期的一半,

π 2x+ | | 轴对称到上方去, 因此 f(x)= sin 3 的周期为 f(x)=sin 不正确;对于选项 C,由于 f(x)= sin

|

2x+

π 3 的图象不是中心对称图形,因此也不正确;对 2x+ π π π 3 的单调递增区间是 kπ≤2x+ ≤kπ+ (k 3 2

|

于选项 D, 由三角函数的性质可知, f(x)= sin

|

|

π 7π , kπ π kπ π ∈Z),即 - ≤x≤ + (k∈Z),当 k=1 时,x∈ 3 12 ,故选 D. 2 6 2 12 答案 D
2

π x+ 9.(2014·石狮模拟)函数 y=cos 4 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0),所得图象关 于 y 轴对称,则 a 的最小值为( A.π B. 3π 4 C. π 2 D. π 4 ).

解析

π 2x+ π x + 1 + cos 2 1-sin 2x 1 1 y=cos2 = = - sin 2x,函数图象向右平移 a 个单位 4 = 2 2 2 2

1 1 1 1 得到函数 y= - sin[2(x-a)]= - sin(2x-2a),要使函数的图象关于 y 轴对称,则有-2a 2 2 2 2 π π kπ π = +kπ,k∈Z,即 a=- - ,k∈Z,所以当 k=-1 时,a 有最小值为 ,选 D. 2 4 2 4 答案 D π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象在 y 轴上的截距为 1,在相邻两 2 最值点(x0,2), 3 x0+ ,-2 (x0>0)上 f(x)分别取得最大值和最小值.若函数 g(x)=af(x)+b 的 2 ).

最大值和最小值分别为 6 和 2,则|a|+b 的值为( A.5 解析 B.6 C. 7 D. 8 3 T x0+ 3 由题意知 A=2, = 2 -x0= , 2 2 2π 2π =3,又ω>0,∴ω= . |ω| 3

∴T=3,即

2π x+ φ π π ∴f(x)=2sin 3 ,又函数 f(x)过点(0,1),代入得 2sin φ=1,而|φ|< ,∴φ= , 2 6 2π π 2π π x+ x+ ∴f(x)=2sin 3 6 ,g(x)=af(x)+b=2asin 3 6 +b. 由 2|a|+b=6, -2|a|+b=2, A 得 |a|=1, b=4, ∴|a|+b=5.

答案

二、填空题 11.(2013·宁波十校测试)函数 y=sin(x+10°)+cos(x+40°)(x∈R)的最大值=________. 解析 y=sin(x+10°)+cos(x+40°)

=sin(x+10°)+cos[(x+10°)+30°] =sin(x+10°)+ 3 1 cos(x+10°)- sin(x+10°) 2 2

1 3 = sin(x+10°)+ cos(x+10°) 2 2 =sin(x+10°+60°) =sin(x+70°), 故 ymax=1. 答案 12. 1

如图所示的是函数 y=Asin(ωx+φ) ________. 解析

π A>0,ω>0,|φ|< 2 图象的一部分,则其函数解析式是

π T π - π 由图象知 A=1, = - 3 = ,得 T=2π,则ω=1,所以 y=sin(x+φ). 4 6 2

π ,1 π 由图象过点 6 ,可得φ=2kπ+ (k∈Z), 3 π 又|φ|< , 2 π x+ π 所以φ= ,所以所求函数解析式是 y=sin 3 . 3 答案 y=sin π x+ 3

13.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线 y=b(0<b<A)的三个相

邻交点的横坐标分别是 2,4,8,则 f(x)的单调递增区间是________. 解析 根据分析可得函数的周期为 6,即 2π π =6,得ω= ,由三角函数的对称性可知,函数 ω 3

π ×3+φ π 在 x=3 处取得最大值,即 Asin 3 =A,即 sin φ=-1,所以φ=2kπ- (k∈Z).又|φ| 2 π π x- π π π π π <π,所以φ=- ,故函数的解析式为 f(x)=Asin 3 2 ,令 2kπ- ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 2 3 2 2 得 6k≤x≤6k+3(k∈Z).故函数 f(x)的单调递增区间是[6k,6k+3](k∈Z). 答案 [6k,6k+3](k∈Z)

14.(2014·淄博二模)下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是π. ②终边在 y 轴上的角的集合是 α

|α=k2π,k∈Z

.

③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. π 2x+ π ④把函数 y=3sin 3 的图象向右平移 个单位得到 y=3sin 2x 的图象. 6 ⑤函数 y=sin π x- 2 在(0,π)上是减函数. 2π =π.真命题. 2 ,假命题.

其中真命题的序号是________. 解析 ①化简得 y=-cos 2x,最小正周期为

π α=kπ+ ,k∈Z | ②终边在 y 轴上的角的集合是 α 2

③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象,只有一个公共点,假命题. 2x+ π x- π π 2 6 + π 3 的图象向右平移 个单位得到 y=3sin 3 =3sin 2x 的图象, 6

④把函数 y=3sin 真命题. ⑤函数 y=sin 答案 ①④

π x- 2 在(0,π)上是增函数,假命题.

三、解答题 15.(2013·辽宁卷)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈ (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 0, π 2 .

及|a|=|b|,得 4sin2x=1. 又 x∈ π 0, 1 2 ,从而 sin x= , 2

π 所以 x= . 6 (2)f(x)=a·b= 3sin x·cos x+sin2x = 3 1 1 sin 2x- cos 2x+ 2 2 2 2x- π 1 6 + , 2

=sin

π π 2x- π 0, 当 x= ∈ 2 时,sin 6 取最大值 1. 3 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 16.(2014·衡水模拟)已知函数 f(x)=1+sin xcos x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)若 tan x=2,求 f(x)的值. 解 1 (1)已知函数可化为 f(x)=1+ sin 2x, 2 2π =π, 2

所以 T=

π 3π 令 +2kπ≤2x≤ +2kπ(k∈Z), 2 2 π 3π 则 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z), 4 4 π 3π +kπ, +kπ 即函数 f(x)的单调递减区间是 4 (k∈Z). 4 (2)由已知 f(x)= sin2 x+sin xcos x+cos2x sin2 x+cos2x

tan2 x+tan x+1 = , tan2 x+1 22+2+1 7 ∴当 tan x=2 时,f(x)= = . 5 22+1 17.(2013·合肥第二次质检)已知函数 f(x)=msin x+ 2m-1cos x. (1)若 m=2,f(α)= 3,求 cos α; (2)若 f(x)的最小值为- 2,求 f(x)在 解 π - π, 6 上的值域.

(1)由 m=2,∴f(α)=2sin α+ 3cos α= 3,

1 又 sin2α+cos2α=1,∴cos α=- 或 cos α=1. 7 (2)f(x)=msin x+ 2m-1cos x= m2+2m-1sin(x+φ) ≤ m2+2m-1, ∴ m2+2m-1= 2, ∴m=1 或 m=-3(舍), ∴f(x)=sin x+cos x= 2sin 由 x∈ -π, π 6 , x+ π 4 .

3π 5π π - , ∴x+ ∈ 4 12 , 4 2+ 6 π -1, x+ ∴sin , 4 ∈ 4 所以 f(x)的值域为 - 2, 1+ 3 2 .

18.(2014·江苏省七校联考)已知 m=(asin x,cos x),n=(sin x,bsin x),其中 a,b,x∈R. π π 若 f(x)=m·n 满足 f 6 =2,且 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于直线 x= 对称. 12 (1)求 a,b 的值; (2)若关于 x 的方程 f(x)+log2k=0 在区间 解 (1)f(x)=m·n=asin2x+bsin xcos x. π 由 f 6 =2,得 a+ 3b=8.① ∵f′(x)=asin 2x+bcos 2x,且 f′(x)的图象关于直线 x= π ∴f′(0)=f′ 6 , ∴b= 3 1 a+ b,即 b= 3a.② 2 2 π 对称, 12 0, π 2 上总有实数解,求实数 k 的取值范围.

由①②得,a=2,b=2 3. (2)由(1)得 f(x)=1-cos 2x+ 3sin 2x =2sin 2x- π 6 +1.

π 0, ∵x∈ 2 , π π 5π ∴- ≤2x- ≤ , 6 6 6

π 2x- 1 ∴- ≤sin 6 ≤1, 2 ∴0≤2sin 2x- π 6 +1≤3,即 f(x)∈[0,3].

π 0, 又 f(x)+log2k=0 在 2 上有解, 即 f(x)=-log2k 在 π 0, 2 上有解,

1 ,1 1 ∴-3≤log2k≤0,解得 ≤k≤1,即 k∈ 8 . 8

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